初中数学思想方法例说(演示).ppt

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1、初中数学思想方法例说,湖北大学数学与统计学学院 刘 芸,数学眼光，使我们看到世间万物充满着带有数学印记的奇妙的科学规律，看到各类书籍和文章的字里行间有着数学的踪迹，满眼都是绚丽多彩的数学景象！数学史话，充满了诱人的前辈们的创造或再创造的心血机智，使人获得明智的丰富营养！数学应用，给我们展示了数学的神通广大，在各个领域和角落都闪烁着人类智慧的光芒！数学思想使我们领悟到数学是用字母和符号谱写的高亢歌曲，犹似协奏曲一样充满着和谐的旋律，让人难以忘怀！数学方法，像画卷一样描绘着各个学科的异草奇葩的景色，令人目不暇接！,数学思想方法的认识,初中数学中常用的数学思想方法,进行数学思想方法教学的建议,初中数

2、学思想方法例说,从教学内容中提炼数学思想的案例,1 数学思想方法的认识,学习数学不仅要学习它的知识内容,而且要学习它的精神、思想和方法.掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解与记忆,领会数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”.,1.1 数学思想方法是中学数学的一项基础知识,数学思想方法的认识,数学教学大纲,1992年,在教学目的中规定:“初中数学的基础知识是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法.”,课程标准（实验稿）,2001年,在课程目标的开头就明确要求:“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动的经

3、验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”.,课程标准（2011年版）,2011年,在课程目标的开头就明确要求:“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.,1.1 数学思想方法是中学数学的一项基础知识,数学教育的根本目的是教会学生学会数学化 弗莱登塔尔就是让学生学会 用数学的眼光观察问题；用数学的思考分析问题；用数学的语言表述问题；用数学的方法解决问题！知识是基础，知识是载体，与知识同行时，观点、思维、思想、方法必得蕴含其中！,1.1 数学思想方法是中学数学的一项基础知识,全日制义务教育数学课程标准（2011版）,在课程目标的开头就明确要求:“

4、获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.,1.1 数学思想方法是中学数学的一项基础知识,在课程内容中指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。,在“感悟数学思想，积累数学活动经验”一节中指出：数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。

5、,数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识,它蕴涵于具体的内容与方法之中,又经过了提炼与概括,成为理性认识.它直接支配数学教学的实践活动,数学概念的掌握、数学理论的建立、解题方法的运用、具体问题的解决,无一不是数学思想方法的体现和应用.,1 数学思想方法的认识,1.2 数学思想的内涵,双击添加标题文字,数学思想方法,思想是其相应内容方法的精神实质,当人们评价其在数学体系中的价值和意义时,称之为思想,当用“数学思想”这个词时,更多的是从知识内容的角度上说的,它体现为数学的理论;,方法是实现有关思想的策略方式,同一个数学成就,当人们用于解决问题时,称之为方法,当用“数学方法”这个词时

6、,更多的是从实施策略的角度上说的,它联系着数学的行为.,数学思想,数学方法,1.2 数学思想的内涵,1.2 数学思想的内涵,普适的科学方法注意数学的角度,1.2 数学思想的内涵,从初中数学教材结构以及数学学习过程看,化归,结构化,模型化,公理化,数形结合,极限,变换群划分几何学,抽样与统计,函数与方程,分类讨论,集合与对应,代数变形方法,几何证明方法,数学推理方法,换元法、整体代入法,几何变换、截长补短,第一层次,演绎法、类比法,坐标法、向量法,降维、降次、消元,第二层次,符号化,数学思想方法的认识,初中数学中常用的数学思想方法,进行数学思想方法教学的建议,初中数学思想方法例说,从教学内容中提

7、炼数学思想的案例,转换化归的思想方法,（6）,2 初中数学常用的数学思想方法,初中数学中常用的数学思想方法,2 初中数学常用的数学思想方法,观察 是指人们为了认识事物的本质和规律，通过感觉器官或同时借助于一定的科学仪器，有目的、有计划地感知和描述各种自然现象的一种方法。数学观察方法，就是有意识地对事物的数和形的特点进行感知活动，即对符号、字母、数字或文字所表示的数学关系式、命题、几何图形的结构特点进行的察看的方法。数学观察的角度：对象的数量关系、空间形式以及结构,初中数学中常用的数学思想方法,2 初中数学常用的数学思想方法,进行观察要注意三点：一是要有意识、有目标；二是要有基础，有必要的相关知

8、识；三是要有方法，要能抓住要领，尤其是能从个别中想到一般，从平常中发现异常.数学观察的角度：对象的数量关系和空间形式,初中数学中常用的数学思想方法,2 初中数学常用的数学思想方法,课程标准（2011年版）在在实施建议中指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。,初中数学中常用的数学思

