各种积分之间的联系.ppt
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1、2023/9/24,1,新课引入,2023/9/24,2,2023/9/24,3,二、高斯公式(不讲),三、斯托克斯公式(不讲),四、格林公式高斯公式 斯托克斯公式之间的关系(不讲),五、小结与思考练习,一、格林公式,9.5 各类积分之间的关系,2023/9/24,4,一、格林公式,1.区域连通性的分类,设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复(多)连通区域.,复连通区域,单连通区域,2023/9/24,5,2、格林公式,2023/9/24,6,(1)D可以是单连通区域也可以是复连通区域。,(2)边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总
2、在他的左边.,2023/9/24,7,G,F,2023/9/24,8,证明:(1),2023/9/24,9,同理可证,牛顿-莱布尼兹公式,2023/9/24,10,证明(2),两式相加得,2023/9/24,11,2023/9/24,12,G,F,证明(3),由(2)知,2023/9/24,13,2023/9/24,14,(1)计算平面面积,3、格林公式的应用举例,2023/9/24,15,例1 求椭圆,解:,2023/9/24,16,形的面积(图21-17).,2023/9/24,17,(2)简化二重积分,2023/9/24,18,2023/9/24,19,(3)简化曲线积分,2023/9/
3、24,20,2023/9/24,21,2023/9/24,22,2023/9/24,23,解:,2023/9/24,24,(注意格林公式的条件),2023/9/24,25,二、高斯公式,(Gauss Formula),2023/9/24,26,证明:,取下侧,取上侧,2023/9/24,27,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法,2023/9/24,28,同理,2023/9/24,29,-高斯公式,合并以上三式得:,由两类曲面积分之间的关系知,Gauss公式的实质,表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,2023/9/24,30,2023/9/24,31,于是得
4、到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体,积的公式:,2023/9/24,32,例7.计算,其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧.,解 应用高斯公式,2023/9/24,33,于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体,积的公式:,2023/9/24,34,例8,2023/9/24,35,例9略.,计算,所围的空间区域的表面,方向取外侧.,解,其中 S 为锥面,与平面,2023/9/24,36,2023/9/24,37,P203例4,2023/9/24,38,设 S1 为上半球体的底面,,例10.,计算,的外侧.,解,其中 S 是上半球面,取下侧.,于是,P204作业题2(4
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