超静定结构与弯矩分配法.ppt

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1、第7章 超静定结构与弯矩分配法,第一节 超静定结构和静定结构的差别,一、几何组成分析,超静定梁：,静定梁：,有多余支座,几何可变,静定结构是没有多余约束的几何不变体系,超静定结构是有多余约束的几何不变体系,二、超静定结构的优缺点,1.超静定结构的优点,1）超静定结构在抵抗外荷载时具有较大的刚度。刚度：力在所作用点产生单位位移时所需的力。,静定梁,超静定梁,2)超静定结构与静定结构相比具有较低的应力,连续性,2.超静定结构的缺点,连续性,1）支座沉降会引起内力和变形,可能导致超载,超静定三跨连续梁,支座B相对沉降,对于超静定结构，可以导致结构变形的任何原因，如相对的沉陷、温度改变引起的杆件长度变

2、化或者制造误差等，都会使整个结构产生内力。,1、超静定结构是有多余约束的几何不变体系；2、超静定结构的全部内力和反力仅有平衡条件求不出，还必须考虑变形条件；如在力法计算中，多余未知力由力法方程（变形条件）计算。再由M=MiXi+MP 叠加内力图。如只考虑平衡条件画出单位弯矩图和荷载弯矩图，Xi是没有确定的任意值。因此单就满足平衡条件来说，超静定结构有无穷多组解答。3、超静定结构的内力与材料的物理性能和截面的几何特征有关，即与刚度有关。荷载引起的内力与各杆的刚度比值有关。因此在设计超静定结构时须事先假定截面尺寸，才能求出内力；然后再根据内力重新选择截面。另外，也可通过调整各杆刚度比值达到调整内力

3、的目的。,小结：,5、超静定结构的多余约束破坏，仍能继续承载。具有较高的防御能力。6、超静定结构的整体性好，在局部荷载作用下可以减小局部的内力幅值和位移幅值。,多余约束约束的存在，使结构的强度、刚度、稳定性都有所提高。,=1,=1/2,等截面杆件的刚度方程,一、由杆端位移求杆端弯矩,（1）由杆端弯矩,利用单位荷载法可求得,设,同理可得,杆端力和杆端位移的正负规定 杆端转角A、B，弦转角/l都以顺时针为正。杆端弯矩对杆端以顺时针为正 对结点或支座以逆时针为正。,（2）由于相对线位移引起的A和B,以上两过程的叠加,我们的任务是要由杆端位移求杆端力，变换上面的式子可得：,用力法求解单跨超静定梁,令,

4、可以将上式写成矩阵形式,几种不同远端支座的刚度方程,（1）远端为固定支座,因B=0，代入(1)式可得,（2）远端为固定铰支座,因MBA=0，代入(1)式可得,（3）远端为定向支座,因,代入（2）式可得,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。,4i,2i,0,3i,0,i,i,0,二、由荷载求固端反力,在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角位移方程）：,第二节 超静定结构的计算方法概述,1.力法是将超静定结构的多余未知力作为首先解决的对象，通过把多余未知力计算出未成为已韧力以后，剩下的问题便可归结为静定结构的计算。,2.位移法是通过向原结构中沿独立位移方向人为地添加约束，并引入未

5、知位移作为首先解决的现象，当把未知的节点位移计算出来以后，剩下的问题就可以把杆件的杆端弯矩求出，又使问题成为静定结构的计算。,3.有限元法或称结构矩阵分析。,4.渐进法,1、线性代数方程组的解法:,直接法,渐近法,2、结构力学的渐近法,力学建立方程，数学渐近解,不建立方程式，直接逼近真实受力状态。其突出的优点是每一步都有明确的物理意义。,3、不建立方程组的渐近解法有：,(1)弯矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。,(2)无剪力分配法：适于规则的有侧移刚架。,(3)迭代法：适于梁的刚度大于柱刚度的各种刚架。,它们都属于位移法的渐近解法。,渐近法概述,弯矩分配法的基本概念,弯矩分配法,理论基础：位移

6、法；计算对象：杆端弯矩；计算方法：逐渐逼近的方法；适用范围：连续梁和无侧移刚架。,表示杆端对转动的抵抗能力。,在数值上=仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。,SAB=4i,SAB=3i,SAB=i,SAB=0,SAB与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，,而与近端支承无关。,一、转动刚度S：,二、分配系数 设A点有力矩M，求MAB、MAC和MAD,如用位移法求解：,于是可得,三、传递系数,MAB=4 iAB A,MBA=2 iAB A,MAB=3iABA,MAB=iABA,MBA=-iAB A,在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端截面，各杆远端弯矩分别等

