微分与链式法则.ppt

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1、第八章,8.3,、全微分,全微分与链式法则,、链式法则,一元函数 y=f(x)的微分,常数A与x 无关,仅与x 有关,对 x 的偏增量,对 x 的偏微分,对 y 的偏增量,对 y 的偏微分,、全微分,引例:一块长方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了,设面积为 A,则,面积的增量为,关于x,y的线性主部,故,变到,分别由,其边长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变到,多少?,定义:,如果函数 z=f(x,y)在定义域 D 的内点(x,y),可表示成,其中 A,B 不依赖于 x,y,仅与 x,y 有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数

2、,f(x,y)在点(x,y)可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,一般地,(2)偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1)函数可微,函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,由微分定义:,得,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,即,定理1(必要条件),若函数 z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数,同样可证,证:因函数在点(x,y)可微,故,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,因此有,反例:函数,易知,但,注意:定理1 的逆定理不成立.,偏导数存在函数 不一定可微!,即:,因此,函数在点(0,0)不可微.,定理2(充分条件),（证略）,若函数,的偏导数

3、,则函数在该点可微分.,于是，全微分,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,例3.计算函数,的全微分.,解:,例4.计算,的近似值.,解:设,则,取,则,内容小结,1.微分定义:,2.重要关系:,偏导数存在,函数可微,偏导数连续,思考与练习,函数,在,可微的充分条件是(),的某邻域内存在;,时是无穷小量;,时是无穷小量.,1.选择题,2.设,解:,利用轮换对称性,可得,注意:x,y,z 具有 轮换对称性,答案:,3.已知,在点(0,0)可微.,备用题,在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1),因,故函数在点(0,0)连续;,但偏导数在点(0,0)不连,证明函数,所以,同理,极限不存在,在

4、点(0,0)不连续;,同理,在点(0,0)也不连续.,2),3),4)下面证明,可微:,说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导的链式法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,、多元复合函数求导的链式法则,定理.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,且有链式法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(全导数公式),推广:,1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3),当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,表示固定 y

5、 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,与,不同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,口诀:,连线相乘,分叉相加,单路全导,叉路偏导,例1.设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.设,求全导数,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,解:,令 u=1+x2,v=cos x,则,解:设,于是,例4.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.设,f 具有一阶连续偏导数,求,解:令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形

6、式不变性.,例6.设,例1.,解:,所以,8.3.3 一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,单值连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则还可求隐函数的,例4.求由方程,解法一 令,所确定的y是x的函数的,导数.,解法二,方程两边对 x 求导,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数;,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例5.设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,内容小结,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.隐函数求导,(1),(2),时,时,作业 P117 1(2),(6);8;9;10;17；18.,