达朗贝尔原理动静法.ppt
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1、1,11 达朗贝尔原理(动静法),2,第11章 达朗贝尔原理(动静法),达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法,即用静力学中研究平衡问题的方法来研究动力学问题,因此又称为动静法。,3,11.2 刚体惯性力系的简化,11.3 绕定轴转动刚体的轴承动约束力,11.1 惯性力达朗贝尔原理,第11章 达朗贝尔原理,4,FI,如图示,设一质点的质量为m,加速度为a,受主动力F,约束力FN,,m a=F+FN,F+FN m a=0,FI=m a(111),F+FN+FI=0(112),FI称为质点的惯性力。,m a,一、惯性力,则有,注意惯性力的大小和方向。,令,有,11.1 惯性力达朗贝尔
2、原理,5,二、质点的达朗贝尔原理,上式表明作用在质点上的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。,质点并非真的处于平衡状态,这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。对质点系动力学问题,这一方法具有很多优越性。,F+FN+FI=0(112),强调指出:,11.1 惯性力达朗贝尔原理,6,FT,FIn,例111 如图所示一圆锥摆,质量m0.1kg的小球系于长l0.3m的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成60角。如小球在水平面内作匀速圆周运动,求小球的速度v与绳的张力FT的大小。,mg,11.1 惯性力达朗贝尔原理,7,解:视小球为质点,受力分析如下:,
3、重力(主动力):,绳的张力(约束力):,惯性力:,FIn man,=m,根据质点的达朗贝尔原理,有:,mg+FT+FIn0(),mg,FT,FIn,其中,FT,mg,FIn,11.1 惯性力达朗贝尔原理,8,则式()在图示自然轴上的投影式为:,FTcos-mg=0,FTsin-FIn=0,(1),(2),联解(1)、(2)式得:,FT,1.96N,v,2.1m/s,建立如图所示自然坐标系,mg+FT FIn0(),11.1 惯性力达朗贝尔原理,9,练习:列车在水平轨道上行驶,车厢内悬挂一单摆,当车厢向右作匀加速运动时,单摆左偏角度,相对车厢静止,求车厢的加速度a。,解:以单摆为研究对象,画受力
4、图,加惯性力,建立坐标轴x,x,列平衡方程,角随着加速度a的变化而变化,当a不变时,角也不变。只要测出角,就能知道列车的加速度。,摆式加速计,11.1 惯性力达朗贝尔原理,10,主动力的合力Fi、,惯性力FIi=miai。,设质点系由n个质点组成,其中任意质点i的质量为mi,加速度为ai。,Fi+FNi+FIi=0(113),该式表明:质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系,这就是质点系的达朗贝尔原理。,(1)若把作用于此质点上的所有力分为,由质点的达朗贝尔原理,有,约束力的合力FNi,,再虚拟加上此质点的,11.1 惯性力达朗贝尔原理,三、质点系的达朗贝尔原理
5、,11,外力的合力Fi(e)、,(2)若把作用于此质点上的所有力分为:,则式(113)可改写为:,Fi(e)+Fi(i)+FIi=0(i1,2,n),对整个质点系有:,而,内力的合力Fi(i),,11.1 惯性力达朗贝尔原理,12,为对点O的主矩,,上式表明,作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系,这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。,在静力学中,,故,称,为主矢,,在此称,为惯性力系的主矢,,为惯性力系对点 O的主矩。,11.1 惯性力达朗贝尔原理,13,可见(11-4)与上式相比分别多出了惯性力的主矢和主矩,这在形式上也是一个平衡力系,因而可用静力学中求解平衡
6、问题的方法,求解动力学问题。,空间任意力系的平衡条件为:,11.1 惯性力达朗贝尔原理,14,例142 如图所示,定滑轮的半径为r,质量m均匀分布在轮缘上,绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物(m1m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略不计,求重物的加速度。,m1g,m2g,mg,11.1 惯性力达朗贝尔原理,15,两重物:,解:取滑轮与两重物组成的质点系为研究对象,并对该质点系进行受力分析:,1、外力,重力:,m1g,m2g,mg,轴承约束反力:,Fox,Foy,2、惯性力:(各加速度方向如图示),FI1m1a,FI2=m2a,轮缘上任意质点i(设其质量为mi):,
