测量误差理论与数据处理.ppt

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1、第一章 绪论,第一节 测量和计量,第二节 电子测量的特点和应用,第三节 本课程的任务,第二章 测量误差理论与数据处理,概念：为确定被测对象的量值而进行 的实验过 程。,测量,计量：为了保证量值的统一和准确一致的一种测量，具有统一性、准确性和法制性等三大主要特征。计量器具：按用途分为计量基准、计量标准和工作用计量器具三类。计量基准：分为国家基准、副基准和工业基准。计量标准：分标准器具和标准物质两类。,计量,电子测量,广义说：凡是利用电子技术来进行的测量都可以说是电子测量。,狭义说：是指在电子学中测量有关电的量值。通常包括以下几个方面的内容：,1、电能量的测量，如电流、电压、电功率等。,2、信号的

2、特性及所受干扰的测量，如信号的波形和失真度、频率、相位、脉冲参数、调制度、信号频谱、信噪比等。,3、元件和电路参数的测量，如电阻、电感、电容、频率响应、通带宽度、品质因数、增益等。,电子测量特点,1、测量频率范围极宽，低端可测直流，测交流时可低至10-410-5 Hz，高端可至100GHz左右。,2、量程很广。,3、测量准确度高。,4、测量速度快。,5、易于实现遥测和长期不间断测量，显示方式可以做到清晰、直观。,6、易于利用计算机，形成电子测量与计算技术的紧密结合。,电子测量的应用,广泛应用于自然科学的一切领域：大到天文观测、宇宙航天，小到物质结构、基本粒子；从复杂深奥生命、细胞、遗传问题 到

3、日常的工农业生产、医学、商业各部门，都越来越多地采用电子测量和设备。电子测量技术的发展与自然科学特别是电子技术的发展互相促进、互相推动。,本课程的任务,了解电子测量中最基本的测量原理和测量方法；具备一定的测量误差分析和测量数据处理能力；对现代新技术在电子测量中的应用有一定的了解；对频率、电压等常用电学量的计量方法具备一定的知识。,第二章 测量误差理论与数据处理,第一节 测量误差的基本概念第二节 测量误差的估计和处理第三节 测量误差的合成与分配第四节 测量数据处理,第一节 测量误差的基本概念,真值：一个量在被观测时，该量本身具有的真实大小称为真值。,一、测量误差的定义 测量误差：就是测量结果与被

4、测量真值的差别。通常可分为 绝对误差和相对误差两种。,二、测量误差的分类 根据测量误差的性质和特点，可将它们分为系统误差、随机误差和粗大误差三大类。,三、测量误差对测量结果的影响,绝对误差：又叫作绝对真误差，可表示为：x=xx0 绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度和方向。,实际值：满足准确度要求，用来代替真值使用的量值。,修正值C：与绝对误差大小相等、符号相反的量，即 C=x0 x,相对误差：又叫作相对真误差，它是绝对误差与真值的比值，通常用百分数表示。即（xx0）100%,分贝误差：在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差，它实质上是相对误差的另一种表示形式。,例如

5、某有源网络的电压传输函数为A0，则该传输函数可用分贝表示为 A0dB=20lg A0 dB 当测量中存在误差时，测得的传输函数偏离A0dB一个数值dB，即 AdB=A0dB+dB,分贝误差dB与相对误差关系：,由A=A0+A可得 AdB=20lg（A0+A）dB=20lg A0（1+A A0）dB=20lg A0 dB+20lg（1+A A0）dB=A0dB+20lg（1+）dB与式AdB=A0dB+dB比较，可得分贝误差为 dB=20lg（1+）dB同理，当A为功率传输函数时，有 dB=10lg（1+）dB,例1 某单级放大器电压增益的真值A0为100，某次测量时测得的电压增益A=95，求测

6、量的相对误差和分贝误差。解 先求得增益的绝对误差为 A=AA0=95 100=5 则相对误差为=A A0=5 100=5%分贝误差为 dB=20lg（1+）dB=20lg（1 0.05）dB=0.446 dB,引用相对误差：又叫满度相对误差，即 n xxm,常用电工仪表分为0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七级，分别表示它们的引用相对误差所不超过的百分比。,判断：检定一个1.5级100mA的电流表，发现在50mA处的误差最大，为1.4mA，其它刻度处的误差均小于1.4mA，问这块电流表是否合格？,实际测量时如何选取量程？,设某仪表的等级是 s 级，其满刻度值为xm，被测量的

