初等函数的周期性.ppt

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1、初等函数的性质-周期性,四、函数的周期性,定义12：设f(u)是定义在数集D上的函数，如果存在不为0的常数T，对任何xD都有xTD，且f(x+T)=f(x)总能成立，则称f(x)为周期函数。若T为f(u)的一个周期，则nT(n是非零整数）也是f(u)的一个周期。,例讲,例1 证明y=sinnx(n是自然数）是周期函数。思路：找到一个周期T，然后加以验证。例2 用反证法证明函数y=xcosx不是周期函数。证明思路：假定它是周期函数，令一个正周期为T，则由定义，通过若干次取特殊值，推出矛盾。类题：证明下列函数不是周期函数：1.f(x)=xsinx2.f(x)=sinx2；f(x)=cosx2。3.

2、f(x)=cosx;f(x)=sinx。,最小正周期有关问题,最小正周期如果函数f(x)具有最小正周期T0，则f(x)的任一正周期T一定是T0的正整数倍。例2 设函数f(x)=sinnx的最小正周期为T。试证：当n为奇数时T=2；当n为偶数时T=。,思路1：求出全部周期；思路2：先说T是周期，再用反证法说明比T小的正数均不为其周期。,复合函数的周期性1,定理7 设u=g(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正周期为T。如果f(u)是定义在集合E上的函数，且当xD时，g(x)E，则复合函数fg(x)是集合D上以T为周期的周期函数。注意：fg(x)和g(x)的最小正周期未必相同。fg(x)的最小

3、正周期不大于g(x)的最小正周期。例如y=cos2x。但如果f(u)在E上严格单调，则fg(x)也有最小正周期T。注意：复合函数的内外,复合函数的周期性2,定理 设y=f(x)是定义在集合D上的周期函数，其最小正周期为T。则有（1）函数kf(x)+c(k,c为常数且k0)仍然是D上的周期函数，且最小正周期仍为T。（2）函数k/f(x)(k为非0常数)是在集合x|f(x)0,xD上的周期函数，最小正周期仍为T。(3)f(ax+b)是(a0,ax+bD)是以T/|a|为最小正周期的周期函数。,函数运算后的周期性,定理8：函数f1(x),f2(x)都是定义在集合D上的周期函数，且周期分别为T1,T2

4、，若T1/T2为有理数，则它们的和与积f1(x)+f2(x)；f1(x)f2(x)也是D上的周期函数，T1与T2的公倍数是它们的和与积的一个周期。f1(x)-f2(x)；f1(x)/f2(x)也有类似的结论。利用数学归纳法，可把该定理推广到任意有限个函数的情形。例 讨论函数y=cosx+sinxtg2x/3的周期性。,周期函数运算后的周期性,定理8的加强：如果把f1(x)与f2(x)限定为集合D上的连续周期函数，T1和T2分别是它们的最小正周期，则f1(x)+f2(x)；f1(x)f2(x)是周期函数的充要条件是T1/T2为有理数。据此可以判断sinx+sinx是非周期函数。上述必要性证明，用

5、初等方法可证如下命题：对于正、余弦（切）函数f1(a1x)=sina1x或cosa1x，f2(a2x)=sina2x或cosa2x，则f1(a1x)与f2(a2x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2为有理数。,一些特殊的函数方程的周期性,（1）如果下列条件之一满足，则函数y=f(x)是以2(0)为它的一个周期的周期函数：f(x+)=-f(x)；f(x+)=1/f(x)；f(x+)=(-1)/f(x)（2）如果下列条件之一满足，则函数y=f(x)是以4(0)为它的一个周期的周期函数：f(x+)=(1-f(x)/(1+f(x)；f(x+)=(1+f(x)/(1-f(x)注 上述周期函数的

6、充分条件的论证，可通过计算直接推得.,函数图像的对称性与周期性的联系,1、两点中心对称若函数y=f(x)(xR)的图像关于两点A(a,c)和B(b,c)(ab)都中心对称，则函数y=f(x)是以2|a-b|为它的一个周期的周期函数.2、点与轴对称若函数y=f(x)(xR)的图像关于点A(a,c)对称且关于直线x=b(ab)轴对称，则函数y=f(x)是以4|a-b|为它的一个周期的周期函数.3、两轴对称若函数y=f(x)(xR)的图像关于两直线x=a与x=b(ab)都对称，则函数y=f(x)是以2|a-b|为它的一个周期的周期函数.,判断一些函数不是周期函数的几个结论,1.若函数f(x)不是常数

7、函数，且limf(x)=A(x,A为某常数)，则f(x)不是周期函数。如f(x)=x(sin1/x+tg1/x)，f(x)=sinx/x；2.在有限区间上函数f(x)有界，且存在数列xn，使得limf(xn)=(n+，则f(x)不是周期函数。如f(x)=xsinx.,关于最小正周期,在什么条件下，周期函数必有最小正周期呢？如果f(x)是定义在数集A上的非常数的周期函数，且在某点x0连续，则f(x)有最小正周期。注意：连续性只是最小正周期存在的充分条件，而非必要条件。举例说明：具有最小正周期的处处不连续的函数。,*例、判断下述命题是否成立：“已知T1、T2分别是f(x)、g(x)的最小正周期，则T1、T2的最小公倍数是f(x)+g(x)的最小正周期”。,