9、想方法,数学观察方法所涉及的教学内容,（1）,2 初中数学常用的数学思想方法,概念、原理的形成过程；在实验、操作活动与理论建立之间要引导学生观察、分析、归纳、概括，最后抽象出数学理论；1.1 正数和负数 11.1 变量与函数1.2 有理数 11.3 用函数观点看方程与不等式3.1 多姿多彩的图形 12.12 数据的描述5.12 相交线与平行线 14.1 轴对称7.2 与三角形有关的角 20.1 2 数据的分析.,初中数学中常用的数学思想方法,2 初中数学常用的数学思想方法,符号化与变元表示的思想,（2）,抽象化,使用符号化语言和在其中引进“变元”是数学科学高度抽象性的要求.(ab)2a22ab

10、b2.,用含有变元的符号组合来表示一般规律和规则，是从作为经验科学的“算学”进到作为理论科学是“数学”的第一个标志.,用符号和变元表示有关对象关系，具有简洁明确的优点，增大了学习密度和思维容量，有时一些抽象的符号还具有“思维的直观”,去经验,简明直观,初中数学中常用的数学思想方法,符号化与变元表示思想是指将所研究的对象进行抽象，并用数学符号、变元加以表述，用数学符号、变元表示任意具有一定通性的“量”及运算，用数学符号、变元来表示一般规律、规则，通过对“量”的研究理解其应用规律、规则来解决问题的一种思想.符号化与变元表示思想为数学的形式化创造了条件；体现了数学抽象化的特征，是数学思想的基础.,2

11、 初中数学常用的数学思想方法,符号化与变元表示的思想,（2）,初中数学中常用的数学思想方法,课标指出：在数学课程中应当注重发展学生的符号意识.符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,2 初中数学常用的数学思想方法,符号化与变元表示的思想课标要求,（2）,初中数学中常用的数学思想方法,第一章 有理数知道a、的含义；理解有理数的运算律：第二章 整式的加减借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义：联系实例解释3a的意义.第三章 一元一次方

12、程会用字母表示未知数，并根据相等关系列出方程，求出未知数.理解方程axb0中各个字母的含义，.,2 初中数学常用的数学思想方法,符号化与变元表示的思想所涉及的教学内容,（2）,初中数学中常用的数学思想方法,方程思想就是突出已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数，列方程（组），解方程（组）达到求出未知量，并将所求得的未知量转换为问题的解答的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.函数思想就是运用联系、变化的观点，建立各个变量之间是依存（函数）关系，通过对函数有关性质的研究及其解释达到问题的解决的思想方法.,2 初中数学常用的数学思想方法,初中数学中常用的数学思想方法

13、,能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,2 初中数学常用的数学思想方法,函数与方程的思想方法课标要求,（3）,能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系,结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.,初中数学中常用的数学思想方法,2.1 从算式到方程 2.4 再探实际问题与一元一次方程 9.2 再探实际问题与一元一次不等式 9.4 课题学习利用不等关系分析比赛11.1 变量与函数11.3 用函数观点看方程（组）与不等式17.2 再探实际问题与反比例函数22.3 再探实际问题与一元二次方程26.2 用函数观点看一元二次方程26.3 再探

14、实际问题与二次函数,2 初中数学常用的数学思想方法,函数与方程的思想方法所涉及的教学内容,（3）,初中数学中常用的数学思想方法,数形结合思想是通过数形间的对应于互助来研究问题问题并解决问题的思想.运用数形结合思想处理问题，就是在处理问题时，斟酌问题的具体情形，使图形性质问题借助数量关系的推演而具体量化，或者使数量关系的问题借助几何图形直观而形象化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，将抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化.,2 初中数学常用的数学思想方法,形几何图形形象思维,数代数对象抽象思维,以形助数,以数助形,初中数学中常用的数学思想方法,几何直观主要是指

15、利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。借助数轴理解相反数和绝对值的意义了解数学公式的几何背景,2 初中数学常用的数学思想方法,数形结合的思想方法课标要求,（4）,初中数学中常用的数学思想方法,1.2 有理数（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理 数，能比较有理数的大小。（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义.7.2 与三角形有关的角（三角形内角和定理的证明）15.3 乘法公式能推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(ab)2=a 22

16、ab+b 2，了解公式的几何背景11.3 用函数观点看方程（组）与不等式 18.1 勾股定理,2 初中数学常用的数学思想方法,数形结合的思想方法所涉及的教学内容,（4）,初中数学中常用的数学思想方法,2 初中数学常用的数学思想方法,定义,分类讨论即对于比较复杂或不确定的问题，可以将它所涉及的对象的全体划分为若干两两不相交的部分，然后再逐一求解或论证，从而解决原问题的方法称为分类讨论.,原则,科学的分类 一个是标准的统一，再一个是不重不漏.通常应从所研究的问题出发，选取恰当的标准，然后根据对象的属性，把它们不重复不遗漏地划分为若干类别.,作用,分类讨论 划分只是手段，分类研究才是目的.既可以将复

17、杂的问题分解成若干个简单的问题，而且恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学素养。,初中数学中常用的数学思想方法,分类讨论的方法课标要求,（5）,2 初中数学常用的数学思想方法,在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决新的数学问题。,初中数学中常用的数学思想方法,1

18、.2 有理数（绝对值的代数意义）11.2 一次函数（能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式 y=kx+b(k0)探索并理解k0和k0时，图象的变化情况。）17.1 反比例函数（能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式 y=(k0)探索并理解k0和k0时，图象的变化情况。）22.2 一元二次方程的解法（会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。）26.1 二次函数（会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴）19.2 特殊的平行四边形（理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们