7、真值为x0，则测量的绝对误差 x xm.s%可见，仪表等级选定后，测量中绝对误差的最大值与满刻度值成正比。测量的相对误差为（xm.s%）x0可见,仪表等级选定后，x0越接近xm，测量中相对误差的最大值越小，测量越准确。,因此，实际测量时，在一般情况下应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度的23以上。,系统误差,系统误差的定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律而变化的误差称为系统误差。恒值系统误差：不随某些测量条件而变化的系统误差。造成系统误差的原因很多，常见的有：测量设备原因（测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置和使用不当等）；测

8、量环境原因（温度、湿度、电源电压变化、周围电磁场的影响等）；测量方法原因；测量人员的原因（感觉器官不完善、生理上的最小分辨能力限制、不正确的测量习惯等）。,方法误差举例,随机误差,随机误差的定义：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差称为随机误差。造成随机误差的根源：由那些对测量值影响较微小，又互不相关的多种因素共同造成。如热骚动、噪声干扰、电磁场的微变、空气扰动、大地微振等。随机误差的特点：1.有界性（多次测量中，随机误差的绝对值不会超过一定的界限）；2.对称性（绝对值相等的正负误差出现的机会相同）；3.抵偿性（随机误差的算术平均值随着测量次数n的无

9、限增加而趋近于零）。,粗大误差,粗大误差的定义：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差，又称寄生误差。造成粗大误差的主要原因：读数错误、测量方法错误、测量仪器有缺陷。粗大误差明显地歪曲了测量结果，对应的测量结果称为坏值，应剔除不用。,测量误差对测量结果的影响,方差的算术平方根(X)叫作标准方差,又叫均方根差。(X)越小，测量值越集中，离散程度越小。,结论：1.对于同时存在随机误差和系统误差的测量数据，只要测量次数足够多，各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差。2.系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。当不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值。3.某次测量的随机误差

10、等于这次测量的测量值与测量值的数学期望之差。即随机误差使测量值偏离数学期望。,下面用图来表示测量误差对测量结果的影响,测量误差对测量结果的影响,测量结果的正确度、精密度和准确度,在剔除粗大误差后，随机误差可通过多次测量取平均的方法来消除，故系统误差越小，测量结果越正确。正确度：用系统误差作为衡量测量是否正确的尺度，称为正确度。即正确度是表示测量结果中系统误差大小的程度。,随机误差的大小可用均方根差(X)来衡量，(X)越小，测量值越集中。精密度：用来表示测量结果中随机误差大小的程度，简称精度。,准确度：用来表示测量结果与真值的一致程度，是测量结果中系统误差与随机误差的综合。,第二节 测量误差的估

11、计和处理,一、随机误差的影响及统计处理二、用统计学方法剔除异常数据三、处理系统误差的一般方法,1、测量数据的正态分布,由概率论中的中心极限定理可知，只要构成随机变量总和的各独立随机变量的数目足够多，而且每个随机变量对总和的影响足够小，随机变量总和的分布规律就可认为是正态分布。测量中的随机误差通常是多种因素造成的许多微小误差的总和，因而测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的分布大多接近于服从正态分布。测量随机误差及测量数据的正态分布曲线如下图所示:,一、随机误差的影响及统计处理,随机误差和测量数据的正态分布,(a),(b),结论：（1）测量值对称地分布在被测量的数学期望两侧，绝对值小的

12、随机误差出现的概率大，而绝对值大的随机误差出现的概率小；（2）测量数据的分散程度可用标准方差来表示；（3）绝对值很大的随机误差出现的概率趋近于零，即可认为测量值有一个实际界限。,2、用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差,（1）n次测量值的平均值的性质 对于某被测量进行一系列独立的等精密度的测量，从统计观点看，这一系列测量值的分布形状完全是确定的，即只要测量系统、测量条件和被测量不变，那么这一系列测量就具有相同的数学期望和标准偏差：Mx1=Mx2=Mxn=MX x1=x2=xn=X 由概率论中有关定理可知：几个随机变量之和的数学期望等于各随机变量的数学期望之和；几个相互独立的随机变量之

