导数的几何意义(87).ppt

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1、导数的几何意义,以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.,回顾,平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:,平均变化率表示什么?,O,A,B,x,y,Y=f(x),x1,x2,f(x1),f(x2),x2-x1=x

2、,f(x2)-f(x1)=y,直线AB的斜率kAB,那么瞬时变化率呢?,引入:,切线问题：,（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们的切线是如何定义的？,（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线？,（3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点？,P,Q,切线,T,导数的几何意义:,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,注意:曲线在某点

3、处的切线:(1)与该点的位置有关;(2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;(3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标;利用切线斜率的定义求出切线的斜率;利用点斜式求切线方程.,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,:f(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,练习:如图已知曲线

4、,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,如何求函数y=f(x)的导数?,小结:,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。,（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,小结:,（2）函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数值的 改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常 数，不是变数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。,（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,d.求切线方程的步骤：,小结:,无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。,