常用概率分布.ppt

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1、常用概率分布,掌握：三个常用概率分布的概念；二项分布及Poisson分布的概率函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法；医学参考值的计算熟悉：三个常用概率分布的特征了解：质量控制的意义、原理及方法,教学要求,一、二项分布 二、Poisson分布三、正态分布,常见随机变量的分布：,连续型变量,离散型变量,1.1 二项分布的概念和函数1.2 二项分布的特征1.3 二项分布的应用,一、二项分布的概念 和概率函数,摸球模型,一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄球、3个白球，我们进行摸球游戏，每次摸1球，放回后再摸。先后摸100次，请问：摸到0次黄球的概率是多大？,解：,每次摸到白球的概率=0.6,第

2、1次摸到白球的概率=0.6,第2次摸到白球的概率=0.6,第100次摸到白球的概率=0.6,100次摸到0次黄球的概率=0.60.60.6=0.6100,先后摸100次，摸到3次黄球的概率是多大？,解：,每次摸到黄球的概率=0.4,黄白黄白黄白白白,概率=(0.4)3(0.6)97,100次摸到3次黄球的概率=(0.4)3(0.6)97+(0.4)3(0.6)97+(0.4)3(0.6)97+=C1003(0.4)3(0.6)97,每次摸到白球的概率=0.6,黄黄黄白白白白白,黄白黄黄白白白白,概率=(0.4)3(0.6)97,概率=(0.4)3(0.6)97,先后摸100次，摸到x次黄球的概

3、率是多大？,解：,100次摸到x次黄球的概率=C100 x(0.4)x(0.6)100-x,100次摸到3次黄球的概率=C1003(0.4)3(0.6)97,先后摸n次，摸到x次黄球的概率是多大？,n次摸到x次黄球的概率=Cnx(0.4)x(0.6)n-x,解：,如果摸到黄球的概率不是0.4，而是，先后摸n次，摸到x次黄球的概率是多大？,n次摸到x次黄球的概率=Cnx()x(1-)n-x,解：,小结：摸球模型,二分类：每次摸球都有两种可能的结果（黄球或白球）独立：每次摸球都是彼此独立的重复：每次摸到黄球的概率都是、摸到白球的概率都是1-,所以，先后摸n次，摸到x次黄球的概率为：,n次摸到x次黄

4、球的概率=Cnx()x(1-)n-x,在医学研究中，许多观察或试验的可能结果可以归结为二个相互排斥的结果。如检查的结果为“阳性”或”阴性”，治疗结果可分为“有效”或“无效”，也可为“生存”或“死亡”等。,二项分布的概念：,如果每个观察对象阳性结果的发生概率均为，阴性结果的发生概率均为（1-）；而且每个观察对象的结果是相互独立的，那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人数X的概率分布为二项分布，记作：B(n,)。,P(x)=Cnx()x(1-)n-x,其中：,一般地，若随机变量取值x的概率为：,（x 取值0、1、2、n）,二项分布的密度函数：,举 例：,临床上用针炙治疗某型头痛，有效的概率为60%

5、；现以该法治疗患者3例，其中0例、1例、2例、3例有效的概率各是多大？,解：,P(x)=Cnx()x(1-)n-x,二、二项分布的特征,P(x)=Cnx()x(1-)n-x,1.二项分布的图形特征:,和n 是二项分布的两个参数，n决定x的取值范围，n 和 决定了x的概率分布。,=0.5时，不同n值对应的二项分布,n=30，=0.3,n=20，=0.5,n=10，=0.3,n=5，=0.3,=0.3时，不同n值对应的二项分布,二项分布图的形态取决于和n，高峰在=n处,当=0.5，图形是对称的；当0.5，图形不对称；离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋向于对称。当n时，只要不太靠近0或

6、1（特别是 n 和 n(1-)都大于5时），二项分布接近于正态分布。,对于二分类情况，进行n次试验，每次试验出现阳性结果的概率均为，出现阳性结果的次数为x，则X的总体均数、方差2及标准差分别为：,总体方差：2=n（1-）,2.二项分布的均数和标准差：,总体均数：=n,对于二分类情况，进行n次随机试验，每次试验出现阳性结果的概率为，则出现阳性结果x的概率P、概率P的均数P，概率P的方差P2及概率P的标准差P为：,三、二项分布的应用,二项分布的应用：,概率估计：,举例：如果某地钩虫感染率是13%，随机观察当地150人，其中10人感染钩虫的概率有多大？,解析：,二分类（感染、不感染）独立（假定互不影