13、和的方差等于各个随机变量方差之和。故有：,可见：有限次测量值的算术平均值的数学期望就等于被测量X的数学期望。,（2）用有限次测量的数据来估计测量值的数学期望,（3）用有限次测量的数据来估计测量值的方差,这里给出贝塞尔公式：,n-1,=,=,式中vi称为残差或剩余误差。,3、测量结果的置信问题,（1）置信概率与置信区间,根据某种条件下多次测量数据的分散情况，知道了这种测量的标准偏差X，当我们测得一个测量值x后，希望根据这个测量值估计被测量的数学期望在什么范围？即求数学期望可能处于x附近某确定区间 x-cX,x+cX内的概率是多少，这里c是一个指定系数。这里，数学期望不是随机变量，不存在通常意义上

14、的概率问题。上述所说置信问题上的概率称为置信概率，所对应的确定区间称为置信区间。,（2）服从正态分布的测量值在对称区间的置信概率,一般通过查正态分布在对称区间的积分表的方法求解。,例 已知某被测量的测量值服从正态分布，测量中系统误差可以忽略。分别求出置信区间为真值附近的三个区间x0(X)，x0 2(X)，x0 3(X)时的置信概率。,解 由于测量的系统误差可以忽略，则被测量的真值x0就等于数学期望M(X)，置信区间M(X)c(X)分别为x0(X)，x0 2(X)，x0 3(X)，则系数c分别为1、2、3。查表可得置信概率分别为：P|x-x0|(X)=P|Z|1=68.3%P|x-x0|2(X)

15、=P|Z|2=95.5%P|x-x0|3(X)=P|Z|3=99.73%,结果表明：对于正态分布的误差或测量值，不超过 3(X)的置信概率为99.73%，因而可认为实际测量值均处于M(X)附近 3(X)的范围内。,二、用统计学方法剔除异常数据,在无系统误差的情况下，由于随机误差的影响，测量数据分布在被测量真值附近，而远离真值的情况很少。在正态分布情况下，误差绝对值超过2.576(X)的概率仅占 1%，误差绝对值超过3(X)的概率仅占 0.27%，可见出现大误差的概率是非常小的。对于误差绝对值较大的测量数据，可列为可疑数据。对待可疑数据的处理办法是：（1）通过多次测量或通过对测量条件的分析，检查

16、这个数据的测量中是否有差错或是否有偶然原因严重影响了测量结果。（2）当从物理或技术上找原因有困难时，可根据统计学方法来处理可疑数据。,用统计学方法处理可疑数据的基本思想是：,三、处理系统误差的一般方法,1、处理系统误差应注意的几个方面：,（1）设法检验系统误差是否存在；（2）分析可能造成系统误差的原因，并在测量之前尽力消除之；（3）在测量过程中尽量采取某些技术措施，尽力消除或减弱系统误差的影响；（4）设法估计出残存的系统误差的数值或范围。,2、系统误差表现形式：,3、系统误差的判别,最常用的判据有两种：马利科夫判据和阿卑-赫梅特判据。,当测量中含有累进性误差时，则前后两部分残差明显不同，因而M

17、明显地不为0。通常M的绝对值不小于最大残差绝对值时就可认为有累进性误差。,4、测量前尽力消除产生系统误差的来源（1）尽力避免测量仪器产生系统误差：正确安装和放置仪器；注意仪器的正确使用条件和方法；定期对仪器进行检定和校准。（2）尽力消除测量环境对测量的影响：如温度、电磁场、振动等。（3）尽力消除测量人员主观原因造成的系统误差：业务技术水平、工作责任心、疲劳程度、仪器选用等。,5、消除或减弱系统误差的典型测量技术（1）零示法：目的：消除指示仪表不准而造成的误差。方法：使被测量对指示仪表的作用与某已知的标准量对它的作用相互平衡，从而使指示仪表示零，这时被测量就等于已知的标准量。,用零示法测未知电压

