测量误差的基本知识(IV).ppt

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1、CH.5测量误差的基本知识,本 章 要 点1、测量误差概念（重点）2、评定精度的标准（重点）3、误差传播定律（重点）4、等精度直接观测平差（难点）,2,本章目录,第一节 测量误差概述第二节 评定精度的指标（m）第三节 误差传播定律(函数式中误差函数式)第四节 等精度直接观测平差,3,5-1 测量误差概述,5.1.1 测量误差及其来源l误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。l测量误差：观测值与相应真值之差。观测值：测量所获得的数值。l真误差()关系式：(真误差)=L(观测值)X(真值)，即：=L X（或：=X L）,例：=（L1+L2+L3）-180,4,l观测误差来源：（1）仪

2、器、工具的精密程度；（2）观测者的视觉器官的鉴别能力和技术水平；（3）观测时的外界条件好坏。l观测条件观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为。观测条件与观测成果精度的关系：若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；若观测条件相同，则可认为观测精度相同。等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测,5,l研究误差理论的目的,由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要对误差的来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作中遇到的一

3、些实际问题。l研究误差理论所解决的问题：（1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；（2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；（3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法）。,6,5.1.2 测量误差的分类,测量误差按其性质可分为：系统误差 偶然误差 粗差,7,1系统误差,定义：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，这种误差称为。产生的原因：仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。系差的特点：具有累积性。系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大，应尽量消除或减弱它对测

4、量成果的影响。例：水准测量中LL/CC产生的i角误差对尺读数的影响：即：=a a=S tani随着S 的增长而加大-系统误差,8,系统误差消减方法：（1）在观测方法和观测程序上采取一定的措施。水准测量中前后视距相等：消减仪器 i 角误差、球气差及调焦误差对 h 产生的影响。测角中盘左盘右取均值：消减经纬仪的CC不垂直于HH；HH不垂直于VV；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响。水准测量往返观测取均值仪器和尺垫下沉对h的影响。（2）找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。（3）仔细检校仪器。经纬仪的LL不垂直于VV对测角的影响,9,2偶然误差,定

5、义：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为。产生的原因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。偶差的特点：随机性。就单个偶差而言无法预知，但正因其随机性而具有其内在的统计规律性。将每次观测结果视作一次字样抽取，所含有的这种偶差视作一随机变量，则可以证明，它是服从于正态分布的随机变量。即(0，2),10,3.粗差,定义：亦即错误（有时也称之为粗差）。产生的原因：较多 作业人员疏忽大意、失

6、职。如：读错、记错、瞄错等；仪器突发性故障；容许误差取值过小造成。粗差对成果影响极大，所以在测量成果中必须剔除。发现错误的方法：必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；恪守有关测量规范，严格作业程序等。,11,（1）系统误差,（3）粗 差,（2）偶然误差,误差理论研究的主要对象,规定测量程序；结果中加以改正,须发现并剔除,无法预知，不可避免,测量成果中,12,偶然误差的特性,l 偶然误差的特点具有随机性，所以它是一种随机误差l偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。偶然误差分布的表示方法表格法直方图法误差概率分布曲线-正态分布曲线,13,

7、1、表格法,例如：在相同观测条件下观测了217个三角形（见图5-J1）的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去180，即：=+-180。将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d（如表5-1中的3）；统计出每一个小区间出现的误差个数k及频率，频率=个数k/总数n（n=217），得出统计表。,图5-J1,14,表5-1 三角形内角和真误差统计表,0.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.0050,15,从表5-1中可以看出:,该组误差的分布表现出如下规律：小误差出现的个数比大误差多；绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；最大

8、误差不超过27。,16,2、直方图法,横坐标以偶然误差为横坐标，纵坐标以频率 d(频率/组距)为纵坐标，在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积=误差出现在该区间的频率(K n)所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布。,17,有斜线的矩形面积：为误差出现在+6+9 之间的频率(0.069),18,3、误差概率分布曲线-正态分布曲线,当直方图中：n，d各区间的频率也就趋于一 个完全确定的数值概率.若d 0时，则直方图成为误差概率曲线正态分布曲线。它服从于正态分布。(1)正态分布曲线的方程式为：,式中：为偶然误差；（0）称为标准差，是与观测条件