7、响）重复（n=150），每人感染钩虫机率均为=0.13故：感染钩虫的人数x符合二项分布B(150，0.13)所以：P(x=10)=C15010 0.13100.87140=0.0055,单侧累积概率的计算：,单纯计算二项分布x恰好取某值的概率没有太大意义,经常需要计算的是二项分布的累积概率,（1）出现阳性次数至多为k次的概率为：,（2）出现阳性次数至少为k次的概率为：,举例：某地钩虫感染率是13%，随机观察当地150人。（1）其中最多有2人感染的概率有多大？,（2）其中最少有2人感染的概率有多大？,（3）其中最少有20人感染的概率有多大？,解：,第二节 Poission分布及其应用,1.1 P

8、oission 分布的概念和函数1.2 Poission 分布的特征1.3 Poission 分布的应用,一、Poission分布的概念 和概率函数,Poission分布的概念：,Poisson分布是描述罕见事件发生次数的概率分布。,如：出生缺陷、多胞胎、染色体异常、细菌在单位面积的分布等。,Poisson分布可看作是二项分布的特例：,独立重复的次数很大很大 每次出现某事件的概率，或未出现某事件的概率1-很小很小，接近于0或1（如0.001或0.999）。,举例：1毫升水样品中大肠杆菌数目X的分布：,将1毫升水等分为n个微小体积，这里n很大很大；每1个微小体积中大肠杆菌是否出现，相互独立；第1

9、个微小体积中大肠杆菌出现的概率都是，且很小很小,想象：,例：放射性物质一定时间内放射出质点数的分布,时间“n 很大、独立、概率都是 且很小”的二项分布-Poisson分布,注意：,举若n次观察互不独立，或发生的概率不等，则不能看作是Poission分布。,举例：,传染性疾病的流行模型：首例病例出现后，便成为传染原，可增加后继病例出现的概率。污染牛奶细胞的播布：成集落存在及繁殖。钉螺在繁殖期一窝一窝的散布,这些现象均不能用Poission分布这个理论模型处理,Poission分布的概念：,对二项分布，当n，n 时，可以证明：,P(x)=Cnx()x(1-)n-x,所以，若随机变量X的概率函数为：

10、,若则称此变量服从Poission分布，记作P()。,举例：某地20年间共出生肢短畸形儿10名，平均每年0.5名，估计该地每年出生此类畸形人数为0、1、2的概率P(x)。,解析：,e=2.71828，=0.5,所以不同x取值时，概率值如下表示：,三、Possion分布的图形特征,Poission分布的概率函数：,是Poisson分布的总体参数，也是唯一的参数,Poission的概率分布示意图：,Poission分布图形的特征：,poission分布图的形态取决于 5时为偏峰，愈小分布愈偏;随着的增大，分布趋向于对称。,总体均数=总体方差=；观察结果具有可加性，即：,Poission分布的两个重

11、要特征：,若X1服从总体均数为1的Poission分布，X2服从总体均数为2的Poission分布，则T=X1+X2服从总体均数为1+2的Poission分布。,举例：从同一水源独立取水样5次，进行细胞培养,把5份水样混合，则合计菌落数也符合Poission分布，则：,X1+X2+X3+X4+X5(1+2+3+4+5),医学研究中常利用其可加性，将小的观察单位合并，来增大发生次数X，以便用后面讲到的正态近似法作出统计推断。,三、Possion分布的应用,概率估计：,举例1：若某地新生儿先天性心脏病的发病概率是8，那么该地120名新生儿中有4人患先天性心脏病的概率是多少？,解析：,发病、不发病,

