格林公式的应用.ppt

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1、一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,三、二元函数的全微分求积,9.7 格林公式及其应用,一、格林公式,单连通与复连通区域,区域的边界曲线的方向,当观察者沿区域D的边界曲线L行走时 如果左手在区域D内 则行走方向是L的正向,单连通区域,复连通区域,设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域,定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有,其中L是D的取正向的边界曲线,格林公式,应注意的问题:对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D

2、来说都是正向,提示,格林公式:,用格林公式计算区域的面积,设区域D的边界曲线为L 则,在格林公式中 令Py Qx 则有,格林公式:,用格林公式计算区域的面积,例1 求椭圆xacosq ybsinq 所围成图形的面积A,设区域D的边界曲线为L 则,解,设L是由椭圆曲线 则,提示:,因此,由格林公式有,格林公式:,用格林公式计算二重积分,为顶点的三角形闭区域,解,因此,由格林公式有,格林公式:,用格林公式计算二重积分,为顶点的三角形闭区域,解,用格林公式求闭曲线积分,令P2xy Qx2 则,证,因此 由格林公式有,格林公式:,例3 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明,提示,解,不经过原点的连续闭

3、曲线 L的方向为逆时针方向,当(0 0)D时,由格林公式得,记L所围成的闭区域为D,当x2y20时 有,在D内取一圆周l x2y2r2(r0),不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向,当(0 0)D时,解,记L所围成的闭区域为D,记L及l所围成的复连通区域为D1 应用格林公式得,其中l的方向取顺时针方向,于是,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,这是因为 设L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则L1(L2-)是G内一条任意的闭曲线

4、而且有,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,曲线积分与路径无关,定理2(曲线积分与路径无关的判断方法),定理证明,应用定理2应注意的问题,(1)区域G是单连通区域(2)函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立,讨论,提示,解,这里P2xy Qx2,选择从O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折线作为积分路线,物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧,三、二元函数的全微分求积,表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x

5、 y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎样求出这个二元函数呢？,二元函数u(x y)的全微分为du(x y)=ux(x y)dxuy(x y)dy,原函数,如果函数u(x y)满足du(x y)=P(x y)dxQ(x y)dy 则函数u(x y)称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数.,定理3,求原函数的公式,解,这里,因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有,是某个函数的全微分,取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线,半平面内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数,则所求函数为,例7 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数,这里Pxy2 Qx2y,解,因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有,所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分,取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为,