18、,（2）代替法（置换法）在测量条件不变的情况下，用一个标准已知量去代替被测量，并调整标准量使仪器的示值不变，则被测量就等于标准量的数值。这种方法的好处是：在代替过程中，仪器的状态和示值都不变，那么仪器的误差和其它造成系统误差的因素对测量结果基本上不产生影响。,用代替法求未知电阻,（3）交换法（对照法）当估计由于某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差时，我们可以进行两次测量：利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等办法，设法使两次测量中误差源对被测量的作用相反。对照两次测量值，可以检查出系统误差的存在，对两次测量值取平均值，将大大削弱系统误差的影响。,（4）微差法 零示法要求被测量与标

19、准量完全相同。但在实际中标准量不一定是连续可调的，这时只要标准量与被测量差别较小，也会使仪表误差对测量的影响大大减弱。,设被测量为x，和它相近的标准量为B，被测量与标准量的微差为A，A的数值可由指示仪表读出。则 x=B+A,由于AB，故A+B B，可得测量误差为：,很小,很小,第三节 测量误差的合成与分配,实际测量中，测量误差常常是由许多因素产生的；在间接测量中，测量误差与各个直接测量量有关。当某项误差与若干分项有关时，这项误差称为总误差，各分项的误差都叫分项误差或部分误差。,测量误差的合成测量误差的分配最佳测量方案的选择,一、测量误差的合成,（一）误差传递公式 总误差与分项误差的关系是各种各

20、样的，如和差关系、积商关系、乘方开方关系、指数对数关系等。误差传递公式是一个普遍适用的公式，不涉及具体情况。设某量y由两个分项x1，x2合成 y=f（x1，x2）若在y0=f（x10，x20）附近各阶偏导数存在，则可把y展开成台劳级数：,例 用间接测量法测电阻消耗的功率，若电阻、电压和电流的测量相对误差分别为R/R、V/V和I/I，问所求功率的相对误差为多少？,注意：上式仅适用于对m项相互独立的分项测量结果进行总合。,（四）不确定度的合成 系统不确定度：不能确切掌握的系统误差可能变化的最大幅度称为系统不确定度。随机不确定度：随机误差总是在一个范围内随机变化的，随机变化的最大幅度称为随机不确定度

21、，通常以标准偏差的若干倍表示。由于误差是不确定的，误差变化的最大幅度也不是绝对不能超过的，而是就一定的置信概率而言的。如置信概率为99%，则从统计意义来讲，误差的变化范围有99%的可能不大于不确定度规定的范围。,1、系统不确定度的合成,（1）绝对值合成法 从最坏的情况出发，认为m个分项中各分项的不确定度同时取正值或同时取负值，则总合的不确定度为各分项不确定度绝对值的合成，即 y=j,j=1,m,实际上，每一个分项取正或取负的概率为1/2，故m个相互独立的不确定度都取正或都取负的概率为(1/2)m。当m较大时，同号的概率很小。在一般情况下，正负误差抵消的结果，使总合误差的不确定度小于绝对值合成法

22、的结果。可见，绝对值合成法仅用于估计分项数目较少的总合不确定度。,例已知DYC-5超高频电子管电压表在测量交流电压时的技术指标如下：1）测量电压范围：0.1100V，分五档，各档满度电压为1，3，10，30，100V；频率范围20Hz300MHz；在环境温度（205）C及频率50Hz时各档满度测量基本误差为2.5%；2）在015 C及2540 C附加误差为2.5%；3）频率附加误差为 20Hz100MHz 3%100200MHz 5%200300MHz 10%现在欲测量5V、150MHz的高频电压，环境温度为32 C，求测量误差的不确定度。,解 已知满度相对误差为n=，在测量5V电压时的满度电

23、压为10V，故测量的基本相对误差的最大值为：V0/V=n Vm/V=10/5=又知频率附加误差Vf/V=，温度附加误差为Vt/V=，从最不利的情况出发，认为各误差是同方向相加的，则总合的不确定度为 V/V=|V0/V|+|Vf/V|+|Vt/V|=+=1 显然，用绝对值合成法求总合的不确定度比较安全，但却偏于保守。,（2）均方根合成法 当分项数目较多而系统误差的大小和方向不能确切掌握时，如果能知道各分项的误差分布形状和不确定度j，则可对系统误差定义一个表征项u(xj)u(xj)=j/Kj 式中Kj与误差的分布形状有关（见P78表2-1）。u(xj)与标准偏差类似，但不能因多次测量取平均值而减小

