导数及其运算上.ppt

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1、第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),微分学,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,引例1.变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,2.1.1 导数的概念,引例2.曲线的切线斜率,曲线,在 M 点处的切线,割线 M N 的极限位置 M T,(当 时),割线 M N 的斜率,切线 MT 的斜率,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.

2、,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,定义1 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,若上述极限不存在,在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,注意:,就说函数,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大.,原式,是否可按下述方法作:,例1.证明函数,在 x=0 不可导.,

3、证:,不存在,例2.设,存在,求极限,解:原式,例3.求函数,(C 为常数)的导数.,解,即,例4.求函数,解,说明：,对一般幂函数,(为常数),例如，,函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续.,注意:函数在点 x 连续未必可导.,反例:,在 x=0 处连续,但不可导.,即,在点,的某个右 邻域内,单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,记作,即,(左),(左),例如,在 x=0 处有,定义2.设函数,有定义,存在,定理2.函数,在点,且,存在,简写为,定理3.函数,(左),(左),若函数,与,都存在,则

4、称,显然:,在闭区间 a,b 上可导,在开区间 内可导,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直.,切线方程:,法线方程:,例5.问曲线,哪一点有垂直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1),(1,1)处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点(0,0)有垂直切线,内容小结,1.导数的实质:,3.导数的几何意义:,4.可导必连续,但连续不一定可导;,5.判断可导性,不连续,一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在

5、且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,思考与练习,1.函数 在某点 处的导数,区别:,是函数,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,5.设,问 a 取何值时,在,都存在,并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x=0 连续.,考研真题,1.设函数,，则,在,内（）,（A）处处可导,（B）恰有一个不可导点,（C）恰有两个不可导点,（D）至少有三个不可导点,解：,，有不可导点,选C。,解:因为,2.设,存在,且,求,所以,在,处连续,且,，证

6、明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,3.设,故,作业,P124 第1题中选一小题,P124 第2题中选一小题,P127 第9题,P127 第11题,P127 第12、13题中选一题,例1.求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,2.1.2 导数的基本公式与运算法则,解,即,特别地,例2.,例3.求函数,的导数.,解:,即,或,四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商(除分母,为 0的点外)都在点 x 可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题.,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设,则,故结论成立.,例如,(2),证:设,则

7、有,故结论成立.,推论:,(C为常数),(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,(C为常数),例4.求下列函数的导数,例5.求证,证:,类似可证:,作业,P125 第5题中选2小题,P125 第6题中选一小题,在点 x 可导,2.1.3 复合函数求导法则,定理.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,（当 时),故有,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,解,解,例2.,例1.,例3.求下列导数:,解:(1),(2),(3),说明:类似可得,例4.设,求,解:,思考:若,存在,如何求,的导数?,例5.设,解

8、:,作业,P126 第7题中选3小题,P127 第8题,2.2.4 反函数和隐函数的导数,定理.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,例1.求反三角函数及指数函数的导数.,解:1)设,则,类似可求得,利用,则,2)设,则,小结:,常数和基本初等函数的导数,例2.,求,解:,例3.,设,解:,求,例4.,求,解:,关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,*例5.设,求,解:,隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数,由,表示的函数,称为显函数.,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.,函数为隐函

9、数.,则称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),例6.求由方程,在x=0 处的导数,解:方程两边对x 求导,得,因x=0时y=0,故,确定的隐函数,例7.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例8.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对 x 求导,对数求导法,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,说明:,注意:,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,两边取对数,设 f 可导，求下列函数的导数：,解,1.,2.,3.,抽象函数求导,例9.,内容小结,1.求导公式及求导法

10、则,注意:1),2)搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,2.隐函数求导法则,直接对方程两边求导,3.对数求导法:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数,1.设,其中,在,因,故,正确解法:,时,下列做法是否正确?,在求,处连续,思考与练习,2.设,求,解:方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,求其反函数的导数.,解:,方法1,方法2,等式两边同时对 求导,3.设,4.设,由方程,确定,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导,得,当,时,故由 得,再代入 得,求,考研真题,1.设,是由方程,所确定的隐函数，则,解：,解：,3.已知,是周期为5的连续函数，它在,的某邻域,内满足关系式,，其中,是当,时比,高阶的无穷小，且,在,处可导，求曲线,在点,处的切线方程。,思路：,故切线方程为,作业,P127 第14题中选2小题,P127 第15题中选1小题,P127 第16题中选1小题,P128 第17题中选1小题,