分子的对称性和群伦.ppt

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1、2.2 分子点群,第2章 分子的对称性和群论,2.3 特征标表,2.1 对称性操作与对称性元素,2.4 对称性与群论在无机化学 中的应用,2.1.2 反映操作与对称面,2.1.3 反演操作与对称中心,2.1.1 旋转操作与对称轴,2.1 对称性操作与对称元素,2.1.4 旋转反映操作与反映轴,2.1.5 恒等操作,分子的对称性是指分子具有对称元素（symmetry element），可以进行对称操作的性质。对称操作（symmetry operation）是能使分子复原的操作。,水分子的旋转操作,旋转360,2.1.1 旋转操作与对称轴,旋转操作（rotation operation）：围绕通过

2、分子的某一根轴转动2/n能使分子复原的操作。旋转轴Cn：表示旋转，n表示旋转阶次，即使分子在2范围内作n次都能与原来的构型相重合。,一些分子或离子中的Cn旋转轴,XeF4,C4四重轴(主轴)，一根，z方向,C2 二重轴(副轴)，四根,其中，两个C2轴通过F-Xe-F键轴；另两个C2轴则通过Xe原子与平面四边形对边中点的连线。,2.1.2 反映操作与对称面,反映操作（reflection operation）：通过分子的某个平面，将分子中的原子作垂直线，将该线向相反方向延长相等的距离，得到了该原子的等价点。,H2O分子所在的yz平面反映操作后全等复原。垂直于H2O分子平面的xz平面反映操作后等价

3、复原。,对称元素：反映面,v（vertical）：通过主轴Cn轴的反映面,h（horizontal）：与分子的n重主轴垂直的反映面,d（dihedral）：包含主轴并平分垂直于主轴的两个二重轴的夹角的平面,XeF4：,h：1个v：2个d：2个,2.1.3 反演操作与对称中心,反演操作（inversion operation）的对称元素是点，称为对称中心i。将分子中每一点转移到该点和对称中心连线的延长线上，在对称中心另一侧与对称中心距离相等的位置上，这种操作称之为反演操作。例如：XeF4的对称中心是质点Xe；C6H6对称中心没有原子存在，不是质点。,2.1.4 旋转反映操作与映转轴,旋转反映操作

4、：先绕分子中某轴线旋转一定角度后，再作垂直于该轴的一个平面的反映，使分子复原。该轴称为映转轴，用Sn表示。,例：CH4分子，绕z轴方向S4轴旋转90，再按xy平面（h）反映，交换结果：H1H4 H2H3H3H1 H4H2等价复原,2.1.5 恒等操作,恒等操作是使分子恒等不变的操作。,H2O，C1操作=C22,反式1,2-二氯乙烯分子，C22=恒等操作,等价复原,全等复原,小结,2.2.2 化学中重要的点群,2.2.1 群的定义与基本性质,2.2 分子点群,2.2.3 分子所属点群的确定,2.2.1 群的定义与基本性质,群（group）的数学定义：由一定结合规则（乘法）联系起来的元素的集合。化

5、学角度看：群是由分子中全部对称操作的集合所构成的对称操作群。,SO2,C2v对称操作群，包括C2、v、v和E对称操作,群的性质：,封闭性：群中任何两个元素的乘积仍属于该群的一个元素。ab=c，c也是该群的元素 2.结合律：满足乘法的结合律。（ab）c=a（bc）3.恒等元素：群中必含一恒等元素E，它和群中任一元素的乘积即为该元素本身。例如，aE=Ea=a。4.逆元素：群中任一元素a必有一逆元素a-1，元素a与其逆元素a-相乘等于恒等元素E：aa-1=a-1a=E。,以H2O分子为例，看C2v群的性质：,1封闭性,v,C2v点群的乘法表,由表可见，所有对称操作两两相乘，即相继进行的对称操作，净结

6、果相当于单个对称操作，均包含在相应的乘法表中。,2结合律,所以，,3恒等元素,4逆元素,C2、v、v和E的逆操作就是它们本身。,H2O分子C2v点群如何体会点群的概念？,2.2.2 化学中重要的点群,1C1点群,SiFClBrIHCFClBr,除C1外，无任何对称元素,2Cn点群,分子中只存在一个Cn轴，且由它产生的n个绕Cn轴转动的操作构成了Cn群，相应的对称操作是：,C2轴：平分两个氢原子所在平面的夹角，并交于O-O键的中点。C21，C22=EH2O2分子属于C2点群,3Cs点群和Ci点群,Cs点群：除了恒等操作外，反映。例如：,Ci点群：除了恒等操作外，只有一个对称中心。例如：,1,2-