24、。仿照随机误差的标准方差合成公式，有,最后,根据总合的分布形状求出总合的不确定度,y=Ky u(y)=Ky,上式从理论上来说比较严格，但实用上比较困难，通常有两种常用方法估计总合的不确定度：,第一种方法：假设 Ky=Kj，则,这种方法中的假设并不合理（Ky 常常大于 Kj），按此估计的总合不确定度可能偏小，有一定的冒险，但由于计算简便而常用到。,由于常常并不掌握各分项误差的变化规律，因此采用均匀分布来估计各分项误差是比较合理的。这种方法的估计结果比较接近实际情况。,例已知DYC-5超高频电子管电压表在测量交流电压时的技术指标如下：1）测量电压范围：0.1100V，分五档，各档满度电压为1，3，

25、10，30，100V；频率范围20Hz300MHz；在环境温度（205）C及频率50Hz时各档满度测量基本误差为2.5%；2）在015 C及2540 C附加误差为2.5%；3）频率附加误差为 20Hz100MHz 3%100200MHz 5%200300MHz 10%现在欲测量5V、150MHz的高频电压，环境温度为32 C，求测量误差的不确定度。,解 用第一种方法：由于,()2(j/V)2,j=1,m,V/V=,=7.5%,()2()2,j=1,3,V/V=2,=8.7%,关于同时含有系统误差和随机误差时不确定度的合成以及微小误差准则,请同学们自行阅读教材。,二、测量误差的分配 给定总误差后

26、，如何将这个总误差分配给各分项，即对各分项误差应提出什么要求，这是一个制定误差分配方案的问题。下面介绍一些常用的误差分配原则。,（一）等准确度分配 当各分项性质相同，大小相近时，可把总误差平均分配给各分项，即=m,x1=x2=xm,于是由系统误差合成公式和标准方差合成公式可得：,例 有一电源变压器的原边与两个副边的圈数比为w1:w2:w3=1:2:2，用最大量程为500V的交流电压表测量两个副边总电压，要求相对误差小于，问应该选哪个级别的电压表？,解 由题意可知，两个副边的电压均约为440V，总电压约为880V，而电压表最大量程只有500V，因此应分别测量两个副边的电压V1和V2，然后相加得副

27、边总电压，即V=V1+V2,又据题意知测量允许的最大总误差为 V=V（）=17.6V,可以认为测量误差主要是电压表造成的，而且由于两项测量的电压值基本相同，可采用等准确度分配原则分配误差，则,Vi=V1=V2=V/2=17.6/2=8.8V,用引用相对误差为n的电压表测量电压时，若电压表的满度值为Vm，则可能产生的最大绝对误差应小于或等于Vi，即,|Vmax|=|n Vm|Vi|,所以，|n|Vi|/Vm=8.8/500=1.66%，可见选用1.5级的电压表能满足测量要求。,（二）等作用分配 是指分配给各分项的误差在数值上虽然不一定相等，但它们对测量误差总合的作用是相同的，即,根据系统误差合成

28、公式和标准方差合成公式可得:,例 通过测电阻上的电压、电流值间接测电阻上消耗的功率。已测出电流为100mA，电压为3V，算出功率为 300 mW。若要求功率测量的系统误差不大于5%，随机误差的标准偏差不大于 5mW，问电压和电流的测量误差多大时才能保证上述功率误差的要求？,解 按题意，功率测量允许的系统误差为 300mW=15mW 按等作用分配原则，分配给电流测量的系统误差为,同理，分配给电压测量的系统误差为,下面分配随机误差：,V,P,=,5mW,100mA,35mV,注意：实际测量中，在按等作用分配原则进行误差分配后，可根据各分项误差达到给定要求的难易程度适当进行调节。,（三）抓住主要误差

