多元函数微积分.ppt
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1、多元函数微积分,多元函数的极限与连续多元函数微分学隐函数定理及其应用含参量积分曲线积分重积分曲面积分,第16章 多元函数的极限与连续,1 平面点集与多元函数(了解平面点集的有关概念、平面上的完备性定理、多元函数的概念),一、平面点集,坐标平面,平面点集 E=(x,y)|(x,y)满足的条件,邻域 U(A,)=(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)22 U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,空心邻域 U0(A,)=(x,y)|0(x-x0)2+(y-y0)22U(A,)=(x,y)|x-x0|,|y-y0|,(x,y)(x0,y0),(一)下面利用邻域描述点和点集的关系,()内点
2、U(A)E,()外点 U(A)E=,()界点 U(A)E 且 U(A)EC,点AR2和点集ER2必有以下三种关系之一:,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,()聚点 U0(A)E,点A近旁是否有点集E中无穷多点构成另一种关系:,()孤立点 AE 且 U0(A)E=,练习1:,问A是E的内点?外点?,(1)设,问,(2)设,是,E的聚点?孤立点?,呢?,(二)一些重要的平面点集,闭集 E的所有聚点E,开域 连通的开集,闭域 开域连同边界,开集 intE=E,有界点集、无界点集,点集的直径,三角不等式,区域 开域、闭域,或开域连同部分边界,练习2:,则原点是K的 点,(1)设,孤立点、界
3、点,但不是聚;,圆周上的点是K的 点,界点、聚,但不属于K;,K,是开域、是闭域,有界集。,不,也不,是,(2)求下列平面点集的聚点集合,二、R2上的完备性定理,R2上的完备性定理是二元函数极限理论的基础。,为此,先给出平面点列的收敛性概念。,定义1 设,为平面点列,,为一固定点.,若,使当,时,有,则称点列,收敛于,记作,或,点列极限的两种等价形式:,定理16.1(柯西准则),平面点列,收敛的充要条件是:,使当,时,对一切,有,定理16.2(闭域套定理),设,是,中的闭域列,满足,则存在唯一的点,课堂练习:P92:1(1)(3)(6)作业:P92:1(7),3,5,定理16.3(聚点定理),
4、设,为有界无限点集,则,在,中至少有一个聚点。,推论,有界无限点列,必存在收敛子列,定理16.4(有限覆盖定理),设,为一有界闭域,,为一开域族,它覆盖了,(即,),则在,中必存在有限个开域,它们同样覆盖了,(即,)。,推广:,将定理16.4中的,改为有界闭集,而,为一族开集,此时定理依然成立。,三、二元函数,定义2 设平面点集,若按照某种对应法则,中每一点,都有唯一确定的实数,为定义在,上的二元函数,记作,为,与之对应,则称,的定义域,函数值,值域,自变量,因变量。,为方便计,二元函数也记作,或,便是二元函数,三维欧氏空间,中的点集,的图像。,例2,例3,例4,例5,若二元函数的值域是有界数
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