离散经济变量的无限求.ppt

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1、1,2023/9/28,无穷级数在微积分中占有很重要的地位，它是表示函数、研究函数性质和进行数值计算的有力工具。本章主要介绍无穷 级数的一些基本知识。第一至四节介绍常数项级数的概念、性 质和敛散性判断；第五节为幂级数的概念、性质和展开；最后 一节讨论级数在经济中的应用。,2,2023/9/28,刘徽,公元263年(魏陈留王景元四年)刘徽撰九章算术注，在其中“圆田术”注中，提出使用“割圆术”计算圆周率。割圆 术的要旨是用圆内接正多边形去逐步 逼近圆。刘徽取半径为1尺，从正六 边形出发。他首先算出圆内接正六边形的面 积 u1。则u1可以看作圆面积S的一个 粗略的近似值。,6.1 从一个问题谈起,3

2、,2023/9/28,刘徽,以这个六边形的每条边为底，分别作顶点在圆周上的等 腰三角形。记这六个等腰三角形的面积之和为u2。则u1+u2是圆内接 十二边形的面积，它比u1更接近圆的面积。,4,2023/9/28,刘徽,类似作圆内接二十四边形。对应十二个等腰三角形的面积之和记为u3，则u1+u2+u3 是圆内接二十四边形的面积，它比u1+u2更接近圆的面积。,5,2023/9/28,刘徽,刘徽一直算到192边形，得出圆周率的近似值3.14，化成分数为,即有名的“徽率”。,刘徽一再声明“此率尚微 少”，需要的话可以继续算下去，得 出更精密的近似值。,割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆合体而

3、无所失矣 刘徽九章算术注,6,2023/9/28,在上述用割圆术计算圆面积的过程中，圆面积被看作无穷 多项面积值的和 S=u1+u2+un+更确切地说，圆面积S可以看作u1+u2+un当n时的极 限。在实际应用中，经常会遇到这类无穷多项相加的形式。对 给出的这类形式，它是不是有和？若有和结果又是什么？通过 上面关于圆面积的计算的讨论可以看出，无穷多项的和可以用 有限多项和的极限来计算，这就是所谓的级数。,7,2023/9/28,一、常数项级数的概念 定义 给定数列un，称 u1+u2+un+为常数项无穷级数，简称级数，记为其中un为第n项或一般项。Sn=u1+u2+un称为部分和。即有 S1=

4、u1，S2=u1+u2，。由此看出，当n取1,2,3,时，部分和构成 一个数列。例 若Sn=n3+2n+3，则un=。,6.2 常数项级数的概念与性质,8,2023/9/28,定义 对级数若其部分和的极限存在，则称此级数收敛，并称其部分和的极限值为此级数的和。即 若级数部分和的极限不存在，则此级数发散。例 讨论级数,9,2023/9/28,定义 常数项级数称为几何级数。备忘 例 练习,10,2023/9/28,例 定义 常数项级数称为调和级数。,11,2023/9/28,二、性质 性质1 若A0为常数，则且当它们都收敛时，性质2 推论 性质3 级数去掉或增加有限项不改变其敛散性。,12,202

5、3/9/28,性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍为收敛级数，且 收敛于原级数的和。注 此定理的逆命题不真，即加括号后的级数收敛，不能 推出原级数收敛，如 性质5(级数收敛的必要条件)注 此定理的逆命题不真。常用逆否命题证明级数发散。,13,2023/9/28,一、正项级数 定义 若对任意nN，有un0，则称un为正项级数。定理 正项级数收敛当且仅当其部分和有(上)界。例 证明p1时级数二、正项级数敛散性判别法 1、比较判别法 定理(比较判别法)若对任意nN，有0un vn，则,6.3 正项级数的敛散性判别法,14,2023/9/28,例 证明p1时级数 备忘 几何级数和p-级数的敛散性结果：

