第2章控制系统的状态空间描述.ppt

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1、Ch.2 控制系统的状态空间模型,本章简介(1/2),本 章 简 介本章讨论动态系统的状态空间描述。主要介绍状态空间分析中状态空间模型的建立、状态空间模型的线性变换、MIMO的传递函数阵、组合系统的状态空间模型,以及离散时间动态系统的状态空间模型。本章最后介绍基于Matlab的控制模型的建立与变换问题的程序设计与计算。,本章简介(2/2),本章将力图让读者建立起状态、状态空间与状态空间变换的概念,掌握状态空间模型的建立方法,打下状态空间分析的基础。,目录(1/1),目 录概述2.1 状态和状态空间模型2.2 根据系统机理建立状态空间模型2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状

2、态空间模型的线性变换和约旦规范型2.5 传递函数阵2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结,概述(1/12),概 述控制理论主要是研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题。所谓动态系统(又称为动力学系统),抽象来说是指能储存输入信息(或能量)的系统。例如,含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统,含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能量的刚体力学系统,存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等。,概述(2/12),这类系统与静态系统(静力学系统)的区别在于:静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入,而动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加

3、。如,电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比,而电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比。,概述(3/12),在进行动态系统的分析和综合时,首先应建立该系统的数学模型,它是我们进行系统分析、预报、优化及控制系统设计的基础。在系统和控制科学领域内,数学模型是指能描述动态系统的动态特性的数学表达式,它包含数值型的和逻辑型的,线性的和非线性的,时变的和定常的,连续时间型的和离散时间型的,集中参数的和分布参数的等等。这种描述系统动态特性的数学表达式亦称为系统的动态方程。,概述(4/12),建立数学模型的主要方法有:机理分析建模。按照系统的实际结构,工作原理,并通过某些决定

4、系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社会和经济发展规律,以及各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。实验建模(系统辨识)。通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反映系统的动态行为的信息与数据,用数学归纳处理的方法来建立系统模型。,概述(5/12),值得指出的是,不同建模目的,采用不同数学工具和描述方式,以及对模型精度的不同要求,都会导致不同的数学模型。因此,一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述。例如,严格说来,大多数实际系统的动力学模型都具有非线性特性,而且系统是以分布参数的形式存在。若在建立数学模型中考虑这些复杂因素,必然将使所建立的模型中含有复杂的非线性微分方程或偏微分方程,这样

5、就给模型在系统分析、控制系统的设计和实现上带来相当大的困难性。在给定的容许误差范围内,如果将这些复杂因素用线性特性、集中参数的形式去近似描述系统,将大大简化系统模型的复杂程度,从而使所建立的模型能有效地运用到系统分析和控制系统设计等方面。,概述(6/12),当然过多考虑系统的各种复杂因素的简化和近似,也必然影响数学模型的精度,以及模型在分析、综合和控制中的应用效果。因此,一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程度作折中考虑,它是在忽略次要因素,在现实条件和可能下,在一定精度范围内的,尽可能抓住主要因素,并最终落脚于实际应用的目标、条件(工具)与环境的结果。模型并不是越精确越好、越复杂越好。,概

6、述(7/12),传递函数是经典控制理论中描述系统动态特性的主要数学模型,它适用于SISO线性定常系统,能便利地处理这一类系统的瞬态响应分析或频率法的分析和设计。但是,对于MIMO系统、时变系统和非线性系统,这种数学模型就无能为力。传递函数仅能反映系统输入与输出之间传递的线性动态特性,不能反映系统内部的动态变化特性。因而是一种对系统的外部动态特性的描述,这就使得它在实际应用中受到很大的限制。,概述(8/12),现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。在用状态空间法分析系统时,系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确

7、定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便地处理初始条件。因而,状态空间模型反映了系统动态行为的全部信息,是对系统行为的一种完全描述。,概述(9/12),状态空间分析法不仅适用于SISO线性定常系统,也适用于非线性系统、时变系统、MIMO系统以及随机系统等。因而,状态空间分析法适用范围广,对各种不同的系统,其数学表达形式简单而且统一。更突出的优点是,它能够方便地利用数字计算机进行运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制,从而显示了它的极大优越性。,概述(10/12),本章主要介绍机理建模、各种数学模型间的变换和状态空间(即状态空间模型)变换。,概述(11/12),本章需解决的问题与难点:基本概念