7、二氯-1,2-二氟乙烷,4Cnv点群,除了有n重旋转轴以外，还有n个通过旋转轴的对称面。,试问下列分子分别属于何种点群？搞清楚分子所属的对称面！,C2v,C3v,C4v,5Cnh点群,含有1个Cn轴和n个垂直于Cn轴的水平对称面h。,反式1,2-二氟乙烯C2h点群 C2轴垂直分子平面 h 分子所在平面,H3BO3 C3h,6 点群,NO、HCN无对称中心。,具有无穷二次旋转轴C及无穷多个通过键轴的v反映面。,C,v,7 D n点群,1个Cn轴和n个垂直于Cn轴的C2轴Dn点群。,例如：Co(en)32+属D3点群,Co(en)32+配离子中的C3轴和C2轴,8 D nh点群,Dn点群的对称元素

8、外，再加上一个水平反映面h，就得到Dnh点群。,C2O42-、N2O4D2h,XeF4、PtCl42-D4h,C6H6 D6h,n为偶数，还存在对称中心i,BF3、NO3-、PCl5 D3h,(C5H5)2M（M=Fe,Co,Ni）D5h,9 Dnd点群,Dn点群的对称元素外，还有平分每一对C2轴间夹角的分角对称面d Dnd点群。,丙二烯 D2d,交错型乙烷D3d,环状S8分子 D4d,交错型金属茂 D5d,交错式环戊二烯结构有一个C5轴及与C5轴重合的C10非真轴，有5个与它垂直的C2轴，5个通过C5轴平分相邻的一对C2轴的d平面。,10 点群,具有对称中心的线型分子，如N2、CS2、XeF

9、2等。,无穷次C轴和无穷个v对称面以外，还有一个水平对称面h以及无穷多根垂直于C轴的C2轴Ch点群。,11 Sn点群,只有一个的对称元素是Sn映轴，例如S4N4F4分子。,4个S原子和4个F原子处在同一平面，具有一个垂直于该平面的C4轴；4个N原子中2个N原子在该平面的上方，2个N原子在平面下方。C4旋转后，不能分子复原，须以该平面为对称面反映一次，才能使分子复原,12 Td 点群,正四面体构型的分子或离子，如P4、CH4、CCl4、SiF4、SO42-、ClO4-、Ni(CO)4等均属于Td点群。,对称元素：4C3、3C2、3S4和6d,对称操作共24个，它们是：E、4C3、4C32、3C2

10、、3S4、3S43和6d。,13 Oh点群,正八面体构型的分子或离子，如SF6、CoF63-等均属于Oh点群。,对称元素：4C3，3C2，3C4，6C2，i，3S4，4S6，3d，6d。,C3轴：通过一对相对的三角形表面中心,C2轴：与x、y、z轴重合,C4轴：与 C2轴共线,S4轴：与C4轴共线,S6轴：与C3轴共线,C2轴：平分八面体对边,h：分别通过八面体6个顶点中的4个,d：分别通过两个顶点并平分相对的棱边,Oh点群有48个对称操作E、8C3、6C2、6C4、3C2、i、6S4、8S6、3h、6d。,14Ih点群,B12H122-具有二十面体的几何构型，C60属于截顶的二十面体，它们均

11、属于Ih点群。,对称元素有：6C5、10C3、15C2及15，共计120个对称操作。,2.2.3 分子所属点群的确定,1首先确定该分子是否属于某一特殊点群。,2不属于特殊点群，则应寻找旋转轴，如果没有旋转轴，则寻找反映面或对称中心i。如果有一个反映面，该分子便属于Cs点群；如果有i，那么该分子属于Ci点群；如果除了E以外再也没有其他的对称元素，该分子则属于C1点群。,3如果该分子有旋转轴，要看它是否还有映轴S2n，如果有，则属于S2n点群。,4 如果该分子没有S2n，再看是否有n个垂直于主轴Cn的C2轴，如果存在nC2Cn，则可能属于Dn，Dnh或Dnd点群；如果该分子有h，便属于Dnh点群，