6、例 判断级数 练习 判断级数,15,2023/9/28,推论 例 判断级数,16,2023/9/28,定理(比较判别法的极限形式)例 讨论下列级数的敛散性：,17,2023/9/28,总结 正项级数 练习 讨论下列级数的敛散性：例 判断级数 练习 判断级数 总结,18,2023/9/28,推论 若正项级数的通项un与vn为同阶无穷小量，则 例 讨论下列级数的敛散性：练习 判断下列级数的敛散性：例 判断级数,19,2023/9/28,2、比值判别法 定理(比值判别法或DAlembert判别法)注 级数中含有n!、an、nn时一般选用比值判别法。定理中是用极限值与1比较来判定敛散性，而非直接用un

7、+1与un的的比值。当r=1时不能用比值判别法判定级数是否收敛。,20,2023/9/28,例 讨论下面级数的敛散性。练习 讨论级数 3、根式判别法 定理(根式判别法或Cauchy判别法),21,2023/9/28,例 练习 4、积分判别法 定理(Cauchy积分判别法)设f(x)是1,+)上的连续、递减、正值函数，记un=f(n)，则有 例,22,2023/9/28,总结 正项级数敛散性判别的一般思路：首先判断通项是否趋于零：若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则利用比值、根式、积分判别法；若这三种方法 不能判别，则用比较判别法(先考虑极限形式)；若上述方法 都不可行，则考虑计算级数的部分和。

8、练习 讨论下面级数的敛散性：,23,2023/9/28,上一节讨论的敛散性判别法只适用于正项级数。但应用 中常会遇到通项的符号任意(即可正可负)的级数，通常称为任 意项级数。一、绝对收敛与条件收敛 定理 注 此定理的逆命题不真，即 定义 若级数 条件收敛。,6.4 任意项级数的敛散性判别法,绝对收敛，若级,24,2023/9/28,例 证明级数 练习 证明级数二、交错级数 定义 当un0，n=1、2、时，称级数为交错级数或Leibniz级数。,25,2023/9/28,定理(Leibniz判别法),则此交错级数收敛。注 此定理中的条件为交错级数收敛的充分条件而非必要 条件。例 讨论级数,26,

9、2023/9/28,总结 例 判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛：,27,2023/9/28,练习 判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还 是条件收敛：定理 如果根据比值判别法，判定 例,28,2023/9/28,一、幂级数的概念 定义 设un(x)在D上有定义，n=1,2,n,，称为D上的函数项级数。定义 收敛点。否则称函数项级数在x0发散，x0称为其发散点。的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域。,6.5 幂级数与函数的幂级数展开式,收敛，,29,2023/9/28,项级数的和函数，记为 Sn(x)=u1(x)+u2(x)+un(x)称为函数项级数的部分和。定义 形

10、如或的函数项级数称为幂级数，并称an为幂级数的系数。,收敛，即,有一个确定的数值,，这样就得到一个函数，称为函数,30,2023/9/28,二、幂级数收敛半径与收敛域 定理(Abel定理)收敛；发散。由这个定理可以看出，幂级数的收敛域有三种可能：幂级数只在x=0处收敛；幂级数在R内的每一点都收敛；存在R0，使|x|R时幂级数发散。定义 在情况中R称为幂级数的收敛半径。在情况和 中收敛半径分别规定为0和+。称区间(-R,R)为幂级数的收敛区间。,31,2023/9/28,定理 例 求下面幂级数的收敛半径和收敛域。练习 求下面幂级数的收敛半径和收敛域。,32,2023/9/28,三、幂级数的运算与

11、性质 运算性质 线性性质：对、0有 乘法其中cn=a0bn+a1bn-1+anb0。,33,2023/9/28,解析性质 S(x)在(-R,R)上连续。S(x)在(-R,R)上可导。且 S(x)在(-R,R)上可积。且,34,2023/9/28,例 求幂级数 练习 求幂级数 例 求幂级数 练习 求幂级数 例 求幂级数 练习 求幂级数,35,2023/9/28,总结 求幂级数的和函数的一般步骤：求出目标幂级数的收敛域；分析目标幂级数的形式。如果需要，利用变量代换、提 出变量等方法把它化为合适的形式；选择适当的运算(求导或积分)把原级数化为已知幂级数(例如几何级数)；写出已知幂级数的和函数；通过逆

