连续控制系统的数学模型.ppt
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1、1,第2章 连续系统的数学模型,2.1 系统数学模型的概念,2.3 传递函数,2.2 微分方程描述,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的MATLAB表示,2,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 系统数学模型的概念,2.2 微分方程描述,2.3 传递函数,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的MATLAB表示,3,2.1 系统数学模型的概念,自动控制理论方法是先将系统抽象成数学模型,然后用数学的方法处理。数学模型:是根据系统运动过程的物理、化学等规律,所写出的描述系统运动规律、特性和输出与输入关系的数学表达式。,4,2.1 系统数学模型的概念,完全不同物
2、理性质的系统,其数学模型具有相似性!,5,2.1.1 数学模型的定义与主要类型,静态模型与动态模型(静态模型是t时系统的动态模型),输入输出描述模型(外部描述模型)与内部描述模型,连续时间模型与离散时间模型,参数模型与非参数模型,6,描述系统静态(工作状态不变或慢变过程)特性的模型,称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程表示的,数学表达式中的变量不依赖于时间,是输入输出之间的稳态关系。描述系统动态或瞬态特性的模型,称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间,一般是微分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。,(1)静态模型与动态模型,2.1.1 数学模型的定义与
3、主要类型,7,(2)输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型,如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系,所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系,而且描述了系统内部信息传递关系,所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。,2.1.1 数学模型的定义与主要类型,8,(3)连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号,数学模型分为连续时间模型和离散时间模型,简称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。离
4、散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。,2.1.1 数学模型的定义与主要类型,9,(4)参数模型与非参数模型从描述方式上看,数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型,如传递函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型,如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。,2.1.1 数学模型的定义与主要类型,10,2.1.2 建立数学模型的方法,机理分析建模方法,称为分析法;对系统各部分的运动机理进行分析,根据它们所依据的物理规律、化学规律分别列写运动方程。(白箱)KCL KVL 牛顿定律 热力学定
5、律等。,实验建模方法,通常称为系统辨识。人为施加某种测试信号,记录基本输出响应,并用适当的数学模型去逼近。(黑箱),建立系统的数学模型简称为建模。系统建模有两大类方法,或者说有两种不同的途径。,11,分析法建立系统数学模型的几个步骤:,建立物理模型。列写原始方程。利用适当的物理定律如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等)选定系统的输入量、输出量及状态变量(仅在建立状态模型时要求),消去中间变量,建立适当的输入输出模型或状态空间模型。,2.1.2 建立数学模型的方法,12,实验法基于系统辨识的建模方法,已知知识和辨识目的实验设计-选择实验条件模型阶次-适合于应用的适当的阶次参数估计-
6、最小二乘法、最大似然估计、相关分析、时域、频域模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较,系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近,2.1.2 建立数学模型的方法,13,最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来。实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识,由机理分析提出模型结构,然后用观测数据估计出模型参数,这种方法常称为“灰箱”建模方法,实践证明这种建模方法是非常有效的。,2.1.2 建立数学模型的方法,14,第2章 连续控制系统的数学模型,2.1 控制系统数学模型的概念,2.2 微分方程描述,2.3 传递函数,2.4 结构图,2.5 信号流图,2.6 系统数学模型的
7、MATLAB表示,15,第2章 连续控制系统的数学模型,2.2 微分方程描述,描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的微分方程称为微分方程模型,16,2.2 微分方程描述,系统微分方程的形式与系统分类之间的关系:(1)非线性微分方程描述的是非线性系统;(2)线性微分方程描述的是线性系统;(3)时变系统的微分方程的系数与时间有关;(4)时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。,17,根据系统的机理分析,列写系统微分方程的一般步骤为(1)确定系统的输入、输出变量;(2)从输入端开始,按照信号的传递顺序,依据各变量所遵循的物理、化学等定律,列写各变量之间的动态方程,一般为微分方程组;(3)消去
8、中间变量,得到输入、输出变量的微分方程;(4)标准化:将与输入有关的各项放在等号右边,与输出有关的各项放在等号左边,并且分别按降幂排列,最后将系数归化为反映系统动态特性的参数,如时间常数等。注意:由于实际系统的结构一般比较复杂,甚至不清楚内部机理,所以,列写实际工程系统的微分方程是很困难的。,2.2 微分方程描述,列写如图所示RC网络的微分方程。给定输入电压 为系统的输入量,电容上的电压 为系统的输出量。,解 设回路电流为i,由电路理论可知,电阻上的电压为:,由基尔霍夫电压定律,列写回路方程式,电容上的电压与电流的关系为:,消去中间变量u1、i得,令 为电路时间常数,则,为RC网络的微分方程,
