旋转对称系统的高斯光学.ppt
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1、电子光学,第三章 旋转对称系统的高斯光学,31旋转对称场中的电子的运动,轨迹方程电子光学要研究和解决的问题是带电粒子的运动规律,从上一章的内容中我们得到了三种描述带电粒子运动规律的方法,他们分别是牛顿运动方程、拉格朗日方程和最小作用原理,前两个方程,描述了微分方程,最后一个描述的是积分方程,证明他们是等价的。,31旋转对称场中的电子的运动,如果从运动方程得到一个以位置坐标z为变量的微分方程,称为轨迹方程,与最小作用原理等价。,本章采用的描述方法是从运动方程出发,通过数学变换,将方程中的时间坐标变换成位置坐标,从而得到轨迹方程。,通常描述带电粒子运动的基本方程式是牛顿运动方程,它是一个以时间为变
2、量的二阶微分方程。,本章描述的方法是一般教科书常用的方法。,31旋转对称场中的电子的运动,直角坐标的运动方称的三个分量式分别为:,直角坐标的轨迹方程,31旋转对称场中的电子的运动,利用能量守恒定律,可以得到关于位置坐标变量z对时间t的一阶微分,31旋转对称场中的电子的运动,而坐标x,y对t的一阶和二阶微分可以表示为,由于,因此,31旋转对称场中的电子的运动,将上式中的z对时间的微分替代,然后再代入运动方程的左端得到,再将z的微分代入上式,可以得到x方向的轨迹方程得分量方程为:,而右端项为,31旋转对称场中的电子的运动,31旋转对称场中的电子的运动,2.圆柱坐标的轨迹方程由于电子光学中,旋转对称
3、系统常用圆柱坐标表示,从上一章中得到,从直角坐标的运动方程,经过坐标变换得到的圆柱坐标运动方程的三个分量方程为:,31旋转对称场中的电子的运动,同上节一样,将上述方程中对时间微分量,换成对位置坐标的微分,可以得到圆柱坐标的轨迹方程。,和,,,31旋转对称场中的电子的运动,首先,利用上面的第二个方程,可以得到角动量守恒定律,从而得到旋转角动量,其中上式第二式表示旋转方向的分量运动,将得到的角速度代入其他两式,得到圆柱坐标表示的运动方程的r和z方向的两个分量式,该方程表示一个以某一个角速度旋转的坐标系。,31旋转对称场中的电子的运动,3.角动量守恒和旋转角速度(313)式表示旋转方向分量方程,用磁
4、矢量A位代替磁感应强度B,方程为:,31旋转对称场中的电子的运动,将方程中,去掉,方程为:,由于全微分形式有:,31旋转对称场中的电子的运动,而由于对于恒定磁场有,因此右端项可以写成全微分形式,方程为:,31旋转对称场中的电子的运动,写成全微分,因此有,积分后得到,31旋转对称场中的电子的运动,角动量守恒,其中:,分别表示初始坐标、,磁矢位、,旋转角速度。,上式左端项表示角动量,,右端项的第一项表示初始角动量,第二项表示磁通的增量。,说明,带电粒子任一点的角动量,只取决于初始角动量及粒子运动过程中磁通量的变化,,31旋转对称场中的电子的运动,的变化引起的,若粒子运动中,一磁力线上,角动量不变。
5、,表示磁通量函数,可以看出,角动量的变化是磁通量,不变,或始终两点在同,(2)角速度,利用布许定理可以得到粒子旋转运动角速度为,其中,31旋转对称场中的电子的运动,代入后可以写为,即可得到不考虑旋转方向的,关于带电粒子在子午面的运动方程。,如果将式得到的角速度代入圆柱坐标的第一和第三个方程中,将不包括旋转方向的分量,关于r方向的第一个方程为:,31旋转对称场中的电子的运动,右端项写成=,代入第二个方程,31旋转对称场中的电子的运动,得到圆柱坐标的运动方程形式,上面两个方程表示,当消除角速度后在r和z方向的运动,,上的运动方程。,也就是说,它表示的是一个以角速度,旋转的子午面,31旋转对称场中的
6、电子的运动,4.约化电位表示的运动方程,一项由磁位产生的运动,方程的表示不简便,如果令,得到的运动方程包括两项,一项由电位产生的运动,,称为约化电位,运动方程可以简化为,31旋转对称场中的电子的运动,5.约化电位表示的能量守恒,同样可以证明,用约化电位表示的运动方程遵从能量守恒定律。,将上面第一式乘以,,第二式乘以,後,两个方程将加,,有,积分后得,常数,或,31旋转对称场中的电子的运动,右端项表示粒子在子午面方向运动的动能,总能量为旋转运动的动能加上子午面方向的动能。可以看出,与静电场的电位意义不同,约化电位与磁场分布有关,与粒子初始状态有关,即与,有关。,这说明,发射点在磁场所处的位置影响
7、粒子运动。,31旋转对称场中的电子的运动,6.圆柱坐标的轨迹方程 圆柱坐标下的运动方程,可以通过坐标变换,得到轨迹方程。,利用下列变换:,可以得到柱坐标的能量关系式:,31旋转对称场中的电子的运动,因此可以表示为 z 对 t 的微分形式为:,由于t的微分算子可以表示为:,而r的二阶微分为,31旋转对称场中的电子的运动,将,和,代入到第一个表示 r 分量的运动方程中,因此,31旋转对称场中的电子的运动,由方程,得到,代入后得到,31旋转对称场中的电子的运动,7.采用约化电位表示的轨迹方程由于约化电位表示的方程简洁,方便,因此也可以从运动方程得到轨迹方程。,关于 z 的方程为:,关于 r 的方程为
8、:,可以得到,31旋转对称场中的电子的运动,而从能量守恒公式中得到,代入上式中,31旋转对称场中的电子的运动,当只有电场时,方程为,旋转方向的方程写成,的形式:,32旁轴轨迹方程,(1)旁轴轨迹的定义,在电子光学要研究和解决的带电粒子的运动规律中,往往更为关心的是轴附近电子的运动,即离轴很近,斜率很小的电子轨迹,这部分带电粒子具有聚焦成像的特性,研究这部分轨迹的特性称为旁轴光学或近轴光学。,(2)旁轴运动方程旁轴轨迹方程同样可以从运动方程得到。,32旁轴轨迹方程,直角坐标的牛顿运动方程表达式为:,在旋转对称电磁场中,已知,表示旁轴区的电位和,磁感应强度的近似表达式为:,32旁轴轨迹方程,将其代
9、入牛顿运动方程中,可得直角坐标的旁轴运动方程为:,如果采用一个旋转坐标,旋转角速度和角度为:,(3)表示子午面的旋转坐标,32旁轴轨迹方程,旋转坐标和其对时间的微分与直角坐标的关系为,32旁轴轨迹方程,对时间再求一次导数,(4)轨迹方程,将上面的运动方程第一式乘以,然后相加,,左端项相加为,第二式乘以,32旁轴轨迹方程,32旁轴轨迹方程,右端相加为,再考虑将下式代入,代入得到直角坐标系的方程为:,32旁轴轨迹方程,又由于假设的旋转坐标条件,带入上面方程式中,可得,既为旁轴运动方程,再利用坐标的变换,32旁轴轨迹方程,又根据能量守恒定律可以得到关于,的表达形式,考虑当,1,,1时,上式去掉高阶项
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