12、运算求出原幂级数的和函数。例 练习,36,2023/9/28,四、函数展开成幂级数 将函数表示成幂级数，称为函数的幂级数展开，对应的幂级数称为函数的幂级数展开式。1、Taylor级数 定理 设函数f(x)在x=x0的某邻域内有任意阶导数，且f(x)在x=x0处幂级数展开式为则,37,2023/9/28,定义 设函数f(x)在x=x0处任意阶可导，则称幂级数为f(x)在x=x0处的Taylor级数。注 当x0=0时，对应的幂级数展开式为称为f(x)的Maclaurin级数。,38,2023/9/28,2、Taylor级数 定理 定义 称Rn(x)=f(x)-Sn(x)为幂级数展开的余项。定理(T

13、aylor公式)设函数f(x)在x=x0的某邻域内有n+1阶导数，则对该邻域内 的任意x，有这个公式称为函数f(x)在x=x0处的n阶Taylor公式。,39,2023/9/28,称为Laguange型余项。当x0=0时，Taylor公式为 也称之为Maclaurin公式。例 求函数y=ex的Maclaurin级数。利用Taylor级数把函数展开成幂级数的方法称为直接展开法。利用已知的展开式结果和幂级数的性质进行计算的方法称为间接展开法。,40,2023/9/28,备忘 常见的幂级数展开式：,41,2023/9/28,注 最后一个公式通常称为Newton二项式展开式，关于对 应的收敛区间，结果

14、如下：当-1时，其收敛区间为(-1,1)；当-10时，其收敛区间为-1,1。例 用间接展开法把f(x)=arcsinx展开为Maclaurin级数。练习 用间接展开法把,42,2023/9/28,一段时期内多次发生的收付款业务，称为系列收付款 项。设从期初开始，第n期未发生的款项为Rn(n=0,1,2,)，每期复利率为r，则到t期末，Rn的终值为Rn=(1-r)t-n。而t期末 系列收付款项的复利终值为 R0(1+r)t+R1(1+r)t-1+R2(1+r)t-2+Rt-1(1+r)+Rt 系列收付款项的复利现值为 R0+R1(1+r)-1+R2(1+r)-2+Rt-1(1+r)-t+1+Rt

15、(1+r)-t 当t时对应无限期的收付款业务，若每期的收付款业 务是等额的，则称之为永续年金问题。这里的年金指一段时 期内每期等额的序列收付款项，而永续年金指无限期收付的 年金。,6.6 离散经济变量的无限求和模型,43,2023/9/28,在系列收付款项的复利现值 R0+R1(1+r)-1+R2(1+r)-2+Rt-1(1+r)-t+1+Rt(1+r)-t中取Ri=A，iN、t，则得资金数目为 A+A(1+r)-1+A(1+r)-2+A(1+r)-t+1+A(1+r)-t+,2023/9/28,部分和,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,在n-1,

16、n上应用Lagrange中值定理得,因此对任意nN，有,因此部分和有界，则原正项级数收敛。,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,用比较判别法，由,由比较判别法，,分析过程,2023/9/28,分析 用比较判别法，显然与p级数,为确定p，,计算相应的极限：,若取p2，则极限为无穷大，但,无法判别；,若取p2，则极限为零，,即需要取p1。通过以上分析，只要选择1p2，就可以用p级数判别。,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,定理,当

17、s=1时这个极限不能判定级数的敛散性，这时还可以构 造更复杂的极限来判别。,2023/9/28,由比值判别法知，级数当x1时发散。当x=1时,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,当p1时，,由Cauchy判别法知，当p1时此级数收敛。,当p1时，,由比较判别法知,当p1时，此级数发散。,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,故R=+，收敛域为R。,故R=0，收敛域为0。,故R=1。,当x=-1时，对应,当x=1时，对应,收敛，因此此幂级数的收敛区间为(-1,1。,即x2(-2,2)时级数,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,2023/9/28,设t=x2，,2023/9/28,2023/9/28,由y=ex的n阶导数为y(n)=ex，则y=ex的Maclaurin级数的系数,则y=ex的Maclaurin级数为,余项为,2023/9/28,2023/9/28,