随机数的生成及随机变量抽样.ppt

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1、实验目的,实验内容,学习主要的随机变量抽样方法,1、均匀分布U(0,1)的随机数的产生2、其他各种分布的随机数的产生方法3、随机数生成实例4、实验作业,随机数的生成及随机变量抽样,随机数的生成,随机数的产生是实现MC计算的先决条件。而大多数概率分布的随机数的产生都是基于均匀分布U(0,1)的随机数。首先，介绍服从均匀分布U(0,1)的随机数的产生方法。其次，介绍服从其他各种分布的随机数的产生方法。以及服从正态分布的随机数的产生方法。最后，关于随机数的几点注。,一、均匀分布U(0,1)的随机数的产生,产生均匀分布的标准算法在很多高级计算机语言的书都可以看到。算法简单，容易实现。使用者可以自己手动

2、编程实现。Matlab 中也提供给我们用于产生均匀分布的各种函数。我们的重点是怎样通过均匀分布产生服从其他分布的随机数。因此，直接使用Matlab提供的可靠安全的标准函数，当然不用费事了。,IMSL库中的函数使用,RNSET:种子的设定 CALL RNSET(ISEED)RNOPT:产生器的类型的设定 CALL RNOPT(IOPT)RNUN/DRNUN:产生均匀分布的随机数 CALL RNUN(NR,R),例1生成1行1000列的110上离散均匀分布的随机数；生成1行1000列2130上离散均匀分布的随机数；生成1行1000列5011000上离散均匀分布的随机数。并画经验分布函数曲线。,Ra

3、ndnum=unidrnd(10,1,10000)；cdfplot(Randnum)；pauseRandnum=unidrnd(10,1,10000)+10；cdfplot(Randnum)；pauseRandnum=unidrnd(500,1,10000)+500；cdfplot(Randnum),cdfplot(x),解:由密度函数知,例2设总体X的密度函数为,其中 0,生成 1行10000列的随机数.,具有均值为 的指数分布,Randnum=exprnd(2,1,10000)+5,并画经验分布函数曲线。,cdfplot(Randnum),二、其他各种分布的随机数的产生,基本方法有如下三种

4、：逆变换法 合成法 筛选法,逆变换法,设随机变量 的分布函数为，定义 定理 设随机变量 服从 上的均匀分布，则 的分布函数为。因此，要产生来自 的随机数，只要先产生来自 的随机数，然后计算 即可。其步骤为,为常数,例3 设密度函数为,并画经验分布函数曲线。,例4 设X分布函数为F(X),生成n=20的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线。,n=20Randnum=1-(1-unifrnd(0,1,1,10000).(1/n);cdfplot(Randnum),为常数,例5 设密度函数为,并画经验分布函数曲线。,合成法,合成法的应用最早见于Butlter 的书中。构思如下：如果 的密度函

5、数 难于抽样，而 关于 的条件密度函数 以及 的密度函数 均易于抽样，则 的随机数可如下产生：可以证明由此得到 的服从。,筛选抽样,假设我们要从 抽样，如果可以将 表示成，其中 是一个密度函数且易于抽样，而，是常数，则 的抽样可如下进行：定理 设 的密度函数，且，其中，是一个密度函数。令 和 分别服从 和，则在 的条件下，的条件密度为,三、生成标准正态分布的随机数,的随机数产生方法很多。简要介绍三种。法1、变换法（Box 和Muller 1958）设，是独立同分布的 变量，令 则 与 独立，均服从标准正态分布。法2、结合合成法与筛选法。（略）法3、近似方法（利用中心极限定理）即用 个 变量产生

6、一个 变量。其中 是抽自 的随机数，可近似为一 个 变量。,例6,生成单位圆上均匀分布的1行10000列随机数，并画经验分布函数曲线。,Randnum=unifrnd(0,2*pi,1,10000);xRandnum=cos(Randnum)Y,II=sort(xRandnum)yRandnum=sin(Randnum)plot(xRandnum(II),yRandnum(II),.),例7,生成单位正方形上均匀分布的1行10000列随机数，并画散点图。,mm=10000;Randnum=unifrnd(0,4,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros

7、(1,mm);for ii=1:mm if Randnum(1,ii)=1 xRandnum(1,ii)=0;yRandnum(1,ii)=Randnum(1,ii);else if Randnum(1,ii)=2 xRandnum(1,ii)=Randnum(1,ii)-1;yRandnum(1,ii)=1;else if Randnum(1,ii)=3 xRandnum(1,ii)=1;yRandnum(1,ii)=1-(Randnum(1,ii)-2);else xRandnum(1,ii)=1-(Randnum(1,ii)-3);yRandnum(1,ii)=0;end end end