12、如果没有h，但有n个d，则属于Dnd点群，如果它既无h，也无d，该分子必属于Dn点群。,5如果该分子不存在nC2Cn，该分子可能属于Cn，Cnh或Cnv点群：如果分子存在h，便属于Cnh点群，如果不存在h，但有一组v，该分子便属于Cnv点群；如果既没有h，又无v，此分子必属于Cn点群。,2.3.1 群的表示,2.3 特征标表,2.3.2 特征标表,2.3.3 不可约表示,2.3.4 可约表示的确定和约化,2.3.1 群的表示,群的表示是相应点群的矩阵表示。,例：C2v点群，若以x、y、z为基函数，则相应的表示矩阵为。,E C2 v(xz)v(yz)基函数,特征标x矩阵的对角元素之和,E C2

13、v(xz)v(yz),x 3-1 1 1,三维矩阵划分为3个一维矩阵：,2.3.2 特征标表,特征标表是将点群所有不可约表示的特征列成的表。,C2v点群的特征标表,1不可约表示的符号（Mulliken符号）,规定如下：,（1）一维表示用A或B标记，二维E；三维 T。（2）绕主轴Cn旋转2/n角度，对称的一维表示标记为A，反对称 B。（3）垂直于主轴的C2轴是对称的用下标1标记，反对称用下标2；如果没有这种C2轴，对于垂直对称面v是对称的用下标1标记，反对称下标2。（4）对于h是对称的在字母上加了一撇；反对称的加两撇。（5）对于反演是对称的用下标g；反对称的下标u,2不可约表示的基本函数,基函数

14、的类型,一次函数x，y，z，Rx，Ry，Rz（转动函数）,二次函数x2，y2，x2，xy，xz，yz,试想原子的p轨道，d轨道分别与什么基函数相联系？,2.3.3 不可约表示的性质,群元（或群阶）群中对称操作的数目，用h表示。,群中m个不可约表示，记为1，2，m。其维数分别用l1，l2，lk表示。,不可约表示的特性：,（1）每个点群中不可约表示的数目等于群中对称操作的类的数目。例：C3v点群（NH3），有三种不可约表示，对称操作：E、C3、C32、v、v、v，可分3类：E、2C3、3v，,（2）群的不可约表示维数平方和等于群的阶，即,例：C3v点群的3个不可约表示中，有2个是一维的，另一个是二

15、维的，它的阶为6：,（3）对于点群的每个不可约表示而言，每一类操作（R）的特征标（x）的平方与该类类数（g）的乘积，并对所有各类操作求和，等于群的阶h。,例：C2v点群的不可约表示B1，其特征标为1，-1，1，-1，h应为4：,试通过Td点群某不可约表示的特征标，计算Td点群的阶h。,（4）任何两个不同的不可约表示（i,j）的相应特征标乘积的加和等于零，即两个不可约表示满足正交关系。,例：C2v点群中B1和B2两个不可约表示满足式（2-6）的正交关系，即,根据上述性质，可以得到一个重要公式约化公式。,式中，a i为第i个不可约表示出现的次数；h为点群的阶或所有对称操作之和；R代表点群中任意一个

16、对称操作；g为同类操作中操作数目；xi(R)为不可约表示的特征标；xs(R)为可约表示的特征标。,约化公式的意义计算群中各不可约表示在该可约表示中出现与否，若出现可以求出出现的次数。例：C2v点群的可约表示是一组三维矩阵，而矩阵的对角元素之和即为可约表示(x，y，z)的特征标：3，-1，1，1。,查C2v点群的特征标表，并附上可约表示的特征标,用可约表示计算C2v点群各不可约表示在可约表示中出现的次数：,（z）（x）（y）,可见，可约表示(x，y，z)包括A1、B1和B2这3个不可约表示。,2.3.4 可约表示的确定和约化,可约表示确定依据的定理：群的表示的特征标等于不被对称操作移位的矢量数目