12、发病概率8，概率很小,n=120，相对较大,0,=n=120 8=0.96,故：,单侧累积概率的计算：,（1）稀有事件发生次数至多为k次的概率为：,（2）稀有事件发生次数至少为k次的概率为：,举例1：若某地新生儿先天性心脏病的发病概率是8，那么该地120名新生儿中：（1）至多有4人患先天性心脏病的概率是多少？（2）至少有5人患先天性心脏病的概率是多少？,举例2：实验室显示某100cm2的培养皿中平均菌落数为6个，试估计(1)该培养皿中菌落数小于3的概率，(2)大于1个的概率。,解析：,菌落长、不长,长概率很小，n很大,=n=6,故:,二项分布,Poission分布,练习：如生三胞胎的概率为10

13、4，求105次分娩中，有0，1，2次生三胞胎的概率。,解：,一、正态分布的概念,一、正态分布的概念正态分布是自然界最常见的一种分布 测量的误差、人体的尺寸、许多生化指标等等都近似服从正态分布。许多其它分布可用正态分布近似,正态分布(normal distribution)的概念,正态分布,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布(Gauss distribution)。,德莫佛,高 斯,10马克的钱币,【典型案例分析】,举例：随机调查某医院1402例待分娩孕妇，测得她们的体重，试述其体重频数分布的特

14、征。,表5-1 某医院1402例分娩孕妇体重频数分布,作图:以体重测量值为横轴，以频率与组距的比值为纵轴作出直方图。,1.由于该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长度所占有的频率，相当于频率密度，因此将此图称为频率密度图。,图5-1 体重频率密度图,2.由于频率的总和为100%或1，所以该曲线下横轴面积为100%或1。.,。,正态曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型”曲线。,正态分布的密度函数f(x)，即正态曲线的函数表达式：,（一）正态分布的两个参数：,和 是正态分布的两个参数，和决定了x的概率分布；习惯上用 N(,2)表示均数为，标准差为的正态分布。,

15、（二）正态分布图形的特征：,1.关于x=对称,2.正态曲线在横轴上方，当x=时,f(x)取最大值，即均数位于曲线的最高处,在 x=处有拐点,3.曲线下的面积为1。,4.是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；增大曲线沿横轴向右移，减小曲线沿横轴向左移。,5.是正态曲线的形状参数，越大数据越分散，曲线越“矮胖”，越小数据越集中，曲线越“瘦高”。,当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动，所以叫正态曲线N（,2）的位置参数，。,1.位置参数：,图5-4 正态分布位置随参数变换示意图,2.形状参数：,当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭，叫正态曲

16、线N（,2）的形状参数。,医学研究中许多正常人的生理，生化指标等多呈正态分布或近似正态分布。一般来说，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不太大，那么这个指标服从正态分布，如实验中的随机误差，通常表现为正态分布。,二、正态曲线下的面积,1.一个共同的规律,正态分布性质决定的,2.Z变换与标准正态分布对于任何一个服从正态分布的随机变量，可作如下标准化变换，也称Z变换，把z代入概率密度函数，得标准正态分布的概率密度函数：,变换后的Z值仍然服从正态分布，称为为标准正态分布 N（0，1）。,统计学家编制了标准曲线下面积分布表，因为两边对称，只给出Z取负值的情况。（Z）称为标准正态分

17、布的分布函数。,任意正态分布曲线 XN(,2),标准正态分布曲线XN(0,1),可见，任一正态分布曲线下的面积分布规律可通过Z变换后，与标准正态分布曲线下面积对应,1.左半侧Z值对应面积的查法：,正态曲线下面积对称，则区间（1.96，）的面积也是0.025。Z取值于（-1.96，1.96）的概率为1-20.025=0.95，即X取值在区间 上的概率为95%。同理，X取值在区间 的概率为99%。,例 4-10 X服从均数为，标准差为 的正态分布，试估计（1）X取值在区间 上的概率；（2）X取值在区间 上的概率；,先做标准化变化:,例 4-11 已知某地1986年120名8岁男童身高均数，S=4.