7、FIit,FIin,=mia,=mi at,=mi an,FI2,Fox,m1g,mi,m2g,mg,Foy,FI1,FIit,FIin,11.1 惯性力达朗贝尔原理,16,根据质点系达朗贝尔原理,列平衡方程:,m1grm2gr FI1r FI2r,即,(m1g m2g m1a m2a)r=0,而,=mar,解得,FI2,Fox,m1g,mi,m2g,mg,Foy,FI1,FIit,FIin,有其它方法吗?,11.1 惯性力达朗贝尔原理,17,Fox,m1g,mi,m2g,mg,Foy,例112 如图所示,定滑轮的半径为r,质量m均匀分布在轮缘上,绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量
8、为m1和m2的重物(m1m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略不计,求重物的加速度。,解:以整体为研究对象,受力如图,由动量矩定理,11.1 惯性力达朗贝尔原理,18,例113 飞轮质量为m,半径为R,以匀角速度定轴转动,设轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力的影响,求轮缘横截面的张力。,11.1 惯性力达朗贝尔原理,19,每段加惯性力FIi。,FA,FB,解:由于对称,取四分之一轮缘为研究对象,如图所示。,FIi=miain,列平衡方程,取圆心角为i的微小弧段,,轮缘横截面张力设为FA、FB。,而,FIi,11.1 惯性力达朗贝尔原理,20,i,所以,由于对称,任一横截面张力相同。
9、,0,,有,令,11.1 惯性力达朗贝尔原理,21,例11-4:如下图(a)所示,质量为m,长为l=a+b的均质杆BE,用铰链E和绳CD与铅垂转轴CE连接,BE与CE的夹角为,CD垂直于CE。如转轴以匀角速度转动,求绳子的拉力和铰链E的约束力。,11.1 惯性力达朗贝尔原理,22,解:以细杆BE为研究对象,并对该杆进行受力分析(图(b)):,1、外力,重力:,mg,轴承约束反力:,FEx,FEy,绳子的拉力:,FT,FEx,FEy,mg,FT,11.1 惯性力达朗贝尔原理,23,设惯性力合力为FI,其作用点G距E的距离为sG。,在杆长s处,取微小段ds,,2、惯性力:,BE杆中所有质点的惯性力
10、呈三角形分布,(1)求惯性力合力大小及其作用位置,G,D,E,B,x,FEx,FEy,mg,FT,(b),y,sG,FI,dFI,dFI=dman,(为常量,at=0),所以,FI,它的惯性力为dFI:,11.1 惯性力达朗贝尔原理,24,由合力矩定理可求得合力作用线位置sG:,(2)利用动静法,列平衡方程式,求解未知量,FTFI FEx=0,FEy mg=0,11.1 惯性力达朗贝尔原理,25,由上三式解得:,11.1 惯性力达朗贝尔原理,作业:11-3,11-6,练习:11-1,11-2,11-4,26,11.2 刚体惯性力系的简化,为了便于应用动静法解决刚体的动力学问题,常需将刚体中各质
11、点的惯性力所组成的惯性力系进行简化,求出惯性力系的主矢和主矩。,本节将讨论刚体平移,定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。,以FIR表示惯性力系的主矢,则,结合(114)第一式和质心运动定理知:,此式适用于任何质点做任何运动,(115),动静法的关键就是如何确定惯性力系的主矢和主矩,27,力系主矢的大小和方向与简化中心的位置无关,主矩一般与简化中心的位置有关。下面对刚体作三种运动时惯性力系简化的主矩进行讨论。,1.刚体作平移,FI1,ai,a1,FIi,任一瞬时都有:,如图,C为刚体质心,O为简化中心。,ai aC,该力系向O点简化:,FIimi ai=mi aC,惯性力系分布如图示。,11.2
12、 刚体惯性力系的简化,28,若取质心C为简化中心,MIC表示主矩,,rC=0,,则有,MIC0,因,MIO一般不为零,结论:,平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。,29,2.刚体定轴转动,如图定轴转动刚体,其上任一质点质量mi,,同理,有惯性力:,30,工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面,若取此平面与转轴z的交点O为简化中心,,则有(对z轴的惯性积),故此时惯性力系向O点简化的主矩为:,而,31,结论:当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称平面的轴作定轴转动时,惯性力系向转轴与对称平面的交点O简化,可简化为此对称平面内
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