大学概率论二维正态分布.ppt

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1、第四章 正态分布,定义,记作,4.3 二维正态分布,4.3 二维正态分布,定理1,都有,证：,的边缘概率密度,分布，,4.3 二维正态分布,其中,设,则,由此可得，,同理，,4.3 二维正态分布,由定理1可知：,化为二次积分，得,4.3 二维正态分布,设,则得,其中,定理2,证：,4.3 二维正态分布,所以,定理3,独立的充要条件是,证：,必要性：,则,充分性：,则二维正态分布的联合密度可化为：,4.3 二维正态分布,所以,随机变量 与 相互独立.,例1,都服从标准正态分,布,解：,且已知,所以，,4.3 二维正态分布,4.3 二维正态分布,显然有,4.3 二维正态分布,1.二维正态分布的边缘

2、分布为正态分布：,若,则,且,4.3 二维正态分布,小 结,2.,则,思考题,已知,解：,已知,4.3 二维正态分布,第四章 正态分布,定理1,则,证：,的分布函数为,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,所以,定理1表明：,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,推论,则标准化的,随机变量,定理2,并且都服从正态分布：,则它们的和也服从正态分布，,且有,证：,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,其中,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,不难计算积分得,于是,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,定理2表明：,独立正态随机变量的和仍是正态随机变量.,定理3,且都,服从正态分布：,且有,4.4

3、 正态随机变量的线性函数的分布,由定理1及定理2 还可得下面更一般的结论.,则它们,思考题,标准差,试求随机,解：,且,所以,又因为随机变量,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,无实根的概率为,则,解：,即,按题意,有,即,已知,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,从而，,因为,所以应有,由此得,所以,1.,特别：,且,则,小 结,推广：,且,则,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,补充例题,的随机变量，,期望,设,由正态随机变量的线性性质知,解:,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,4.4 正态随机变量的线性函数的分布,所以，,第四章 正态分布,则怎么求和,的分布?,问题：能否利用极

4、限的方法进行近似处理？,在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布.,在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布,为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理.,4.5 中心极限定理,定理1（莱维定理）,并且数学期望和方差都存在：,4.5 中心极限定理,服从标准正态分布。,即它的分布函数,4.5 中心极限定理,满足,由莱维定理可得如下的近似公式：,设 独立同分布，,4.5 中心极限定理,推论,例1,解：,则,并且有,4.5 中心极限定理,计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立的随机变量,并且都在区间 上服从均匀分布,求300个数相加时误差总和的绝对值

5、小于10的概率.,于是所求的概率为,4.5 中心极限定理,定理2,（棣莫弗-拉普拉斯定理）,设在独立试验序列中，,事件 在各次试验中发生的,概率为,中发生的次数，,则有,其中,是任何实数，,4.5 中心极限定理,证：,的次数,则这些随机变量相互独立，,并且有数学期望及方差：,4.5 中心极限定理,由定理可以推知：,设在独立试验序列中，,事件,大时，,之间的概率为,其中,4.5 中心极限定理,4.5 中心极限定理,说明：,(1),当 充分大时，,在第二章中，,泊松分布是二项分布的极限分布，,且有近似计算公式,(2),现在由定理2知，,正态分布是二项分布的极限分布，,且有相应的近似计算公式.,两者应用场合不同:,逼近；,列维定理,棣莫弗-拉普拉斯定理,2 两个近似计算公式,(1),独立同分布，,4.5 中心极限定理,小 结,1 两个定理,4.5 中心极限定理,(2),其中,则,