8、:状态、状态空间状态空间模型-状态空间模型及其意义如何建立状态空间模型由机理出发由微分方程出发由传递函数出发由系统结构图出发状态空间变换特征值、特征向量与特征空间状态空间变换,本章重点与难点,本章重点,本章重点,概述(12/12),传递函数阵组合系统的状态空间模型离散时间动态系统的状态空间描述,状态和状态空间模型(1/2),2.1 状态和状态空间模型系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。状态状态变量状态空间状态空间模型,状态和状态空间模型(2/2),本节主要内容为:状态空间的基本概念系统的状态空间模型线性

9、系统状态空间模型的结构图,状态空间的基本概念(1/1),2.1.1 状态空间的基本概念下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念,主要讲授内容为：系统的状态和状态变量系统的状态空间,系统的状态和状态变量(1/5),1.系统的状态和状态变量动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分重要。“状态”的定义如下。定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描述系统时间域动态行为的一个最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。,系统的状态和状态变量(2/5),“状态”

10、定义的三要素完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为。最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。减少变量,描述不全。增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。,要掌握喔!,系统的状态和状态变量(3/5),若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t),xn(t).若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:,图2

11、-1 多输入多输出系统示意图,系统的状态和状态变量(4/5),状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。,状态空间,系统的状态和状态变量(5/5),状态变量与输出变量的关系状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动态特性。因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律。可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投

12、影,一个子集。,输出空间,空间映射,x,y,系统的状态空间(1/1),2.系统的状态空间若以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。,随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。状态轨线如图2-2所示。,图2-2 二维空间的状态轨线,系统的状态空间模型(1/11),2.1.2 系统的状态空间模型状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模

13、型由描述系统的动态特性行为的状态方程和描述系统输出变量与状态变量间的变换关系的输出方程所组成。下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。,系统的状态空间模型(2/11),例 某电网络系统的模型如图2-3所示。试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。,解 1.根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的方程,图2-3 例2-3的RLC电网络系统,系统的状态空间模型(3/11),2.选择状态变量。状态变量的个数应为独立一阶

14、储能元件(如电感和电容)的个数。对本例x1(t)=iL,x2(t)=uC3.将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组-状态方程。每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。,系统的状态空间模型(4/11),对本例,经整理可得如下状态方程,写成向量与矩阵形式为：,4.列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。对本例,系统的状态空间模型(5/11),其中,5.将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间模型,系统的状态空间模型(6/11),由上述例子,可总结出状态空间模型的形式为,其中x为n维的状态向

15、量;u为r维的输入向量;y为m维的输出向量;A为nn维的系统矩阵;B为nr维的输入矩阵;C为mn维的输出矩阵;D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。,描述线性系统的主要状态空间模型,切记!,系统的状态空间模型(7/11),对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许

16、多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。,系统的状态空间模型(8/11),上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至非线性系统、时变系统。1.非线性时变系统,其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为如下n维和m维关于状态向量x、输入向量u和时间t的非线性向量函数f(x,u,t)=f1(x,u,t)f2(x,u,t)fn(x,u,t)g(x,u,t)=g1(x,u,t)g2(x,u,t)gm(x,u,t),系统的状态空间模型(9/11),2.非线性系统,其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量函数。这些非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不随时间变

17、化而变化。3.线性时变系统,其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。,系统的状态空间模型(10/11),4.线性定常系统,为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为(A(t),B(t),C(t),D(t).类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为(A,B,C,D).几种简记符的意义:,系统的状态空间模型(11/11),线性系统状态空间模型的结构图(1/5),2.1.3 线性系统状态空间模型的结构图线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。系统结构图主要有三种基本元件:积分器,

18、加法器,比例器,其表示符如图2-4所示。,线性系统状态空间模型的结构图(2/5),图2-4 系统结构图中的三种基本元件,线性系统状态空间模型的结构图(3/5),例 线性时变系统,的结构图如图2-5所示。,图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图,线性系统状态空间模型的结构图(4/5),若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各变量间的结构图。图2-6表示的是状态空间模型如下所示的双输入-双输出线性定常系统的结构图。,线性系统状态空间模型的结构图(5/5),图2-6 双输入双输出线性定常系统结构图,根据系统机理建立状态空间模型(

19、1/5),2.2 根据系统机理建立状态空间模型建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步,是控制理论和工程的基础.上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构成的电网络系统的状态空间模型的建立，其依据为各电气元件的物理机理及电网络分析方法.这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模.机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系,以及各环节、元件的各物理量之间的关系,如电感的电压和电流满足的动态关系.,根据系统机理建立状态空间模型(2/5),在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量(或信息)的能力。例如,机械动力学

