闭区间上连续函数的性质(IV).ppt

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1、,一元微积分学,高 等 数 学 A（1）,第十一讲 闭区间上连续函数的性质,授课教师：彭亚新,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求：理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及闭区间上连续函数 的性质（介值定理、最值定理）。,第三章 函数的极限与连续性,第三节 闭区间上 连续函数的性质,一.最大值和最小值定理,二.介值定理,最大值和最小值定理,设 f(x)C(a,b),则,(i)f(x)在 a,b 上为以下四种单调函数时,y=f(x)a,b,y=f(x)a,b,则,则,(ii)y=f(x)为一般的连续函数时,x,y,a,a1,a

2、2,a3,a4,a5,a6,b,ma,mb,y=f(x),O,(最大值和最小值定理),若 f(x)C(a,b),则它在该闭区间,上,至少取到它的最大值和最小值各一次.,定理,若 f(x)C(a,b),则 f(x)在 a,b 上有界.,看图就知道如何证明了.,推论,二.介值定理,a,x,y,y=f(x),f(a),b,f(b),O,f(x)C(a,b),f(a)f(b)0,f()0.,先看一个图,描述一下这个现象,(根存在定理或零点定理),则至少存在一点(a,b),使得 f()0.,设 f(x)C(a,b),且 f(a)f(b)0,如何证明？,定理1,证明的思想方法 区间套法,将区间 a,b 等

3、分为 a,a1 和 a1,b,在这两个区间中,选择与 a,b 性质相同的,一个,例如,若 f(a1)f(b)0,则选取区间,如此下去,小区间的长度趋于零,并且,a1,b,然后,对 a1,b 进行等分,并进行选,择,又得一个新的小区间.,总保持函数区间端点值反号的性质,由函数,的连续性,这些小区间的左端点或右端点构,成的数列的极限值,就是要求的(a,b).,(介值定理),设 f(x)C(a,b),f(a)A,f(b)B,且 A B,则对于 A,B 之间的任意一个数 C,至少存在一点(a,b),使得 f()=C.,定理2,令(x)=f(x)C,故由根存在定理,至少存在一点(a,b)使,则(x)C(

4、a,b),C 在 A,B 之间,(a)(b)=(f(a)C)(f(b)C),=(A C)(B C)0,证,()=0,即 f()=C.,最大、最小值定理,介值定理,？,引入,设 f(x)C(a,b),证明:至少存在一点 x1,xn,使得,a x1 x2 xn b,证,由介值定理,至少存在一点 x1,xn,使,证明方程 x5 3x=1在 x=1 与 x=2 之间,令 f(x)=x5 3x 1,x1,2,则 f(x)C(1,2),又 f(1)=3,f(2)=25,f(1)f(2)0,即 方程在 x=1 与 x=2 之间至少有一根.,故 至少存在一个(1,2),使得 f()=0,至少有一根.,证,至少有一个不超过 a+b 的正根.,证明方程 x=a sin x+b(a 0,b 0),设 f(x)=x a sin x b,x 0,a+b,则 f(x)C(0,a+b),而 f(0)=0 a sin 0 b=b 0,f(a+b)=(a+b)a sin(a+b)b,=a(1 sin(a+b)0,证,1)如果 f(a+b)0,则=a+b 就是方程的根.,即方程至少有一个不超过 a+b 的正根.,定理,至少存在一个(0,a+b),使得 f()=0.,2)如果 f(a+b)0,则 f(0)f(a+b)0,由根存在,综上所述,方程在(0,a+b 上至少有一个根,