17、。,可约表示就确定的步骤：,第一步 设定基矢；第二步 将对称操作分别作用到分子上，看有多少个基矢没有动，如果1个基矢没有动，定该操作的特征标为1；如果基矢只改变方向即方向反过来，特征标为-1。,可约表示的确定方法依设定基矢的不同而异。,不动原子法：基矢为原子,不动轨道法：基矢为轨道（原子轨道）,不动键矢法：基矢是化学键,1不动原子法,将对称操作作用到分子上，看几个原子没有动；计算未移动原子对特征标的贡献。,未移动原子对特征标的贡献，讨论如下：,（1）恒等操作E，对应的矩阵如下,每个原子上3个坐标矢都不改变，故对一个未移动原子来说，E操作的特征标记作3。,（2）中心反演i,反演使不移动的原子的三

18、个坐标矢变为反方向，变换矩阵是,每个未移动原子，相应的特征标贡献是-3。,（3）反映,反映使不移动原子在反映面上的坐标矢量保持不动，第三个改变了方向，相应的矩阵：,或,或,特征标均为+1。,（4）旋转Cn,在平面上旋转 角时，交换矩阵是,对不动原子来说，三个坐标矢量中，一个是和转轴重合的（实为z轴），另两个坐标矢就按此矩阵，旋转=2/n，得到相应的变换矩阵：,该矩阵的特征标为：,C2操作,特征标为-1,操作,特征标为0,操作,特征标为1,操作,特征标为-1,操作是旋转后 进行反映，反映操作后改变了z轴方向。,一个不动原子的各种对称操作对特征标的贡献,例1：确定CHCl3分子所属点群及其群阶，利

19、用不动原子法求其可约表示，并约化为不可约表示。,解：CHCl3分子有对称元素C3和3v，属C3v点群，为6阶群。,C3操作：轴上的C原子和1个H原子不动，不动原子数为2；v操作：反映面上的H-C-Cl三原子不动，即不动原子数为3。,利用约化公式计算A1，A2和E表示在(CHCl3)中出现的次数：,(CHCl3)=4A1+A2+5E,2不动轨道法,原子轨道作为点群的不可约表示的基，通常只考虑原子轨道的角度部分。,以p轨道为例：3个p轨道相互垂直，可以x、y、z函数代表，不动轨道法则是各种对称操作作用在轨道上时，看不动轨道对特征标的贡献。,例：反演操作会使原子轨道变号，故x(i)=-3；反映操作时

20、，总会有两个轨道在对称面上保持不变；仅使一个轨道变号，总之，x()=1。,例1.确定水分子中氧原子的p轨道属何种不可约表示,H2O属于C2v点群，有4种对称操作，群阶为4，利用不动轨道法可以确定其可约表示p,运用约化公式进行约化，得到：,故,pz,px,py,不动轨道法，也可以找出d轨道的不可约表示。,表中所列d轨道对d特征标的贡献,例2.确定FeF63-离子中Fe3+d轨道的不可约表示。,解 FeF63-为八面体构型，属Oh点群，为48阶群。借助上表，写出可约表示d，并附上Oh特征标表,根据式可约化公式对d进行约化，式中：h=48（群阶）,2.4 对称性与群论 在无机化学中的应用,2.4.1

21、 杂化轨道的构建,2.4.2 分子轨道的构成,2.4.3 群论与振动光谱,2.4.1 杂化轨道的构建,利用群论方法确定杂化轨道的构建方式。,杂化轨道是分子点群的可约表示的基。只要找到代表杂化轨道的可约表示，将其约化、分解成不可约表示并联系相应的基，结合能量分析就会确定杂化轨道的构成。,例：PCl5分子,PCl5分子具有三角双锥几何构型，属于D3h群。如下图：,D3h特征标表及PCl5杂化轨道的可约表示特征标,利用约化公式，对杂化轨道可约表示特征标进行约化，得到,对照D3h特征标表，记录分属三种表示的原子轨道：,从的约化结果可见，可能有两种杂化方式有待选择：,中心P原子的价电子轨道3px、3py

22、的能级低且电子没有填满，而3dx2-y2，3dxy轨道是能级较高的空轨道，轨道组合时应考虑最低能量原理，可以确定PCl5分子中心原子的杂化轨道应由前者组成，称为sp3d杂化。,其他分子的杂化轨道的构建也可通过类似的方法来确定。,例如同属于Td点群的CH4和TiCl4：,CH4分子的中心C原子sp3杂化，,而相同结构的TiCl4分子的Ti原子却采用sd3杂化,对于C原子而言，对应的价轨道只有2px、2py和2pz；而Ti原子而言，对应的价轨道只是3dxy、3dyz和3dxz。因此，TiCl4采用的是sp3杂化不同于CH4的sp3杂化。,2.4.2 分子轨道的构成,投影算符（projection