9、有关的一个参数。它的大小可以 反映观测精度的高低。,19,标准差定义为：(2)误差概率曲线：叫作偶然误差的理论分布(见图5-2)误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1图5-2 的误差分布曲线是对应着某一观测条件的，当观测条件不同，其相应的误差分布曲线的形状也随之改变。,20,(3)偶然误差的四个特性,特性一 有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；特性二 集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；特性三 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；特性四 抵偿性：当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即:,在数理统计中，(5-5)式

10、也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示：E()=0.,21,(4)不同精度的误差分布曲线：如图5-3：曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。v 曲线I 较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。v 曲线II较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。,精度与准确度的区别,22,v当=0 时，v上式是两误差分布曲线的峰值。其中曲线的峰值较曲线的高，即12，故第组观测的小误差出现的概率较第组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。v 曲线I表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。v

11、曲线II相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。,如图5-3中，曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。,23,精度是指一组观测值的密集与离散程度，也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。例:对A边三次丈量值为56.882,56.885,56.884 后对A边丈量了三次 为56.882,56.883,56.883，可以看出：前者离散度大,精度低;后者离散度小，精度高。但为了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。评定精度的指标:中误差、相对误差、极限误差和容许误差,5-2评定精度的指标,24,一、中误差,注意：在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符

12、号各异，而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度：只要观测条件相同，则中误差不变。中误差代表的是一组观测值的误差分布。,式（5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标，是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数n计算出标准差的估值定义为中误差m，作为衡量精度的一种标准，计算公式为：,25,【例5-1】,有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲：+3、+1、-2、-1、0、-3；乙：+6、-5、+1、-4、-3、+5。试分析两组的观测精度。【解】用中误差公式（5-6）计算得：,26

13、,从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小（2.0），所以观测精度高于乙组（4.3）。而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。,27,二、相对误差,绝对误差:有符号，并且有与观测值相同的单位的误差，被称为。（如真误差和中误差）绝对误差：用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。（如角度、方向等）相对误差:在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。相对误差“K”等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示，即：,28,相对中误差：当误差的绝对值为

14、中误差m 的绝对值时，K称为。相对较差：在距离测量中还常用往返测量结果的 相对较差来进行检核。相对较差定义为：,相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。,29,三、极限误差和容许误差,1极限误差 l 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，（中误差）绝对值大于 的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于2 的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对值大于3 的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。l 在测量工作中，要求对观测误差有一定的限值。大于3m的误差出现的机会只有3，在有限的观测次

15、数中，实际上不大可能出现。所以，可取3 作为偶然误差的极限值，称极限误差。,30,2容许误差,l在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即：l当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即 如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。,31,5-3误差传播定律,在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。,32,间接观测量:在实际测量工作中，往往会碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接观测的,由直接观测的量，通过函数关系间

16、接计算得出的量称为。例如：用水准仪测量两点间的高差h，通过直接观测值后视读数a 和前视读数b 来求得的：h=ab。间接观测量的误差：由于直接观测值(a、b)中都带有误差,因此 间接观测量函数(h)也必然受到影响而产生误差。,33,一、误差传播定律,设Z是独立观测量x1，x2，xn的函数，即式中：x1，x2，xn为直接观测量，它们相应的观测值的中误差分别为m1，m 2，mn，则观测值的函数Z的中误差为:式中 为函数Z分别对各变量xi的偏导数，并将观测值（xi=Li）代入偏导数后的值，故均为常数。,34,任意函数中误差计算方法和步骤：,1、列出函数式：,2、对函数式全微分，得出函数与观测量（自变量

17、）的真误差关系式：,4、求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：,3、独立性判断：,注意单位统一！,35,36,【例5-2】在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为 d=23.4 mm，其中误差 md=0.2 mm，求该两点的实际距离D及其中误差 mD。解：函数关系式：D=M d，属倍数函数，M=500是地形图比例尺分母。两点的实际距离结果可写为：11.7 m0.1 m。,二、应用举例,37,【例5-3】,水准测量中，已知后视读数a=1.734 m，前视读数b=0.476 m，中误差分别为ma=0.002 m，mb=0.003 m，试求两点