9、它是一阶常系数线性微分方程。,例2.1 一阶RC网络系统,例2.2 二阶RC网络系统给定输入电压 为系统的输入量,电容C2上的电压 为系统的输出量。,i1,i2,思考:能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联?分别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系,然后直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系?,串联,?,T12=0,串联,i2,i1,串联,?,T12=0,二阶RC网络虽然是两个一阶RC网络的串联,但应该注意到前面一个RC网络不是开路,后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载,T12系数项就反映了这一负载效应。,23,一阶有源网络系统,二阶有源网络系统,思考:能否可
10、以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网络的串联?为什么?,25,图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程,要求取电枢电压Ua(t)(v)为输入量,电动机转速m(t)(rad/s)为输出量,列写微分方程。图中Ra()、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感,Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。,例2-3,2.2 微分方程描述,26,解:电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能,也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t),再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm(t),从而拖动负载运动。因此,直流电动机的运动方程
11、可由以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程,2.2 微分方程描述,27,Ea 是电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的反电势,其大小与激磁磁通及转速成正比,方向与电枢电压Ua(t)相反,即 Ea=Cem(t)Ce反电势系数(v/rad/s),电枢回路电压平衡方程:,2.2 微分方程描述,28,:电动机转矩系数(Nm/A),:由电枢电流产生的电磁转矩(Nm),电动机轴上的转矩平衡方程:,fm:电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数(Nm/rad/s),Jm:转动惯量(电动机和负载折合到电动机轴上的)kgm,电磁转矩方程:,Mc(NM)是折合到电动机轴上的总负载转
12、矩。,2.2 微分方程描述,29,电动机机电时间常数(s),在工程应用中,由于电枢电路电感La较小,通常忽略不计,因而可简化为,、求出ia(t),代入同时亦代入得:,电动机传递系数,2.2 微分方程描述,30,如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 还可进一步简化为,电动机的转速 与电枢电压 成正比,于是 电动机可作为测速发电机使用。,2.2 微分方程描述,31,由牛顿定律:,例2-4右图是弹簧质量阻尼器机械位移系统。试写质量在外力F作用下,位移的运动方程(F,都是时间的函数)。,图2-4 弹簧质量阻尼器机械位移系统,2.2 微分方程描述,32,第2章 连续控制系统的数学模型
13、,2.1 控制系统数学模型的概念,2.3 传递函数,2.2 微分方程描述,2.4 传递函数模型,2.5 结构框图模型,2.6 频率特性模型,33,数学工具拉普拉斯变换与反变换,拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时,f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在,其表达式记作,34,线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理,拉氏变换基本定理:,数学工具拉普拉斯变换与反变换,35,初值定理,微分定理,积分定理,数学工具拉普拉斯变换与反变换,36,F(s)化成下列因式分解形式:,a.F(s)中具有不同的极点时,可展开为,拉氏反变换,数学工具拉普拉斯变换与反变换,37,b.F(s)含有共扼复数极点时,可
14、展开为,数学工具拉普拉斯变换与反变换,38,c.F(s)含有多重极点时,可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,数学工具拉普拉斯变换与反变换,数学预备知识:拉氏变换,典型信号的拉氏变换(1),典型信号的拉氏变换(2),拉氏变换的性质,应用拉氏变换的终值定理求,注意拉氏变换终值定理的适用条件:,事实上:,的极点均处在复平面的左半边。,不满足终值定理的条件。,几个拉氏变换定理的证明,44,拉氏变换的应用:求解微分方程(时域解),45,拉氏变换的应用:求解微分方程(求时域解),有理分式的分解(1):极点为相异实数的情况,47,有理分式的分解(2):出现极点为相同实数的情况,有理分式的分解(2):
15、出现极点为相同实数的情况,有理分式的分解(3):出现极点为相异复数的情况,f(t)?,例21中若已知,在例21中已经求得网络微分方程为:,由拉氏变换法可得:,(1),52,式中,对(1)中各项求拉氏变换并代人各已知数据,整理后得:,由于电路是突然接通电源的,故可将输入信号视为阶跃输入量,即,(2),对(2)式求拉氏反变换,得到(1)式的时域解为:,线性定常微分方程的求解,53,前两项是由网络输入电压产生的输出分量,而与初始条件无关,故称为零初始条件响应;后一项则是初始条件产生的输出分量,与输入电压无关,故称为零输入响应。两者统称为网络的单位阶跃响应。,从上述时域响应式中求取输出的初始值即t0时