23、operator）：是一种数学的操作，将它作用在一个任意函数上，可以得到所需要的对称性匹配函数。,投影算符的定义式为：,式中Pj为投影算符，R为群的对称操作，j(R)为群元素R第j个不可约表示的特征标，lj为表示的维数，h为群的阶,例 H2O的分子轨道,已明确水分子属于C2v点群，中心原子O的2s轨道属于A1不可约表示，O原子的3个价层p轨道分属三种不可约表示，即px属B1表示，py属于B2表示，pz属于A1表示。,配体为两个H原子的1s轨道，分别用1、2表示先要考虑1和2构成的群轨道的可约表示2H：,z,y,1,2,H2O分子中2H组成的群轨道,利用约化公式将2H分解为不可约表示，结果为：,

24、可见，两个1s轨道将形成两个线性组合，一个具有A1对称性，另一个具有B2对称性。从这两个线性组合出发，需要用投影算符以进一步推出轨道组合的系数。,具体步骤如下：,步骤1，首先将C2v群中每个对称操作作用于1、2上，结果如下：,以1、2为基，可以找到 1与 2构成的群轨道的可约表示2H的特征标。,步骤2，将A1表示的投影算符,作用于1、2中的任意一个函数上，可得A1表示的基（先略去系数1/4，最后统一进行归一化）。,将该函数归一化后得到A1不可约表示的对称匹配函数：,作用在2上，与1有同样的结果，不再赘述。,步骤3，将B2表示的投影算符作用到1、2各个函数上，例如先将 作用在1上得到：,将该函数

25、归一化后得到B2不可约表示的对称匹配函数：,步骤4，用“投影”后的配位H原子群轨道与O原子的轨道按照对称性匹配原则，属于同种不可约表示者，进一步组成分子轨道，下表归纳了在H2O中所形成的分子轨道概况。,下图描述了O原子轨道，H群轨道形状。,A1：s 2pz,B1：2px 2py,氧原子的s与pz相互正交，先行线性组合，即“杂化”，令,，,其图形如下图所示：,s与pz“杂化”为h，h的图形,氧原子“杂化”后的h，h以及px、py再与氢原子群轨道组成分子轨道，其形状如下图所示。,H2O的分子轨道,H2O分子轨道能级图如下图所示。,H2O分子的能级图,紫外光电子能谱测得的价层分子轨道能量相一致，H2

26、O的光电子能谱有四个峰值：12.62，13.78；17.02和32.2ev，分别对应于1b1、2a1、1b2、1a1轨道上电子的电离能。,水的紫外光电子能谱,例：BF3的分子轨道,BF3分子的对称元素,BF3分子中的B原子的各原子轨道具有如下对称性：,2s轨道具有A1对称性；,2pz轨道具有A2对称性,2px和2py轨道是简并的，此轨道组具有E对称性,BF3中F原子的原子轨道分为三组：s轨道（包括3个2s轨道）；p轨道（包括3个2p轨道）；p轨道（包括6个2p轨道）。,1.配体群轨道的波函数,步骤1，首先确定3个F原子的2s轨道1、2、3的对称类型。即将D3h群的对称操作分别作用在1、2、3上

27、，结果如下：,以1、2、3为基，D3h群的对称操作对应的可约表示特征标如下：,利用约化公式，将该可约表示进行约化可得到：,步骤2，将A1表示的投影算符,D3h特征标表,作用在1、2、3中的任意一个函数上，先作用在1可得A1表示的基（先略去系数）。,将该函数归一化后得到A1不可约表示的对称匹配函数。,步骤3，将E表示的投影算符作用到1、2、3各个函数上，先将作用在1得,将该函数归一化后得到E不可约表示的对称匹配函数,将 分别作用在2、3上，归一化后得到,步骤4，由、和 找出E表示的对称匹配函数。,E是二维不可约表示，因此、和 三函数中只有两个是互相独立的，必须先行线性组合，令,式中系数c是待定的