20、系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递;化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递;化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息.对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建立系统的状态空间模型.,根据系统机理建立状态空间模型(3/5),建立动态系统数学模型的主要机理/依据有:电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电感和电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系.机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力与位移、速度间的关系.对旋转运动

21、,则相应的为转矩、角位移和角速度.化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系统中参加反应的物料的传递和平衡关系.经济系统中的投入产出方程。,根据系统机理建立状态空间模型(4/5),建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）,根据系统机理建立状态空间模型(5/5),下面通过常见的刚体力学系统、流体力学系统、典型化工(热工)过程 机电能量转换系统讨论如何建立状态空间模型.,刚体动力学系统(1/4),1.刚体动力学系统的状态空间描述图2

22、-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型.试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的状态空间模型.,刚体动力学系统(2/4),解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值。对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小车之前,小车已处于平衡态。下面仅考虑外力加入后,对小车运动的影响.系统的受力情况如下图所示.,2.选择状态变量.对机械动力学系统,常常将位移、速度等选作状态变量.对本例,有,刚体动力学系统(3/4),1.应根据系统的内部机理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所

23、满足的关系式.由牛顿第二定律有,刚体动力学系统(4/4),4.建立输出方程y=x15.经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型,3.将状态变量代入运动方程,流体动力学系统(1/5),2.流体力学系统的状态空间描述图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀门的开度不变,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别可视为常量R1和R2.图中Qi,Q1和Qo为流量;h1和h2为水槽的水面高度.试求输入为Qi,输出为h2时的状态空间模型.,流体动力学系统(2/5),下面在讨论本例的解之前,先简单总结一下如下流量与压力(压强)的关系.,解 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平

24、衡.下面仅考虑流量Qi的变化量Qi引起的水槽水位的变化.,压力,流量,电路,电压,电流,流体,压力(液位差),液体流量,气体,气压差(压强),气流量(风量),压力/流量,电阻,阀门阻力系数,风阻力系数,流体动力学系统(3/5),1.机理分析.根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力(水面高度,液位差)的关系,有,其中代表平衡工作点附近的变化量.将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有,流体动力学系统(4/5),2.选择状态变量.由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.对本例的流体动力学系统,可选水面高度的变化量h1和h2为状态变量,即x1(t)=h1(t),x2(t)=h2(t)3

25、.将状态变量代入上述水面高度变化量的动态方程,则有如下状态方程,流体动力学系统(5/5),4.建立输出方程y=x25.经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型,典型化工(热工)过程(1/5),3.典型化工(热工)过程的状态空间描述图2-9为一化学反应器,它是一均匀、连续流动单元,其中发生如下二级吸热反应,图2-9 某化工(热工)过程,2AB该化工反应生产过程为:温度为f(常量),含A物质浓度为CAf(常量)的料液以Q(t)的流量进入反应器;为保证单元内的液体体积不变,假定流出的流量亦为Q(t);,典型化工(热工)过程(2/5),为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为

26、q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为输出,建立状态空间模型。,典型化工(热工)过程(3/5),解 1.机理分析.在化学反应中,一般应保持热量和物料的平衡关系。因此,对整个反应器作热量和物料平衡,就有,其中V,CP分别为容器体积、比重和比热;k为反应速率常数;H为反应热。,典型化工(热工)过程(4/5),2.选择状态变量.显然,选择容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为状态变量是合理的。因此,令x1(t)=(t)x2(t)=CA(t)3.将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程,典型化工(热工)过程(5/5),上述状态空间

27、模型表示的是一个双输入双输出的非线性定常系统。,和输出方程,机电能量转换系统(1/5),4.机电系统的状态空间描述 图2-10表示某电枢控制的直流电动机,其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感,J为转动惯量,负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦.试列写以电枢电压u(t)为输入,轴的角位移(t)为输出的状态空间模型.,机电能量转换系统(2/5),解 1.设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区.按照图2-10所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程,其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced/dt,M=CMia其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量).,

28、机电能量转换系统(3/5),因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为,2.选择状态变量.对于本例,若已知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值,以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解.因此,可以选择状态变量如下,机电能量转换系统(4/5),3.将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程,4.建立输出方程y=x2,机电能量转换系统(5/5),5.经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型,根据系统机理建立状态空间模型-小结(1/3),本节小结由上述4个例子,可总结出由系统的物理机理建立状态空间模型的基本步骤为:Step 1.根据系统内部机理得到各物理量所满足的微

