第三章Z变换(数字信号处理).ppt

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1、3 序列的Z变换,3.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换定义为,(3.1),式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在之间求和，可以称为双边Z变换。还有一种称为单边Z变换的定义，如下式,(3.2),使(3.3)式成立，Z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状域表示,这种单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。本书中如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。(3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即,(3.3),图 3.1 Z变换的收敛域,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项

2、式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。对比序列的傅里叶变换定义，很容易得到FT和ZT之间的关系，用下式表示：,(3.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(3.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。如果已知序列的Z变换，可用(3.4)式，很方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。例 3.1 x(n)=u(n)，求其Z变换。解：X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在

3、，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在，更不能用(3.4)式求FT。该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数()，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。,3.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域。1.有限长序列 如序列x(n)满足下式：x(n)n1nn2 x(n)=0 其它,即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为,设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外，整个z平面均收敛。如果n10，

4、则收敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=点。具体有限长序列的收敛域表示如下：,n10时，00时，0z 例 3.2求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解：,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0z。但由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n)的FT，可将z=ej代入X(z)得到，其结果和例题2.2.1中的结果(2.3.5)公式是相同的。,2.右序列右序列是在nn1时，序列值不全为零，而其它nn1，序列值全为零。ROC：分析：当 n1 0时,第一项为有限长序列，设n1-1，其收敛域

5、为0|z|。第二项为因果序列，其收敛域为Rx-|z|，Rx-是第二项最小的收敛半径。将两收敛域相与，其收敛域为Rx-|z|。如果x(n)是因果序列，收敛域定为Rx-|z|。推论：如序列x(n)的Z变换的收敛域包含点，则x(n)是因果序列,例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解：,在收敛域中必须满足|az-1|a|。3.左序列 左序列是在nn2时，序列值不全为零，而在nn2，序列值全为零的序列。左序列的Z变换表示为,当 n20 当 n20第二项为有限长序列，在整个Z平面收敛（z=点不收敛）。第一项根据前式的论述，当 时收敛因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域,例 3.4求x

6、(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。,X(z)存在要求|a-1 z|1，即收敛域为|z|a|,4.双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为,X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果Rx+Rx-，其收敛域为Rx-|z|Rx+，这是一个环状域，如果Rx+Rx-，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在。例 3.5 x(n)=a|n|，a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解：,第一部分收敛域为|az|a|。如果|a|1，两部分的公共收敛域为|a|z|a|-1，其Z变换如下式：,|a|z|a|-1,如果|a

7、|1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0a1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图3.2所示。,图 3.2 例3.5图,3.3 Z反变换 已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为Z反变换。序列的Z变换及共Z反变换表示如下：,(3.5),1.用留数定理求Z反变换 如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，根据留数定理,(3.6),式中 表示被积函数X(Z)Zn-1在极点Z=Zk的留数，Z反变换则是围线c内所有的极点留数之和。如果Zk是单阶极点，则根据留数定理,(3.7),如果zk是N阶极点，则根据留数定理,(3.8),例 3.6 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其Z反

8、变换x(n)。,为了用留数定理求解，先找出F(z)的极点，极点有：z=a;当n0时z=0共二个极点，其中z=0极点和n的取值有关。n0时，z=0不是极点。n0时，z=0是一个n阶极点。因此分成n0和n0两种情况求x(n)。n0 时，,n0时，z=0的-n阶极点，综合以上二步可得,例 3.7已知，求其反变换x(n)。解：该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图3.5所示。图中有二个极点z=a和z=a-1，这样收敛域有三种选法，它们是(1)|z|a-1|，对应的x(n)是右序列；(2)|a|z|z-1|，对应的x(n)是双边序列；(3)|

9、z|a|，对应的x(n)是左序列。,图 3.5 例3.7 X(z)极点分布图,下面按照收敛域的不同求其x(n)。(1)收敛域|z|a-1|,种收敛域是因果的右序列，无须求n0时的x(n)。当n0时，围线积分c内有二个极点z=a和z=a-1，因此,最后表示成：x(n)=(an-a-n)u(n)。(2)收敛域|z|a|这种情况原序列是左序列，无须计算n0情况，当n0时，围线积分c内没有极点，因此x(n)=0。n0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和,最后将x(n)表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)(3)收敛域|a|z|a-1|这种情况对应的x(n)是双边序列

10、。根据被积函数F(z)，按n0和n0两情况分别求x(n)。n0时，c内极点z=a x(n)=ResF(z),a=an,n0时，c内极点有二个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a-1，因此 x(n)=-ResF(z),a-1=a-n 最后将x(n)表示为 an n0 x(n)=x(n)=a|n|a-n n0,2.幂级数法(长除法)按照Z变换定义(3.1)式，可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)。要说明的是，如果x(n)是右序列，级数应是负幂级数；如x(n)是左序列，级数则是正幂级数。例 3.8已知 用长除法求其Z反变换x(n)。解由收敛域判定这

11、是一个右序列，用长除法将其展成负幂级数,1-az-1,例 3.9 已知求 其Z反变换x(n)。解：由收敛域判定，x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正幂级数,3.部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求Z反变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表3.1)求得各部分的反变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展开为,观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。,(3.11),(3.12),(3.13