28、，和 必须正交，即,则,展开求c,因此,归一化后得,总之，用投影算符作用于3个F的2s轨道（1、2、3）得到A1和E的对称匹配函数：,此对称匹配函数就是配体群轨道s的波函数。,通常用小写字母来表示分子轨道的对称性，即s组的配体群轨道如下：,步骤5，确定3个F原子的p轨道的对称匹配函数。3个2p轨道与B原子形成键（如下图），他们的组合与s组有类似的结果,BF3中3个F的p轨道的组合,步骤6，确定3个F原子的p轨道的对称匹配函数。p轨道又可分为两组，其中一组称为 组，包括3个垂直于BF3分子平面的、轨道；另一组称为 组，包含、3个轨道，存在于BF3分子平面内。,借助群论方法同样找到p组的对称匹配函

29、数。,组如下：,约化后找到 组具有A1和E对称性；用投影算符作用在、和 原子轨道上得到：,而 组则为：,约化后得知 组具有A2和E对称性，用投影算符法得到该组配体群轨道为：,两组p配体群轨道的组成如下图所示：,(a),(b),BF3中3个F的2p轨道的组合,2.分子轨道组成和定性能级图,得到3组配体群轨道（s、p和p）后，就可以按照对称性匹配原则与中心原子对称性相同的原子轨道线性组合，构成分子轨道。,BF3分子轨道能级图,BF3有24个价电子，依照电子填充的三原则，依次填充在成键分子轨道和反键分子轨道上，电子组态为：,2.4.3 群论与振动光谱,1分子的振动方式及其不可约表示,正则振动（nor

30、mal vibration）或正则振动模式（normal modes of vibration）：表面上看来是杂乱无章的分子振动，实际上是多种简单振动的叠加的简单振动。,分子振动可以有伸缩振动（stretching vibration）和弯曲振动（bending vibration）等不同方式。,例：SO2分子 SO2分子为V型分子，属于C2v点群，按照（3N-6）规则，SO2分子应有33-6=3个正则振动。,SO2分子的三种正则振动模式,在每个原子上附加一个独立的笛卡尔坐标系，以原子为原点，令所有的x、y和z轴相互平行，且各沿着x、y和z轴取单位向量，如下图所示。这样，便可用沿xi、yi和z

31、i方向的向量之和表示第i个原子的位移向量。,SO2分子瞬间位移的每一个向量,SO2分子运动所属的不可约表示：,将上述的平动、转动的自由度减去后，余下的就是振动自由度：,可见，SO2的正则振动数为3，它们对应于A1和B2不可约表示的对称性。,2分子的振动光谱,分子的振动光谱有红外光谱和拉曼（Raman）光谱两种，红外光谱是由于分子的偶极矩的变化产生的，拉曼光谱是由于极化率的变化产生的。,拉曼光谱，极化率：,式中，P是诱导偶极矩，E是入射光的电矢量，为极化率。,由于红外光谱和拉曼光谱的选律不同，因此，某些在红外光谱中是选律禁阻的跃迁，在拉曼光谱中却是允许的，反之亦然。当然，也存在着某一正则振动既有

32、红外活性，又有拉曼活性，此种情况下，它们的频率数值必定是相同或接近相同的。,例：SO2分子,SO2分子的三种正则振动既是红外（IR）活性又是拉曼（R）活性，如下式所示：,SO2分子的三种正则振动都能通过激发跃迁在红外和拉曼谱图中产生相应的谱带。,SO2分子的振动光谱,应用群论方法的主要步骤：,1.考察分子的对称性，确定分子所属的点群。,2.选择分子的基矢，确定可约表示（一套特征标），其特征标等于不被对称操作移位的矢量数。,3.可约表示的约化，即求取不可约表示在某可约表示中出现的次数，其约化公式为：,4.求取对称性匹配的线性组合（SALC），用到投影公式：,将投影算符pi作用在某一个基矢上，就可得到符合不可约表示p对称性要求的“对称性匹配的线性组合”。,用群论的方法可获知正则振动的数目以及预知在红外光谱和拉曼光谱中，可能出现的谱带数目。具体步骤与上述大同小异：,1.确定分子所需的点群。,2.确定可约表示所有运动的特征标，即在对称操作的作用下，不动的原子数乘以该对称操作对特征标的贡献。,3.用约化公式将可约表示分解为不可约表示。,