7、于各杆近端弯矩乘以传递系数。,四、杆端弯矩,:支座对靠近支座的杆件这一端的弯矩,1.计算杆端弯矩的目的,2.近端弯矩和远端弯矩,3.杆端弯矩一律以顺时针方向为正,固端弯矩：对单跨超静定梁仅由荷载引起的杆端弯矩，称为固端弯矩，用 表示。,M,M,五、固端弯矩,将每相邻两节点之间的杆件视为一根两端支座为固定支座的单跨梁，这样的梁在各种外荷载作用下的杆端弯矩叫做固端弯矩。,基本运算,MB,0,+,=,最后杆端弯矩：,MBA=,MBC=,MAB=,然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。,单结点的弯矩分配,例1.用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。,（1）B点加约束,MAB=,MBA=,MBC=

8、,MB=,MBA+MBC=,-150,150,-90,（2）放松结点B，即加-60进行分配,60,设i=EI/l,计算转动刚度：,SBA=4i,SBC=3i,分配系数：,0.571,0.429,分配力矩:,-34.3,-25.7,-17.2,0,+,(3)最后结果。合并前面两个过程,0.571,0.429,-150,150,-90,-34.3,-25.7,-17.2,0,-167.2,115.7,-115.7,0,167.2,115.7,300,90,M图(kNm),=,多结点的弯矩分配,MBA,MBC,MCB,MCD,MAB,mBA,mBC,mCB,放松，平衡了,固定,放松，平衡了,固定,固

9、定,放松，平衡了,渐近运算,C,B,例1.用弯矩分配法列表计算图示连续梁。,0.4,0.6,0.667,0.333,m,-60,60,-100,100,分配与传递,-33.3,-66.7,-33.4,29.4,44,22,14.7,-14.7,-7.3,-7.3,4.4,2.9,2.2,-1.5,-0.7,-0.7,0.3,0.4,1.5,0.2,-43.6,92.6,-92.6,41.3,-41.3,Mij,0,43.6,92.6,133.1,41.3,21.9,M图（kNm）,51.8,68.2,56.4,43.6,6.9,Q图（kN）,求支座反力,上题若列位移法方程式，用逐次渐近解法：,

10、(1),将上式改写成,(2),余数,(3),B,C,第一次近似值,24,-66.67,-8,20,2.4,-6.67,2,-0.8,0.24,-0.67,0.2,-0.08,结 果,B=48.84,C=-82.89,精确值,48.88,-82.06,MBC=4iBCB+2 iBCC-100=,1）单结点弯矩分配法得到精确解；多结点弯矩分配法得到渐近解。2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算：,结点不平衡力矩,（第一轮第一结点）,固端弯矩之和,（第一轮第二、三结点）,固端弯矩之和 加传递弯矩,传递弯矩,（其它轮次各结点）,总等于附加刚

11、臂上的约束力矩,5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。,弯矩分配法小结：,0.222,1,1,1,B,C,mBA=40kNm,mBC=-41.7kNm,mCB=41.7kNm,0.3,0.4,0.3,0.445,0.333,40,-41.7,-41.7,-18.5,-9.3,-13.9,-9.3,3.3,3.3,4.4,2.2,-1.0,-0.5,-0.7,-0.5,0.15,0.15,0.2,-4.65,1.65,-0.25,0.07,43.45,3.45,-46.9,24.4,-9.8,-14.6,1.72,-4.90,

12、M图,例2.,5/6,1/6,50,25,-20.8,-4.2,-20.8,+20.8,+50,例3.带悬臂杆件的结构的弯矩分配法。,M/2,用弯矩分配法计算，作M图。,取EI=5,20,0.263,0.316,0.421,0.615,0.385,0,0,0,31.25,20.83,20.83,0,0,(20),2.74 3.29 4.39,1.37,2.20,MB=31.2520.83=10.42,MC=20.83202.2=1.37,0.84 0.53,0.27,0.42,0.10 0.14 0.18,0.05,0.09,A,B,C,E,F,2.85,0.06 0.03,0.02,0.03

13、,0.01 0.01 0.01,M,0,1.42,27.80,24.96,19.94,0.56,0.29,计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和结点集中 力偶(顺时针为正),4i,2i,SAG=4i,SAC=4i,SCA=4i,SCH=2i,SCE=4i,AG=0.5,AC=0.5,CA=0.4,CH=0.2,CE=0.4,0.5,0.5,0.4,0.2,0.4,15,对称结构的计算,7.5 7.5,3.75,1.50 0.75 1.50,0.75,0.75,0.37 0.38,0.19,0.08 0.03 0.08,0.04,0.0

14、4,0.02 0.02,M,7.11,7.11,2.36,0.78,1.58,0.79,0.79,M图（kN.m),例、求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。,E,I1,I2,解：取等代结构如图。设梁柱的线刚度为i1，i2,2i1,2i2,M,M图,当竖柱比横梁的刚度大很多时(如i220i1),梁端弯矩接近于固端弯矩ql2/12。此时竖柱对横梁起固定支座的作用。,当横梁比竖柱的刚度大很多时(如i120i2),梁端弯矩接近于零。此时竖柱对横梁起铰支座的作用。,由此可见：结构中相邻部分互为弹性支承，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。如本例中只要横梁线刚度i1 超过竖柱线刚度i2的20倍时，横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱i2 超过横梁线刚度i1的20倍时，横梁即可按两端固定梁计算。,