18、的高差及其中误差。解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得,两点的高差结果可写为1.258 m0.004 m。,38,【例 5-4】,在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差mL=0.05 m，并测得倾斜角=1034，其中误差m=3，求水平距离D及其中误差mD,解:1）首先列出函数式 2）水平距离这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，3）先求出各偏导值如下,39,5）得结果：D=243.30 m0.06 m。,4）写成中误差形式：,40,【例5-5】,图根水准测量中，已知每次读水准尺的中误差为mi=2 mm，假定视距平均长度为50 m，若以3倍中误差为容许误差，试求在测段

19、长度为L km的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。解:1)每站观测高差为：2)每站观测高差的中误差：因视距平均长度为50 m，则每公里可观测10个测站，L公里共观测10L个测站，L公里高差之和为：L(km)高差和的中误差为：,41,往返高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：以3倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：在第二章中，取 作为闭合差的容许值是考虑了除读数误差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i角误差等）。,42,三、注意事项,应用误差传播定律应注意以下两点：1要正确列出函数式 例：用长30 m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为

20、ml=5 mm，求全长D及其中误差mD。(1)函数式 按倍数函数式求全长中误差，将得出：(2)实际上根据测量过程全长应是10个尺段之和，故函数式应为：用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为：按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。,43,44,上面所得的结果是错误的!,因为y1和y2都是x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是：先把（a）式代入(a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。,3、注意单位统一！,45,多余观测:对一个未知量，进行重复观测.多余观测目的:提高观测成果的质量，发现和消除

21、错误。有一个多余观测，就会产生一个矛盾（闭和差），消除矛盾的过程，称为测量平差。直接观测平差:重复观测.也就产生了观测值之间互不相等这样的矛盾。如何由这些互不相等的观测值求出观测值的最佳估值，同时对观测质量进行评估，即对一个未知量的直接观测值进行平差.根据观测条件，有等精度直接观测平差和不等精度直接观测平差。,5-4等精度直接观测平差,46,最或然值:平差的结果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“最或然值”，或“最可靠值”，有时也称“最或是值”，一般用 x 表示。,一、等精度直接观测值的最或然值算术平均值(最或然值x),47,二、评定精度,（一）观测值的

22、中误差1由真误差来计算当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。,2由改正数（最或然值误差v）来计算 在实际工作中，观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。,48,（1）改正数及其特征,l 观测值的改正数:最或然值x与各观测值Li之差称为，其表达式为:在等精度直接观测中，最或然值x即是各观测值的算术平均值。即 显然l 式是改正数的一个重要特征，在检核计算中有用。,49,（2）观测值的中误差,白塞尔公式：,上式即是等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式。,50,（二）最或然值的中误差,一组等精

23、度观测值为L1、L2、Ln，其中误差均相同，设为m，最或然值x（算术平均值）的中误差M为：,51,【例5-6】对某角等精度观测6次，其观测值见表5-3。试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。,解：观测值的最或然值:x=753215.5 观测值的中误差:,最或然值的中误差:,52,表5-3 等精度直接观测平差计算,53,一般袖珍计算器都具有统计计算功能（STAT），能很方便地进行上述计算（参考各计算器说明书）算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍,这说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。当观测的中误差m一定时，算术平均值的中误差M与观测次数n的平方根成反比，如表5-4及图5-4所示。,54,表5-4,图5-4,观测次数与算术平均值中误差的关系,55,1）应设法提高单次观测的精度，如:使用精度较高的仪器、提高观测技能 在较好的外界条件下进行观测。2）进行适当的多余观测 观测值个数大于未知量的个数，分配闭合差（超限重测）;求观测值的最可靠值(算术平均值或改正后平差值),偶然误差的削弱的方法,56,思 考 题 与 习 题：教学参考书：P,