12、),(3.14),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，很容易示求得x(n)序列。,例3.10已知，求Z反变换。,解,因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。查表3.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)一些常见的序列的Z变换可参考表3.1。,表3.1 常见序列Z变换,3.4 Z 变换的性质和定理 Z变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。1.线性 设 X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+Y(z)=ZTy(n),Ry-|z|Ry+则 M(z)=ZTm(n)=aX(z)+bY(z),R m-|z|R m+(3.15)Rm+=max Rx+,Ry+Rm

13、-=max Rx,Ry-,这里M(z)的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公式收敛域，如果没有公共收敛域，例如当 R x+R x-R y+R y-时，则M(z)不存在。2.序列的移位 设X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+则ZTx(n-n0)=z-n0X(z),R x-|z|R x+(3.16),3.乘以指数序列 设 X(z)=ZTx(n),R x-|z|R x+y(n)=anx(n),a为常数 则 Y(z)=ZTanx(n)=X(a-1 z)|a|R x-|z|a|R x+(3.17),证明,因为Rx-|a-1 z|Rx+，得到|a|Rx-|z|a|Rx+。,4.序列乘

14、以n设,则,(3.18),证明,5.复序列的共轭 设,则,证明,(3.19),6.初值定理 设 x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n),(3.20),证明,因此,7.终值定理 若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则,(3.21),证明,因为x(n)是因果序列，,因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限,终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为,(3.22),因此如果单位圆上，X(z)无极点，则x()=0。,8.序列卷积 设,则,证明,W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。,例3.11已知网络的单

15、位取样响应h(n)=anu(n),|a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。解：y(n)=h(n)*x(n)求y(n)可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种是用Z变换法。,由收敛域判定y(n)=0,n0。n0 y(n)=ResY(z)z n-1,1+ResY(z)z n-1,a,将y(n)表示为,9.复卷积定理如果 ZTx(n)=X(z)，R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z),R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则,W(z)的收敛域,(3.24)式中v平面上，被积函数的收敛域为,(3.24),(3.25),(3.26),证明,由X(z)收敛域和

16、Y(z)的收敛域，得到,例3.12已知x(n)=u(n),y(n)=a|n|，若w(n)=x(n)y(n)，求W(z)=ZTw(n)解：,因此,W(z)收敛域为|a|z|；被积函数v平面上收敛域为max(|a|,0)|v|min(|a-1|,|z|)，v平面上极点：a、a-1和z,c内极点z=a。,10.帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。,那么,v平面上，c所在的收敛域为,证明 令 w(n)=x(n)y*(n)按照(3.24)式，得到,按照(3.25)式，R x-R y-|z|R x+R y+，按照假设，z=1在收敛域中，令z=1代入W(z)中。,如果

17、x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式中令v=e j，得到,(3.29),令x(n)=y(n)得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的帕期维尔定理(2.2.34)式是相同的。(3.28)式还可以表示成下式：,3.5 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,3.5.1 频率响应函数与系统函数 设系统初始状态为零，系统对单位脉冲序列(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e j),(3.5.1),一般称H(e j)为系统的频率响应函数，它表征系统的频率特性。,设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统函数，它表征了系统的复频域特性

18、。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式,(3.5.2),如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与H(z)之间关系如下式：,(3.5.3),3.5.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含点，即点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。一个稳定线性系统的充要条件是H(z)的收敛域包含单位圆。一个线性系统是因果的充要条件是系统函数H(z)的收敛域Z=一个稳定因果系统的系统函数H(z)的收敛域1|z|一个稳定因果系统的系统函数

19、H(z)的全部极点在单位圆内,例3.5.1已知 分析其因果性和稳定性.解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图3.5所示。(1)收敛域a-1|z|，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题3.7)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0|z|a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题3.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。,(3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n

20、|，这是一个收敛的双边序列，如图3.5.1(a)所示。,图3.5.1,3.5.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将(3.5.2)式因式分解，得到,(3.5.4),式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响频率响应函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr 的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,在z平面上，ej-cr用一根由零点cr指向单位圆上ej点B的向量 表示，同样ej-dr用内极点指向ej点B的向量 表示，如图3.5.2所示。,和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用极坐标表,将 和 表示式代入(3.5.7)式

21、，得到,(3.5.8),(3.5.9),系统的传输特性或者信号的频率特性由(3.5.8)式和(3.5.9)式确定。当频率从零变化到2时，这些向量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，按照(3.5.8)式(3.5.9)式，分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例如图3.5.2表示了具有一个零点和二个极点的频率特性。,图3.5.2 频响的几何表示法,3.5.2 已知H(z)=z-1，分析其频率特性 解：由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性|H(e j)|=1,相位特性()=-，频响如图3.5.3所示。用几何方法也容易确定，当=0转到=2时，极点矢量的长度始终为1。由该例可以得到结论，处于原点处的零点或极点，由于零点矢量长度或者是极点矢量长度始终为1，因此原点处的零极点不影响系统的频率特性。,图3.5.3 H(z)=z-1的频响,