多元函数微分学的几何应用(IV).ppt

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1、,一、一元向量值函数及其导数,设空间曲线的方程,方程(1)也可以写成向量形式：,则方程(1)就成为向量方程,方程(2)确定了一个映射 f：,定义:,只讨论一元向量值函数,且n=3的情形，即r是三维,向量；并将一元向量值函数简称为向量值函数，普通,实值函数称为数量函数.,向量值函数 f 也可表示为,设向量r的起点在坐标原点O,终点在M处，,当t变化时，r跟着变化，,从而点M也随之改变.,终点M的轨迹,称为向量值函数的终端曲线,也称为,向量值函数的图形.,向量值函数的极限、连续、导数等定义和数量,函数的相应概念类似.,r,定义2 设函数,在点 的某邻域内有定义,存在,在点 处可导,并称此极限为,在

2、点 的导数.,记作:,即,则称函数,若,解：,设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,二、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,三、曲面的切平面与法线,由于曲线,在光滑曲面 上通过点 M 的任何曲线在点 M 处的切线都在同一平面

3、上.,两边对 t 求导,切向量,点,事实上,因,在曲面 上,的任意性,从而切平面存在.,量的同一平面上，,表明这些切线都在以,此平面称为曲面 在该点的切平面.,为法向,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,其中,法向量,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）,（求法向量的方向余弦时注意符号）,三、小结,思考题,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,作业,P100 3,8,