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1、1,第七章 机械振动,教学基本要求,1.掌握描述简谐振动的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。2.理解旋转矢量法。3.掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。4.理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成规律。,教学基本要求,1 简谐运动,第七章 机械振动,机械振动是指物体在一定位置附近作周期性往复运动,振动的分类：,受迫振动,自由振动,阻尼自由振动无阻尼自由振动,无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动,简谐振动,机械振动的成因:回复力;惯性.,1.简谐振动的动力学方程,(1)弹簧振子,受力 F=kx,由牛顿第二定律,令

2、,机械振动,则,凡满足以上特征的运动叫简谐运动.,物体受线性恢复力的作用;或加速度与位移大小成正比,而方向相反;或有简谐运动的微分方程.,忽略空气阻力，质点在平衡点附近往复运动.,(2)单摆(数学摆),重力矩：,M=mgl sin,简谐运动,根据转动定律：,而 J=ml 2,在小角度条件下 sin(5),简谐运动,质点作简谐运动,(3)复摆(物理摆),质量为m的任意形状的物体,绕过O点的水平轴作微小的自由摆动，称为复摆.,设复摆的转动惯量为J,复摆的质心C到O的距离为OC=l,简谐运动,M=mgl sin,当很小时,M=mgl,由转动定律,或,重力矩：,令,简谐运动微分方程,2.谐振的速度与加

3、速度,简谐运动,简谐运动微分方程的解为:,A、为待定系数,那么速度为:,式中vm=A为速度振幅,加速度为:,式中am=2A 为加速度振幅,简谐运动,可见a(t)振动超前v(t)/2；v(t)振动超前x(t)/2,2 描述简谐振动的物理量,速度振幅:vm=A,1.振幅A,式中A为振幅:简谐运动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值,加速度振幅:am=2A,2.周期 频率 圆频率,周期T:物体作一次完全振动所经历的时间,描述简谐振动的物理量,所以,弹簧振子:,单摆:,频率:单位时间内物体所作的完全振动的次数,描述简谐振动的物理量,圆频率:物体在2秒时间内所作的完全振动次数(又叫角频率)单位:rad/s

4、,固有频率,弹簧振子,3.相位和初相位,相位(t+):决定物体在任意时刻的振动状态,初相位:决定初始时刻振动物体的运动状态,描述简谐振动的物理量,相位即可以决定振动状态(x,v),也常用来比较两个谐振动是否同步,4.常数A和的确定,(方法1.公式法),由振动运动方程:,由初始条件 t=0 时 位移x0和速度v0,联立求解得:,描述简谐振动的物理量,上式解出 的有两个值,一般由初始速度确定最后的取值.,3 旋转矢量法,用几何方法来表示简谐振动作一矢量A,使它在oxy平面上绕点o作逆时针匀速转动,角速度,其矢量的端点M在x轴上的投影点P的运动为简谐运动.,旋转矢量法,t=0 时,矢端在M0点,t

5、时刻,矢端在M点.M点的投影点的坐标为 x,可见,矢量A作匀速转动时,旋转矢量法,其端点M在ox轴上的投影点的运动就是谐振动.,旋转矢量法的优点,(1)把变速直线运动转化为匀速圆周运动.,(2)利用该方法可方便地画出x t,v t,a t 图,(3)可方便地比较两个振动的相位,方便地求初相位,(4)方便地进行两个振动的合成,例题1,一轻弹簧的右端连着一物体,弹簧的劲度系数为,旋转矢量法,k=0.72N/m,物体的质量m=20g.(1)把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m 处停下后再释放,求简谐运动方程;(2)求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速率;(3)如果物体在x=0.05m处时速

6、度不等于零,而是具有向右的初速度v0=0.30m/s,求其运动方程.,解（1）先求角频率、振幅A、初相位,旋转矢量法,由旋转矢量图知=0,所以运动方程为：,旋转矢量法,(2)求A/2处的速度,由运动方程,由旋转矢量图知第一次经过A/2,(3)因x0=0.05m,v0=0.3m/s,旋转矢量法,又 v0=A sin 0,设 x=A cos(6 t+),t=0 时,x0=Acos,即：0.05=0.07cos,所以 取/4,旋转矢量法,例题2,一质量为0.01kg的物体作简谐运动,其振幅为0.08m,周期为4s,起始时刻在x=0.04m处,向Ox轴负方向运动.试求:(1)t=1.0s时,物体所处的

7、位置和所受的力;(2)由起始位置运动到x=0.04m处所需要的最短时间.,解:已知 A=0.08m,在 t=0时有,0.04=0.08cos,由 x=Acos(t+),旋转矢量法,所以,而 v0=A sin 0,(1)t=1.0s时 由上式解得x=0.069m,F=kx=m2x=1.70103N,(2)设最短时间为t,由,受力为,旋转矢量法,4 简谐运动的能量,以弹簧振子为例：,当其位移为x，速度为v时,系统的动能,简谐运动的能量,系统的势能,利用k=m2 总能,弹簧振子的总能量与振幅的平方成正比.,k、A都是常量，因此总能量守恒.但动能、势能相互转换.,例题3,定滑轮的半径为R,转动惯量为J