29、分方程.如:回路电压和节点电流方程,牛顿第二定律,热量和物料平衡关系,经济学中的投入产出方程等,还记得自动控制原理课中怎么写模型,根据系统机理建立状态空间模型-小结(2/3),Step 2.选择状态变量.一般状态变量的个数应为独立的一阶储能元件数,并将储能元件上的物理变量及各阶导数选为状态变量,如电网络中电容电压和电感电流,刚体力学系统中惯性体的位移和速度(或角位移和角速度),流体力学系统中流量和液面高度(容量、体积),化工系统中热量(或温度)和流量(或浓度)等物理变量作为状态变量,是较方便的.,写状态空间模型的关键喔,根据系统机理建立状态空间模型-小结(3/3),Step 3.将选择好的状态

30、变量代换Step 1得到的各微分方程组,整理得一阶微分方程组.Step 4.根据系统状态变量与输出变量得关系,建立输出方程.Step 5.整理规范的状态空间模型.基于上述机理建模方法对系统机理、结构和参数未知的系统可建立状态空间模型，但对于系统机理、结构和参数未知的系统,其状态空间模型的建立,通常只能通过辨识的途径,即用实验建模的方法,通过对系统所作试验而得到的输入输出数据,用统计的方法确定其数学模型。,根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1/2),2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分

31、别建立系统的状态空间模型。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。,根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2),本节的内容为：由高阶常微分方程建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型多输入多输出线性系统非线性系统,由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1),2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论由不含输入量导数项和由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。本节关键问题:如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变,

32、关键喔!,微分方程中不包含输入量的导数项(1/9),1.微分方程中不包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为y(n)+a1y(n-1)+any=bu其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型,本节问题的关键是如何选择状态变量。,微分方程中不包含输入量的导数项(2/9),由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时

33、的动态都被唯一确定。因此,选择状态变量为如下相变量x1(t)=y(t),x2(t)=y(t),xn(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。,微分方程中不包含输入量的导数项(3/9),将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程,和输出方程y=x1,微分方程中不包含输入量的导数项(4/9),将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有,微分方程中不包含输入量的导数项(5/9),该状态空间模型可简记为:,其中,微分方程中不包含输入量的导数项(6/9),上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(

34、2-6)中的系数a1,a2,an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数b之间的对应关系。通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中可以看到。,微分方程中不包含输入量的导数项(7/9),上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示,微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1,例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”

35、+6y”+11y+6y=6u解 本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下,微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1,其系统结构图如下所示,微分方程中包含输入量的导数项(1/11),2.微分方程中包含输入量的导数项描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型,建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?,微分方程

36、中包含输入量的导数项(2/11),若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1(t)=y(t),x2(t)=y(t),xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程,根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。,微分方程中包含输入量的导数项(3/11),为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶

37、导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。,微分方程中包含输入量的导数项(4/11),根据上述原则,选择状态变量如下,其中i(i=0,1,n)为待定系数。,微分方程中包含输入量的导数项(5/11),因此,有,微分方程中包含输入量的导数项(6/11),若待定系数i(i=0,1,n)满足如下关系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20n=bn-a1n-1-an0即i(i=0,1,n)满足如下方程组,微分方程中包含输入量的导数项(7/11),则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型,微分方程中包含输入量的导数项(8/1

38、1),上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示,微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2,例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24u解 本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20=43=b3-a12-a21-a30=-12,微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2,因此,当选择状态变量如下时,即得系统的状态空间模型为,微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例2-2,其系统结构图如下所示,由传递函数建立状态空间模

39、型(1/6),2.3.2 由传递函数建立状态空间模型下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。关键问题:1.如何选择状态变量2.保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变,喔,关键!,线性定常微分方程,由传递函数建立状态空间模型(2/6),由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。,传递函数,第一章第三节方法,第一章第四节方法,建立状态空间模型方法,对线性定常系统拉氏变换,由传递函数建

40、立状态空间模型(3/6),实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有理传递函数。本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数,由传递函数建立状态空间模型(4/6),对上述传递函数,由长除法,有,其中,由传递函数建立状态空间模型(5/6),本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即,

41、由传递函数建立状态空间模型(6/6),下面分传递函数极点互异和有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。,传递函数中极点互异时的变换(1/8),1.传递函数中极点互异时的变换对于传递函数G(s),其特征方程为sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解,其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为,自己推导一下,行吗?,传递函数中极点互异时的变换(2/8),下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。将G(s)的乘以s-s1,有,因此,由于特征根s1,s2,sn互异，有,下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模