8、 end Y,JJ=sort(xRandnum);plot(xRandnum(JJ),yRandnum(JJ),.),离散型随机变量的生成离散型随机变量X,它的取值是非光滑连续的值，它只能间断地即离散地取值x1,x2,x3，xn，且规定x1x2x3xn。其概率密度函数为 p(xi)=pX=xi概率分布函数为,例10 对某车间每天需求某种零件的数量历史数据中统计获得表1的结果。生成1行1000列零件需求的随机数。并画经验分布函数曲线。表1 某零件每天需求量 X,随机变量生成的算法为产生一个u(0，1)，并令i=0；令i=i+1；若uF(xi)，转回到第步，否则转至；输出得 Xxi。,mm=100

9、00;Randnum=unifrnd(0,1,1,mm);xRandnum=zeros(1,mm);for ii=1:mm if Randnum(1,ii)=0.1 xRandnum(1,ii)=10;else if Randnum(1,ii)=0.3 xRandnum(1,ii)=20;else if Randnum(1,ii)=0.7 xRandnum(1,ii)=30;else if Randnum(1,ii)=0.95 xRandnum(1,ii)=40;else xRandnum(1,ii)=50;end end end end end cdfplot(xRandnum),三角分布(

10、a,m,b)的随机变量其密度函数为,其分布函数为,在用Monte Carlo等方法解应用问题时,随机向量的抽样也是经常用到的.若随机向量各分量相互独立,则它等价于多个一元随机变量的抽样。,随机向量的抽样方法,例8,生成单位正方形内均匀分布的1行10000列随机数，并画散点图。,mm=10000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);plot(xRandnum,yRandnum,.),mm=100000 xRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);yRandnum=unifrnd(0,1,1,mm);Y,JJ=sor

11、t(xRandnum)plot(xRandnum(JJ),yRandnum(JJ),.),例9,生成单位圆内均匀分布的1行10000列随机数，并画散点图。,mm=10000；Randnum1=unifrnd(-1,1,1,2*mm);Randnum2=unifrnd(-1,1,1,2*mm);xRandnum=zeros(1,mm);yRandnum=zeros(1,mm);s=Randnum1.2+Randnum2.2；ii=1;jj=1;while iimm if s(1,jj)=1;xRandnum(1,ii)=Randnum1(1,jj);yRandnum(1,ii)=Randnum2

12、(1,jj);ii=ii+1;end jj=jj+1;endplot(xRandnum,yRandnum,.),关于随机数的几点注,注1 由于均匀分布的随机数的产生总是采用某个确定的模型进行的，从理论上讲，总会有周期现象出现的。初值确定后，所有随机数也随之确定，并不满足真正随机数的要求。因此通常把由数学方法产生的随机数成为伪随机数。,注2 应对所产生的伪随机数作各种统计检验，如独立性检验，分布检验，功率谱检验等等。,但其周期又相当长，在实际应用中几乎不可能出现。因此，这种由计算机产生的伪随机数可以当作真正的随机数来处理。,2.设密度函数为,1.生成单位球内均匀分布的1行10000列随机数，并画

13、散点图。,作业:,为常数,并画经验分布函数曲线。,3.生成三角分布(0,1,2)的1行10000列随机数，并画散点图。,作业:,并画经验分布函数曲线。,5.2随机数与随机变量的生成 随机数的生成 在系统模拟中只要有随机变量，则在模拟运行的每一步中都要对随机变量确定一个具体的值。我们将会遇到各种概率分布的随机变量，但其中最简单或最基本的随机变量是在(0，1)区间上均匀分布的随机变量。服从某一分布的随机变量都可以通过对(0，1)均匀分布的随机变量进行适当转换而得到。(0，1)均匀分布的随机变量的取值也是在(0，1)区间上均匀分布的随机数ui序列(流)的独立采样，其密度函数是,ui的数学期望和方差分

14、别为,因此，若能获得(0，1)均匀分布的随机数，也就能通过对其适当的转换而获得某一规定分布的随机变量的取值，这就是随机变量的生成。为此，首先要掌握(0，1)区间上均匀分布随机数的生成方法。均匀分布随机数必须具备均匀性和独立性的要求；要生成符合上述要求的随机数流，现在多用数学算法来产生，一般是采用递推算法，确定一个初始值(种子数)以后，逐次递推算得随机数流。数学算法获得的随机数、常称之为伪随机数(Pseudo Random Number)序列。数学方法计算产生的随机数流必须满足下列要求：(1)尽可能在(0，1)区间均匀分布；(2)具有统计上的独立性；(3)产生的随机数流能够重复出现，即给以相同的

15、初值(种子数)能获得相同的随机数流；(4)有足够长的周期，即在出现周期性重复之前，能生成足够多个的随机数；(5)算法占用计算机内存较少而计算生成速度较快。目前广泛应用的算法是线性同余法(Linear congruential Method)，其中又分为：1混合线性同余法。它是由Lehmer于1951年提出的，其算式为,xi+1=(axi+c)mod m ui+1=xi+1/m式中 a乘数(常数)；C增量(常数)；x0种子数；m模数。a,c,m和x0的选取对随机数流的统计特性和周期长度有极大影响。上述第一式的含义是,式中表示取整数，a，c，m皆为整常数。2、乘法线性同余法。若混合线性同余法中c=

