复合函数求导法.ppt

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1、8.4 多元复合函数求导法则,先回忆一下一元复合函数的微分法则.若 y=f(u)及u=(x)可导,则复合函数 y=f(x)对x的导数为,这一节将把这一求导法则推广到多元函数的情形.主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法.我们知道,求多元函数的偏导数与求一元函数的导数在形式上并没有太大的区别,对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内,在多元函数微分法中仍然适用,那么为什么还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法呢?这主要是对于没有具体给出初等函数(解析)表达式的所谓抽象函数而言.,一、链式法则,定理:如果函数 u=(t)及 v=(t)都在点 t 处可导,函数z=f(u,v)在对应

2、点(u,v)处具有连续偏导数,则复合函数 z=f(t),(t)在对应点 t 处可导,且其导数可用下列公式计算:,证:设自变量 t 获得增量t,则,u=(t+t)(t),v=(t+t)(t);,由于函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处有连续偏导数,则,当u0,v0时,10,2 0.有,当 t0时,u0,v0且,因此,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如,以上公式中的导数 称为全导数.,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况:z=f(x,y),(x,y).,经常将函数,中间变量,自变量之间的关系用图表示.称为变量关系图.,如果 u=(x,y)及 v=(x,y)都在点

3、(x,y)具有对x和 y的偏导数,且函数 z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f(x,y),(x,y)在对应点(x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:,以上导出的四个公式习惯称为链式法则.,这两个公式的特征:,(1)函数z=f(x,y),(x,y)有两个自变量x和y,故,变量关系图为:,(2)由于在函数复合过程中有两个中间变量u和v,故,法则中每一个公式都是两项之和,这两项分别含有,(3)每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似,即“函数对中间变量的偏导数乘以中间变量对自变量的偏导数”.,多元复合函数的求导法则简言之即:,“分道相加,连线相乘”.,类似地再推

4、广,设u=(x,y),v=(x,y)及w=(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数,函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)的偏导数连续,则复合函数z=f(x,y),(x,y),(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且可用下列公式计算,特殊地 z=f(u,x,y),u=(x,y),即z=f(x,y),x,y,令 v=x,w=y.则,1,1,区别类似,由于 v=x,w=y.记,则,把z=f(u,x,y)中的u及y看作不变而对x的偏导数.,把复合函数z=f(x,y),x,y中的y看作不变而对x的偏导数.,两者的区别,此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形.如 z=f

5、(u1,u2,um)ui=ui(x1,x2,xn)(i=1,2,m),则,从以上推广中可以得出:有多少自变量就有多少个公式;所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数.,关于多元复合函数求偏导问题,这是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是求二阶偏导数,既是重点又是难点.对求偏导公式不求强记,而要切实做到彻底理解.注意以下几点将会有助于领会和理解公式,在解题时自如地运用公式.用图示法表示出函数的复合关系;清楚函数对某个自变量的偏导数的结构(项数及项的构成);,求抽象函数的偏导数时,一定要设中间变量;,注意引用这些公式的条件:外层函数可微(偏导数连续)内层函数偏导数存在.,fuv,fvu的合并问题视

6、题设条件而定.,弄清 fu(u,v)和fv(u,v)的结构是求抽象的复合函数二阶偏导数的关键,即fu(u,v)和fv(u,v)仍是复合函数,且复合结构与f(u,v)完全相同,即fu(u,v)和fv(u,v)仍是以u,v为中间变量,以x,y为自变量的复合函数.因此求它们关于x,y 的偏导数时必须使用链式法则.,在具体计算中最容易出错的地方是对 fu(u,v)和fv(u,v)再求偏导数这一步.原因就是不注意 fu(u,v)和fv(u,v)是与f(u,v)具有相同结构的复合函数.,特别是在使用符号 时,会误认为其仅为u的函数,而造成漏项.,例1:设 z=eu sin v,而 u=xy,v=x+y,求

7、,解:,例2:设 z=uv+sin t,而 u=e t,v=cos t,求,解:z=f(u,v,t)=uv+sin t,u=u(t)=e t,v=v(t)=cos t,则,解:复合函数的变量关系图,由链式法则:,故,即,同理可得:,即,例4:设 w=f(x+y+z,xyz)具有二阶连续偏导数,求,解:令 u=x+y+z,v=xyz,记,同理有,则,而,于是,二、全微分形式不变性,设函数 z=f(u,v)具有连续偏导数,则有全微分:,当 u=u(x,y),v=v(x,y)时,有,全微分形式不变性的实质:无论 z 是自变量 x,y 的函数,还是中间变量 u,v 的函数,它的全微分形式是一样的.,事

8、实上,利用全微分形式不变性,在逐步作微分运算的过程中,不论变量间的关系如何错综复杂,都可以不加辨认和区分,而一律作为自变量来处理,且作微分运算的结果对自变量的微分dx,dy,dz,来说是线性的.从而为解题带来很多方便,而且也不易出错.,例5:设u=f(x,y,z),y=(x,t),t=(x,z),各函数满足求偏导的条件,求,解一:复合函数变量间的关系图:,则,而,所以,解二:这里变量间的关系比较乱,用全微分来解.,由全微分形式的不变性:,注意到 x,z 是独立自变量,故,由全微分的必要条件定理得:,注:解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错.,1、链式法则:分三种情况,特别要注意课中所讲的特

9、殊情况;,2、全微分形式不变性:理解其实质.,三、小 结,思考题解答,不相同.,等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数,而等式右端最后一项的 f 是作为u,v,x的三元函数.,写出来为:,设 z=f(u,v,x),u=(x),v=(x),则,思考题,试问 与 是否相同?为什么?,第四节 复合函数求导法则,一、中间变量均为一元函数,以上公式中的导数 称为全导数.,定理1：如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u,v)具有连续偏导数 则复合函数zf(t)(t)在点t可导 且有,定理1的推广,设zf(u,v,w),uu(t),vv(t),ww(t),则,二、中间变

10、量均为多元函数,定理2：如果函数u(x y)v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf(x y)(x y)在点(x y)的两个偏导数存在 且有,定理2的推广,设zf(u v w)u(x y)v(x y)w(x y)则,设zf(u v)u(x y)v(x y)则,设zf(u v)u(t)v(t)则,讨论,三、中间变量既有一元函数，又有多元函数,特殊地,其中,两者的区别,区别类似,例3：设 而，求 和。,即仍是以u,v为中间变量，以x,y为自变量的复合函数,四、全微分形式不变性,全微分形式不变性的实质：无论 是自变量 的函数还是中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,例3：设 而，求 和。（用全微分形式不变性来做）,五、小结,1、链式法则（分三种情况）,（特别要注意所讲的第三种情况）,2、全微分形式不变性,（理解其实质）,课下练习：设,各函数满足求导条件，,求,思考题,