29、项进行分配 当各分项误差中第k项误差特别大，而其它项对总合误差的影响可以忽略时，只要保证主要项的误差小于总合的误差即可。主要误差项可以是多项，这时可把误差在这几个主要误差项中分配。,三、最佳测量方案的选择,从误差的角度来说，最佳测量就是要使误差的总合最小。最佳测量方案就是要做到：,当然，选择测量方案，应注意在总合误差基本相同的情况下，兼顾测量的经济、简便等条件。,第四节 测量数据处理,测量数据处理是建立在误差分析的基础上的。在数据处理过程中要进行去粗取精、去伪存真的工作，并通过分析、整理引出正确的科学结论。一、有效数字及数字的舍入规则 二、非等精度测量与加权平均,一、有效数字及数字的舍入规则,

30、（一）有效数字,实际测量或计算所得的数据通常只是一个近似数，用它来表示一个量时，为了表示得确切，通常规定误差不得超过末位单位数字的一半。对于这种误差不大于末位单位数字一半的数，从它左边第一个不为零的数字起，直到右边最后一个数字止，都叫有效数字。,例如：123.08 5位有效数字 3.10 3位有效数字 0.0038k 2位有效数字 3.910105Hz 4位有效数字,（二）数字的舍入规则,目前广泛采用的舍入规则是：（1）当保留n位有效数字时，若后面的数字小于第n位单位数字的0.5就舍掉；（2）当保留n位有效数字时，若后面的数字大于第n位单位数字的0.5，则第n位数字进1；（3）当保留n位有效数

31、字时，若后面的数字恰为第n位单位数字的0.5，则第n位数字为偶数或零时就舍掉后面的数字；第n位数字为奇数时，第n位数字加1。,例 将下面的数字保留3位有效数字：45.77,36.251,43.035,38050,47.15,解 将各数字列于箭头左侧,保留的有效数字列于右侧:45.7745.8 36.251 36.3 43.035 43.0 38050 3.80104 47.15 47.2,（三）测量结果的表示法,1、量值+不确定度表示法 对于一个已对确定性系统误差进行了修正的测量结果，常可用被测量的量值和它的不确定度共同表示，被测量的量值最低位与误差最低位对齐。,例如：某电压为4.320.05

32、V；某频率为3000.583 0.068 kHz,测量的误差值（包括绝对误差、相对误差、不确定度、标准偏差等）一般只取一位到两位数字。,例 已知某电阻的测量中没有确定性系统误差，系统不确定度为测量值的1%，随机误差的影响可以忽略。若该电阻的30次测量值之和为1220，写出该电阻的测量结果。,由于随机误差可忽略，电阻的不确定度R近似等于系统不确定度S，若取两位数字，则,R S=40.6667 1%=0.406667 0.41,故电阻的测量结果为:R=40.67 0.41,2、数值表示法 当一个测量数据作为中间结果还要参加其它运算时，希望用一个数值来表达，而不要带着不确定度。用一个数值表示测量结果

33、的具体作法是：（1）由误差或不确定度的大小定出测量值有效数字最低位的位置；（2）从有效数字最低位向右多取12位安全数字；（3）根据舍入规则处理掉其它数字。,例如：电阻值为40.67 0.41，则不确定度为 0.41，不大于阻值个位单位数字的一半，故有效数字最低位为个位。若取一位安全数字时，阻值为40.7，若取两位安全数字时为40.67。,二、非等精度测量与加权平均,（一）测量结果的权 假设测量的系统误差为零，那么对非等精度的测量结果来说，精密度高的测量结果是比较可靠的，应该给予更大的重视。反之，精密度低的测量结果重视的程度就应该小一些。通常用数值wj表示第 j 个测量结果受到重视的程度，称数值

34、 wj为第j次测量值的“权”。由于xj的测量精密度越高，方差2xj越小，所以定义权wj为,上式中为任意常数。当wj=1时，=2xj。故可以看成是单位权的方差。,例 已知X的三个非等精度测量值分别为10.2，10.0，10.4，它们的权分别为3、5、2，求X的估计值。,解,（三）加权平均值的方差 如前所述，将m次非等精度测量等效为n次等精度测量，。每次等精度测量的方差即为单位权的方差=2xi=2X，i=1n。则加权平均值的方差为,mn=wj j=1,于是有：,可见，在知道了各非等精度测量值的方差后，可以直接求出加权平均值的方差。,习题:2-1、2-3、2-5、2-8、2-13、2-15、2-20,