16、0，则为乘法线性同余法，其算式为 x i+1=ax imod m u i+1=xi+1/m(5.7),可参考选用的数据有：（1）a=16807,m=2147483647,x0=123457;（2）a=655393,m=33554432。随机数流的检验 一、均匀分布性检验 1参数检验。检验ui的数字特征，如均值、方差的估计值和其理论值的差异是否显著。设有u1,u2,，un随机数流，则它们的,若 ui序列在(0，1)上均匀分布，可假设：u的期望和方差分别为,2的期望和方差分别为则上列假设(810)与(811)应该成立。据此，可对n个ui计算下列统计量若取显著性水平a=005，,当|V1|196时。

17、则可认为假设(810)式成立；当|V2|196时，则可认为假设(811)式成立。因而可以接受此假设，检验通过;否则拒绝接受。2均匀性检验。它是检验所生成的随机数落在(0，1)各子区间的频率的均匀程度，是否与理论上的均匀分布频率有显著性差异。此处介绍常用方法之一，x2检验方法如下：将(0，1)区间划分为相等的k个子区间，假如落在第i个(il，2，3，k)子区间的随机数有ni个；而在理论上第i个子区间的随机数个数为mi=Nk，其中 N为随机数流总个数(拟检验的)。由此，可计算 x2统计量,再按k-1为自由度、显著性水平取005，查得2(a)表值。当算得统计量x22(a)时，可认为在显著性水平a下能

18、接受为均匀分布假设。二、独立性检验独立性检验是检验随机数流中前后各数之间是否存在相关性。常用的方法是进行自相关检验。此外，还有Poker Test和Run检验，一般应用较少。随机变量的生成 一、离散型随机变量的生成离散型随机变量 X,它的取值是非光滑连续的值，它只能间断地即离散地取值x1,x2,x3，xn，且规定x1x2x3xn。其概率密度函数为 p(xi)=pX=xi概率分布函数为,譬如，对某车间每天需求某种零件的数量历史数据中统计获得表52的结果。表52某零件每天需求量 X,随机变量生成的算法为产生一个u(0，1)，并令i=0；令i=i+1；若uF(xi)，转回到第步，否则转至；输出得 X

19、xi。,二、连续型随机变量的生成 以下介绍常用几种概率分布的随机变量生成方法。1逆变换法。任何概率分布的随机变量 X，其分布函数 F(x)的值域是(0,l)；因此，可令 F(x)=u(517)如果对上式能解出显式的逆函数 x=F-1(u)(518)则调用随机数生成算法产生一个随机数u，将其代入显式(818)，即可获得随机变量 X的一次取值 x。可惜能求得显式逆函数的随机变量，只有如下几种分布。(l)在(a，b)区间均匀分布的随机变量 X。其概率密度函数为,其分布函数为,均值为(a十 b)2；方差为(b a)212。两函数的图形如图81。令u=(x-a)(b-a)，则可解得 x=a+(b a).

20、u(521)(2)三角分布(a，m，b)的随机变量 其密度函数为,其分布函数为,3近似计算法。正态分布随机变量也是一种常见的随机变量。由于其分布函数无法积分得到显式，故不能应用逆变换法。可采用如下近似法，也可采用函数变换法。,Z是均值u=0，方差为2=1的近似正态分布；随着n值的增大，近似程度则愈大。实践表明，当取n=12时，近似性已能满意，则有 若要产生均值为u，方差为2的正态分布随机变量 X，则例题：要产生 u=73分钟，2=11.7分2的正态分布随机变量 x，则 先相继产生12个u，比如为 0390，0977，0492，0323，0434，0994 0886，0919，0153，0522

21、，0014，0303 按(834)式，,5.3随机系统模拟常规操作方法 5.3.1 时间步长法时间步长法的模拟操作过程如图91所示。从图91提示，对时间步长法应注意下述几个要点：(l)首先应进行被模拟系统的系统分析，明确模拟目的，确定系统状态变量和决策变量，包括随机变量，建立模拟数学模型，搜集和确定有关参数、常数等数据，以及随机变量生成算法。(2)建立模拟时钟，即确定一个称作“时钟”的变量T，其初值T。一般定为T0=0，以便对模拟过程进行计时。(3)设定模拟总时间长度，它与时间步长t的确定有关。(4)确定固定的时间步长t值。时间步长t愈小，则愈能较真实地考察、记录到系统的变化过程，但模拟工作量较大，占用机时较多；时间步长t愈大，则可能会遗漏一些系统的演变环节，造成模拟过程和结果的失真。(5)确定模拟开始的系统初始状态及其有关参数值。(6)建立随机数生成算法的子程序，确定其种子数。(7)设计输出模拟结果的要求和方式。(8)用一般高级语言编写模拟程序并调试。,