18、79 cm，估计(1)该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的百分比；(2)身高界于120cm128cm者占该地8岁男孩总数的比例；(3)该地80%男孩身高集中在哪个范围？先做标准化变化:,理论上该地8岁男孩身高在130 cm以上者占该地8岁男孩总数的7.21%。,（2）计算身高在120-128cm者占该地8岁男孩总数的百分比：,（3）欲求该地80%的8岁男孩身高集中 在哪个范围：,查附表1，标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的Z值为-1.28，所以80%的8岁男孩身高值集中在 区间内，即116.9cm129.2cm,（1）曲线下横轴上的总面积为100%（2）表中曲线下

19、面积为(-，0)（3）标准正态曲线下的面积以0为对称，即,如区间(-，-1.96)与区间(1.96，+)的面积相等。,小结:,F(u)=1-F(-u),对标准正态分布曲线,三、正态分布在医学中的应用,（一）制定医学参考值范围参考值范围：指特定的“正常”人群的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据大多数个体的取值所在的范围。制定参考值范围的步骤：1.选择足够数量的正常人作为调查对象。2.样本含量足够大。3.确定取单侧还是取双侧正常值范围。4.选择适当的百分界限。5.选择适当的方法。,（1）百分位法：特别适用于偏态分布资料以及资料 中一端或两端无确切数值的资料。,如95%参考值范围：,计算公

20、式：,以不同的方法计算参考值范围：,（2）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料,表 常用参考值范围的制定,举例1：某地调查120名健康女性血红蛋白，直方图显示，其分布近似于正态分布，得均数为117.4g/L，标准差为10.2g/L，试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。,解析：,1.分布近似正态,2.过高过低均为异常,3.求上、下界值,上界：,下界：,所以，该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围是（97.41,137.39）g/l。,举例2：某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数 X=4.2(L),标准差S=0.7(L)，试据此估计其第一秒肺通气量的95%参考值范围

21、。,解析：,1.分布近似正态,2.仅过低为异常,3.求下界值,下界：,所以，该地健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围为不低于3.05（L）。,注意：,1、95%医学参考值范围仅仅告诉我们某特定人群中，95%的个体指标测定值在此范围内，并不能说明凡在此范围内都“正常”。在临床上只能作为参考。2、确定参考值范围必须有足够的样本，并判定是否分层确定参考值。,（二）进行质量控制,基本原理：许多临床检验指标，当影响某一指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用均不太大时，这个指标的随机波动属于随机误差，则往往服从正态分布。若存在系统性误差，这是指标波动就不再服从正态分布。,（三）进行质量控制,控制

22、图：如果某一波动由个体差异或随机测量误差所致，则观察结果服从正态分布。控制方法：控制图共有7条水平线，中心线均数处，常以 X 2s 作为上下警戒值，以 X 3s作为上下控制值。此外还有2条位于X s 处。,判断异常的8种情况是：有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外）在中心线的一侧连续有9个点连续6个点稳定地增加或减少连续14个点交替上下连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限以外）,连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差以内中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差范围。,三、二项分布、Poi

23、sson分布的的正态近似1.二项分布的正态近似 二项分布的形状取决于n,，当=0.5时分布对称，当0.5时，分布呈偏态，特别是n较小时，偏离0.5越远，分布的对称性越差，随着n的增大，分布逐渐趋向于对称。理论上可以证明，不管如何，当n相当大时，只要不接近1和0时，特别是当n或n（1-）都大于5时，二项分布B(X;n,)近似正态分布N(n,n(1-)。,二项分布累积概率的正态近似公式为：,例4-14 如果某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人,其中至少有20人感染钩虫的概率有多大?,2.Poisson分布的正态近似 Poisson分布，当总体均数 小于5时，越小，分布越呈偏态，随着 的增大

24、，分布逐渐趋向于对称。理论上可以证明，随着 Poisson分布也渐近为正态分布。当 时，Poisson分布资料可按正态分布处理。,Poisson分布累积概率的正态近似公式为：,例4-15 实验显示某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson分布，平均为360个，试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。,试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率为1.66%。,1.满足（）时，二项分布B(n,)近似正态分布。A n 和n(1-)均大于等于5 B n 或n(1-)均大于等于5 C n50 D n足够大2.满足（）时，Poisson分布P()近似正态分布。A 无限大 B 20 C=1 D=0.53.满足（）时，二项分布B(n,)近似Poisson分布。A n 和n(1-)均大于等于5 B n C n很大且接近0.5 D n很大且接近0,THANK YOU!,