8、,轻绳绕过滑轮一端与固定的轻弹簧相连.,简谐运动的能量,弹簧的劲度系数为k,另一端挂质量为m的物体,现将m从平衡位置向下拉一微小距离后放手.试证明物体作简谐振动,并求其振动周期.(设绳与滑轮滑动,摩擦及空气阻力忽略).,解:用能量法求解,设平衡点为坐标原点,向下为x正向.平衡时 kx0=mg 当物体在x点时,其速度为v,简谐运动的能量,取平衡点为重力势能零点,系统的总能守恒,利用v=R,kx0=mg化简上式,上式两边对t 求导:,简谐运动的能量,上式消去v后，有,任意时刻,上式表明证明物体作简谐振动,周期T:,即：,简谐运动的能量,5 简谐运动的合成,1.两个同方向同频率简谐运动的合成,设两个

9、简谐运动同方向(x),同频率().运动方程分别为:,合位移应在同一方向上(x)x=x1+x2,旋转矢量法,当A1、A2以相同的频率旋转时，合矢量A也以相同的频率旋转，其合位移为,简谐运动的合成,合振动仍为谐振动，角频率与分振动相同，振幅A、初相如上.,简谐运动的合成,(1)若相位差(2 1)=2k(k=0,1,2,),则,分振动同相位,合振动加强,(2)若相位差,分振动反相位,合振动减弱,(3)一般情况下,|A1A2|A(A1+A2),(2 1)=(2k+1),(k=0,1,2,),则,简谐运动的合成,例题4,求合成振动的表达式,解:已知 A1=6,1=0.75;A2=8,2=0.25,已知,

10、合振动为,简谐运动的合成,2.两个同方向不同频率简谐运动的合成,由于两振动频率不同,则它们的相位差不恒定.合振动一般不是简谐运动.,设某时刻两振动相位差为0时,作为计时起点,此时,求:x=x1+x2,为简单起见.设A1=A2,则:,简谐运动的合成,在|21|(2+1)下讨论，,随t 缓变,随t 迅变,可认为合振动是频率为,振幅为,简谐运动的合成,其振幅也作缓慢的周期性变化.其大小在02A之间,拍,振动时而加强,时而减弱的现象叫拍,简谐运动的合成,拍频:振幅变化的频率,=2 1,3.两个方向垂直不同频率简谐运动的合成,设某时刻两振动相位差为0时,作为计时起点,此时,则有:,方程对应的图形随着两个

11、不同频率的改变而形成不同的如萨尔图形,简谐运动的合成,6 阻尼振动 受迫动 共振,1.阻尼振动,物体受阻力 F=Cv,对弹簧振子,kxCv=ma,或,令 k/m=02,C/m=2,解为,在 2 02 时（弱阻尼）,阻尼振动 受迫动 共振,式中,叫阻尼系数,0叫固有频率,阻尼振动的振幅,随时间 t 作指数衰减,周期T,大于无阻尼自由振动T0,阻尼振动 受迫动 共振,为过阻尼,若阻尼很大,为临界阻尼,当,系统不再作周期运动而缓慢回到平衡位置(黄线).,系统不能往复运动,物体更快回到平衡位置.是一种临界情况.,阻尼振动 受迫动 共振,2.受迫振动,系统受弹性力kx、阻力Cv、周期性外力Fcospt,

12、或,有,方程的解为,阻尼振动 受迫动 共振,稳定状态下，物体与外驱动力同周期振动,3.共振,在周期性外力驱动下,受迫振动系统的振幅达到极大的现象叫共振.,共振角频率r:外力频率p为r时出现共振,阻尼振动 受迫动 共振,得,共振时的振幅,阻尼振动 受迫动 共振,共振小故事,唐朝刘宾客嘉话录,洛阳某僧房中之磬常于齐钟响时自鸣，僧人由此病。其友曹绍夔（太乐令）得知，以锉刀锉磬数处，以后钟响便不再鸣磬。,阻尼振动 受迫动 共振,1952年诺贝尔物理学奖,拓展核磁共振（NMR）,核磁矩旋进角速度,外磁场,阻尼振动 受迫动 共振,交变磁场,线频率,共振条件,核磁共振在临床医学上的应用,2003年诺贝尔医学奖,阻尼振动 受迫动 共振,共振的应用和防止,钢琴、小提琴等乐器;,应用:,军队过桥时要便步走;,装修剧场、房屋时使用吸声材料等.,在振动物体底座加防振垫;,机器运转时为了防止共振要调节转速;,防止:,微波炉.,收音机;,阻尼振动 受迫动 共振,例题5,求火车的危险车速,设铁轨长为25m,车厢弹簧每受重力1.0103kg即压缩1.6mm,车厢重5510 3kg.,解:共振时出现危险,取理想情况,无阻尼 0,固有周期T0,阻尼振动 受迫动 共振,外驱动力周期,当T=T0时危险,要提高车速:,(2)改变T 即改变(k,m),(1)l,阻尼振动 受迫动 共振,谢 谢！,