42、型。,第2项将s1代入为0。,传递函数中极点互异时的变换(3/8),考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足,因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足,则,经反变换可得系统状态方程为,传递函数中极点互异时的变换(4/8),相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxn整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型,传递函数中极点互异时的变换(5/8),上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为对角线矩阵。,系统矩阵A具有上述对角线形式的状态空间

43、模型即为下一节将详细讨论的所谓对角线规范形。事实上,由式(2-23)和状态空间模型(2-26)可知,对角线规范形其实是将系统转换为n个一阶子系统(惯性环节)的并联,如右图所示。,图2-11 对角线规范形的结构图,传递函数中极点互异时的变换(6/8)-例2-3,例2-3 用部分分式法将例2-1中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型,传递函数中极点互异时的变换(7/8),解 由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1 s2=-2 s3=-3于是有,其中,传递函数中极点互异时的变换(8/8),故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态

44、空间模型,将上述结果与例2-1的结果相比较可知,即使对同一个系统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模型。即,状态空间模型不具有唯一性。,传递函数中有重极点时的变换(1/13),2.传递函数中有重极点时的变换当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式,的情况,亦得不到如式(2-26)所示的状态方程。不失一般性,为清楚地叙述变换方法,以下设系统特征方程有6个根,其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1为3重极点,s2为2重极点。相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为,传递函数中有重极点时的变换(2/13),其中kij为待定系数,其计算公式为,会推导吗?

45、尝试一下,其中l为极点si的重数。,传递函数中有重极点时的变换(3/13),下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明kij的计算式将G(s)的乘以(s-s1)3,有,第2项将s1代入为0。,对等式两边求2次导数后,因此，有,传递函数中有重极点时的变换(4/13),下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。如何选择状态变量?考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足,传递函数中有重极点时的变换(5/13),选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足,则有,传递函数中有重极点时的变换(6/13),即有,则经反变换可得系统状态方程为,传递函数中有重极点时的变换(7/13),相应地,系统输出

46、y(t)的拉氏变换为Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)经拉氏反变换可得如下输出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6,传递函数中有重极点时的变换(8/13),因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型,传递函数中有重极点时的变换(9/13),上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为块对角矩阵,且每个矩阵方块为只有一个重特征值的特定矩阵块(约旦块)。系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓约旦规范形。事实上,约旦规范形

47、是将系统转换为多个子系统(惯性环节)的串-并联。如下图所示。,传递函数中有重极点时的变换(10/13),传递函数中有重极点时的变换(11/13)-例2-4,例2-4 用部分分式法将例2-2中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型,传递函数中有重极点时的变换(12/13),解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有,其中,传递函数中有重极点时的变换(13/13),故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型,将上述结果与例2-2的结果相比较可知,可再次验证“状态空间模型不具有唯一性”。,多输

48、入多输出线性系统(1/5),2.3.3 多输入多输出线性系统下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。设描述系统的微分方程为,同SISO系统一样,该系统的实现也是非唯一的。下面采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。,多输入多输出线性系统(2/5),因此,该系统的方程也可表示为,对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。为此,有,多输入多输出线性系统(3/5),故可得模拟结构图,如图2-13所示。,图2-13 系统模拟结构图,多输入多输出线性系统(4/5),取每个积分器的输出为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33

49、)的一种状态空间实现为,相应地输出方程为,多输入多输出线性系统(5/5),因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为,非线性系统(1/10),2.3.4 非线性系统倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统,经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处,因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途,人们对倒立摆控制的研究也越来越感兴趣。下面通过一个一级倒立摆的例子,来简述对非线性系统来说,如何通过描述其动力学模型的常微分方程建立状态空间模型。,非线性系统(2/10),图2-14为某一级倒立摆结构示

50、意图。,图2-14 一级倒立摆示意图,非线性系统(3/10),图中所示的带轮小车可以前后移动来平衡一根杆,此杆由其底部的一个支点来支撑。该系统中还有一个电机,一根连接电机与小车的皮带和一些滑轮。,还有一些传感器,用来测量小车的速度、位置、杆底部与铅垂线所成的角度及其微分。其控制任务是由电机通过皮带施加合适的力f给小车从而使杆不倒,并使小车不超过左右边界。一级倒立摆有两个运动自由度,一个沿水平方向运动,另一个绕轴转动。,非线性系统(4/10),解 通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导,且忽略交流电机的动特性并且假设交流电机由u到f的静态增益为1,得到倒立摆系统的动力学描述如下:,其中c是小车与导