16、刻的值 和终值即t趋于无穷大时的值?,线性定常微分方程的求解,(3),54,利用拉氏变换的初值定理,可以直接从(3)式中了解网络中输出电压的初始值和终值。当,的初始值为:,的终值为:,线性定常微分方程的求解,55,线性定常微分方程的求解,网络的输出则称为单位脉冲响应,即为:,56,用拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程为:考虑初始条件,对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换,将微分方程转换为变量s的代数方程;由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式对输出量拉氏变换函数求反变换,得到输出量的时域表达式,即为所求微分方程的解。,线性定常微分方程的求解,57,传递函数是在用拉氏变换求解线性常微分方程的
17、过程中引申出来的概念。微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型,在给定外作用和初始条件下,解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化时分析较麻烦。用拉氏变化法求解微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型传递函数。定义:线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义,系统微分方程与传递函数可以直接转换!,设描述线性定常系统的微分方程为,因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动态性能之间的关系,所以,为简化分析,设系统的初始条件为零。在零初始条件下,对上式取拉氏变换,系统的输出为,单位脉冲
18、输入信号下系统的输出,单位脉冲输入信号的拉氏变换为1,单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为,单位脉冲输入信号下系统的输出为,可见,系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。因此,系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性,所以也是系统的数学模型,通常称为脉冲响应函数。定义 在零初始条件下,线性定常系统在单位脉冲输入信号作用下的输出响应,称为该系统的脉冲响应函数,记为 g(t)。,?思考:求系统在单位阶跃信号作用下的输出响应(单位阶跃响应)。并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系?,60,例2.1所示RC网络的微分方程为,所以,系统的传递函数为,2.3
19、.1 传递函数与脉冲响应函数的定义,61,例2.2所示二阶RC网络的微分方程为,所以,系统的传递函数为,2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义,62,传递函数的性质:(1)传递函数只取决于系统或元件的结构和参数,与输 入输出无关;(2)传递函数概念仅适用于线性定常系统,具有复变函 数的所有性质;(3)传递函数是复变量s 的有理真分式,即nm;(4)传递函数是系统冲激响应的拉氏变换;(5)传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系;(6)由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均 为实数,故零点和极点可以是实数,也可以是成对 的共轭复数。,2.3.1 传递函数与脉冲响应函数的定义,63,2.
20、3.2 传递函数的表示方式,(1)有理分式形式,传递函数的分母多项式 D(s)称为系统的特征多项式,D(s)=0称为系统的特征方程,D(s)=0的根称为系统的特征根或极点。分母多项式的阶次定义为系统的阶次。对于实际的物理系统,多项式D(s)、N(s)的所有系数为实数,且分母多项式的阶次 n高于或等于分子多项式的阶次m,即 nm。,64,2.3.2 传递函数的表示方式,(2)零极点形式,将传递函数的分子、分母多项式变为首一多项式,然后在复数范围内因式分解,nm,得:,,称为系统的零点;,为系统的极点;,k为系统的根轨迹放大系数。,65,2.3.2 传递函数的表示方式,(2)零极点形式,系统零点、
21、极点的分布决定了系统的特性,因此,可以画出传递函数的零极点图,直接分析系统特性。在零极点图上,用“”表示极点位置,用“”表示零点,66,(2)零极点形式,(传递函数是s的复变函数,s是复数变量),67,(传递函数是s的复变函数,s是复数变量),(2)零极点形式,68,(3)时间常数形式,将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式,然后在复数范围内因式分解,得,式中,K为传递系数,通常也为系统的放大系数;为系统的时间常数。,69,问题的提出自动控制理论采用的方法是研究系统的数学模型。这样,不仅避开了各种实际系统的物理背景,容易揭示控制系统的共性,而且使研究的工作量大为减少。能否找出组成系统数学模
22、型的基本环节,任何线性连续系统的数学模型总能由这些基本环节中的一部分组合而成。,2.3.3 线性系统的基本环节,70,传递函数的一般形式实际系统中往往存在着延迟,输出量的变化落后于输入量变化的时间称为纯滞后时间。若延时时间很短,可忽略不计,但许多系统尤其是过程控制中,延时时间往往很长,分析系统时必须考虑延时效应。下面举例说明,2.3.3 线性系统的基本环节,71,如图所示溶解槽溶解系统,料斗中的溶质用皮带输送机送至加料口。,2.3.3 线性系统的基本环节,(1)假设料斗的溶质直接落入溶解槽,则溶液浓度y(t)与料斗加料量x(t)的关系为,传递函数为,(2)考虑运输带输送的延迟,则溶液浓度y(t
23、)与料斗加料量x(t)的关系为,或,传递函数为,线性连续定常传递函数的一般形式为:,73,2.3.3 线性系统的基本环节,放大环节(比例环节):,积分环节:,微分环节:,惯性环节:,振荡环节:,一阶微分环节:,二阶微分环节:,滞后环节(纯时滞环节):,一个系统或一个元件(线性连续)总可以由一个或几个基本环节组成。有些基本环节在实际中可以单独存在,但象各种微分环节实际上是不能单独存在的。,74,典型环节通常分为以下六种:(1)比例环节式中 K-增益特点:输入输出量成比例,无失真和时间延迟。实例:电子放大器,齿轮,电阻(电位器),感应式变送器等。,任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。,
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