概率论复习与补充.ppt

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1、第一章 概率论复习与补充,概率空间随机变量及其分布随机变量的函数及其分布随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理特征函数,1.1 概率空间,一、样本空间与事件域,基本事件：,设 是一个随机试验,的每一个不能再分或无需再分的可能结果,样本空间：,全体基本事件所组成的集合,定义1：,设 是样本空间，是由 的一些子集为元素所组成的集合，如果满足下列条件,(1),(2),(3),则称 为事件域，中的元素称为事件，称为必然事件,二、概率的定义与性质,定义2：,设 是随机试验的基本空间，为随机事件，为定义在事件域 上的实函数，若满足,（1）有界性：,（2）正则性或规范性：,（3）可列可加性：,对可列多个事

2、件,如,果，则有,则称函数 为事件 的概率。,0,1,概率空间：,概率的性质：,有限可加性,加法公式的推广,三、条件概率与事件的独立性,1.条件概率,定义3：,设A、B是某随机试验中的两个事件，且,则,称为在事件A已发生的条件下事件B发生的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。,三个重要的公式,两个事件的乘法公式,（一）乘法公式,多个事件的乘法公式,则有,（二）全概率公式,设随机事件,满足：,（三）Bayes公式,设随机事件,满足,则,返回主目录,2.事件的独立性,1.两事件独立的定义,设 A、B 是两个随机事件，如果,则称 A 与 B 是相互独立的随机事件,两事件独立性的性质：,则事件A 与

3、 B 相互独立的,返回主目录,充分必要条件为：,1）如果,2）必然事件 与任意随机事件A相互独立；不可能事件与任意随机事件A相互独立,3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则,也相互独立.,注意:两事件相互独立与互不相容的区别：“A与B互不相容”，指两事件不能同时发生，即 P（AB）=0。“A与B相互独立”，指A是否发生不影响B发生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或,2.n个事件的相互独立性,返回主目录,独立随机事件的性质：,1.2 随机变量及其分布,一、一维随机变量的分布,定义1：,设 是一个概率空间，而 是定义在基本空间 上的单值实函数，若对任一实数,基本事件 的集合 都是一随机事件

4、,即，则称 为一个随机变量。,1.分布函数及其性质：,定义2：,设 是一个随机变量，是任意实数，,称为 的分布函数,返回主目录,函数,分 布 函 数 的 性 质,1.是一个不减的函数,2.,3.,这三条性质不但是分布函数的必要条件,还可以证明，它们一起构成函数 成为某一随机变量的分布函数的充要条件。,2.离散型随机变量及其分布列,若随机变量的所有可能取的值是有限多个或可列多个,则称该随机变量为离散型随机变量,它的概率分布规律通常用分布列表示.,设离散型随机变量 的所有可能取值为 并且,分布列的性质为:,分布函数为,3.连续型随机变量的概念与性质,如果对于随机变量X 的分布函数，存在非负实函数，

5、使得对于任意 实数，有,则称 X 为连续型随机变量，其中函数 称为X 的概率密度函数,简称密度函数.,连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定,定义3:,密度函数的性质:,4.一些常用的概率分布,离散型,连续型:,二、多维随机变量及其分布,1.n维随机变量及其分布,设 都是定义在同一概率空间 上的n个随机变量,把 看成一个整体,称为一个n维随机变量(随机向量),记为,定义4:,设 是n维随机变量,是任意n个实数,则n元函数,称为 的n维联合分布函数.,定义5:,若 的n维联合分布函数可以表示为,其中 是非负可积函数,则称 为n维连续型随机变量,称为n维联合概率密度函数.,2.二维分布函数及其性

6、质,定义6:,性质:,单调性：F(x,y)是变量x,y的不减函数，即 当 x1 x2时，当 y1 y2时，,（1）,（2）,对于任意固定的 Y,对于任意固定的 X,且,有界性：,（3）右连续性：,对每个变量都是右连续的，即,（4）,非负性：,这四个条件一起构成二元函数 为二维随机变量的分布函数的充分必要条件。,3.二维概率函数及其性质,性质:,定义7:,对于二维随机变量(X,Y)的分布函数 如果存在非负实函数 使得对于任意的实数 有：,则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。,40 设 G 是平面上的一个区域，点(X

7、,Y)落在 G 内 的概率为：,返回主目录,性质:,4.边缘分布,若 是二维随机变量 的分布函数，,分别称为 关于 的边缘分布函数。,（1）离散型,设 为二维离散型随机变量，联合分布律为,则,分别称为二维离散型随机变量 关于 的边缘分布律。,（2）连续型,设 为二维连续型随机变量，联合密度函数为,则,分别称为二维连续型随机变量 关于 的边缘分布律。,注：联合分布唯一的确定边缘分布，但边缘分布一般 不能确定联合分布。,5.随机变量的独立性,定义8：,设 是二维随机变量，若对任意实数 有,则称随机变量 相互独立，简称独立。,若 是二维离散型随机变量，则 相互独,立的充分必要条件为,若 是二维连续型

8、随机变量，则 相互独,立的充分必要条件为,定义9：,设 是n维随机变量，若对任意实数 有,则称随机变量 相互独立,对于定义在同一概率空间上的随机变量序列,如果其中任何有限个随机变量都是独立的，则称,这个随机变量序列独立。,注：,若 独立，则其中任意m个随机变量也独立。,6.条件分布,定义10：,设 是二维离散型随机变量，对固定，若，则称,为在条件 下 的条件分布律，称,为在条件 下 的条件分布函数，记为,定义11：,设 是二维连续型随机变量，其联合概,率密度，且,则称,为在条件 下 的条件分布函数，记为,称,为在条件 下 的条件密度函数。,1.3 随机变量的函数及其分布,一、一维随机变量的函数及其分布,1.离散型,2.连续型,(1),则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为,其中 h(y)是 g(x)的反函数，即,(2),若 是分段严格单调、可导函数，即存在有限个或可列个区间,使得在 上 单调增或减，且将此,区间内函数 的反函数记为,相应,其中,二、二维随机变量的函数及其分布,1.离散型,2.连续型,3.常用的二维随机变量函数的分布,(1)和分布,(2)商分布,(3)差分布,(4)积分布,三、二维随机变量的变换及其分布,四、随机变量函数的独立性,定义1：,则称这k个随机向量独立。,(2),(1),