19、之间的关系）.,分类讨论的方法所涉及的教学内容,（5）,2 初中数学常用的数学思想方法,初中数学中常用的数学思想方法,在对问题作细致观察的基础之上，展开丰富的联想，以求唤起对有关就知识的回忆，开启思维的大门，顺利地借助已有知识、经验来处理面临的新问题，这种思想方法称之为化归思想方法.化归思想的实质是通过事物内部的联系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范化（熟悉或易于处理），即将待处理的问题转变为规范问题，从而使原问题得到解决.简言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化.化归思想包括三个要素：化归对象、化归目标和化归的方式方法.解方程：,2 初中数学常用的数学思想方法,转换化归的思想方法,（6）,初

20、中数学中常用的数学思想方法,中学数学研究的方式方法就是重点研究最基本的、最简单的，形成模式，再将复合的、复杂的形式或问题转化为 已有的模式进行解决.1.2 有理数（绝对值的代数意义）7.3 多边形及其内角和 8.2 消元（将多元方程组通过消元化为一元方程）10.13 实数16.3 分式方程22.2 降次一元二次方程的解法.,2 初中数学常用的数学思想方法,转换化归的思想方法所涉及的教学内容,（6）,初中数学中常用的数学思想方法,转换化归的思想方法,（6）,2 初中数学常用的数学思想方法,初中数学中常用的数学思想方法,数学思想方法的认识,初中数学中常用的数学思想方法,进行数学思想方法教学的建议,

21、初中数学思想方法例说,从教学内容中提炼数学思想的案例,例1 勾股定理所蕴含的数学思想 1.勾股定理的内容及其教育价值是什么?（1）勾股定理的内容从代数角度叙述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2.从几何角度叙述：以直角三角 形斜边为边的正方形的面积等 于以直角三角形两直角边为边 的正方形的面积和（如图1）,从教学内容中提炼数学思想的案例,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,1.勾股定理的内容及其教育价值是什么?（2）定理的地位与作用勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系它与(欧氏)几何 中的许多数学命题有着密切的联系,

22、是几何的基本定理之一.陈省身教授认为它是几何的两个最主要的定理之一勾股定理是初中平面几何中有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理及其逆定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，其在现实生活中也具有普遍的应用性,1.勾股定理的内容及其教育价值是什么?（3）定理在数学史上的意义 1）它的证明是论证数学的发端；2）它是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何和代数联系起来的定理；3）它导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；4）它是历史上第一个给出了完全解答的不定方程，引出

23、了费马大定理；5）它是欧式几何的基础定理，并有巨大的实用价值,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,1.勾股定理的内容及其教育价值是什么?（4）勾股定理的教育价值 1）在勾股定理的发现、验证中蕴含着丰富的思维材料，是发展学生探究能力不可多得的素材.通过让学生经历勾股定理的探索和证明过程，有助于丰富学生的数学活动经验：探究图形的基本元素之间的关系、多角度探究几何结构、经历几何推理过程，体验数形结合的思想方法；有助于学生获得更多的数学工具去探索和了解我们生存的空间；有助于发展学生的推理能力，理解证明的意义和过程，体会推理和证明的力量,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,1.勾股定理的内容及其教育价值是什么?

24、（4）勾股定理的教育价值 1）在勾股定理的发现、验证中蕴含着丰富的思维材料，是发展学生探究能力不可多得的素材.2）勾股定理具有几何和代数的双重特征，是几何与代数的桥梁，通过对勾股定理的证明变换法(拼图法)的学习，有助于学生感受运动和变换 3）勾股定理的发现、验证及应用的过程蕴涵了丰富的文化价值，通过让学生了解勾股定理的历史、人类对它的研究、它的广泛应用等，有助于激发学生的学习兴趣和自豪感，并体会它的重大意义和文化价值,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,2.勾股定理与其他数学内容的联系,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,勾股定理,无理数,方程,三角形,三角函数,四边形,圆,立体几何,解析几何,向量,

25、3.学生在学习勾股定理时可能出现的困难（1）勾股定理教学处于学生数学思维转折阶段；（2）让学生能够在思路上比较“自然地”想到证明方法是困难的；（3）让学生“再发现”勾股定理更是难上加难,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,4.帮助学生学会勾股定理的教学策略 教科书提供的探究(发现)勾股定理的教学方法有两种：（1）让学生测量直角三角形三条边的长，让学生猜想三条边长之间的数量关系；（2）利用如下方格纸(图2、图3)进行探究,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,怎样得到正方形C的面积？与同伴交流交流,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,对于正方形A和正方形B的面积，学生很容易求得，而正方形C的面积通过数格子不能

26、直接得出，但可采取“割补”的方法求得.,这里的“红线”隐含着进行“割补”的拼图方法！从特殊情况的分析中归纳得到解决一般情况的方法.,证明勾股定理的策略（1）采取直接告诉的策略.这种方法虽然能够让学生知道勾股定理的各种证明方法，但是却失去了培养学生思维能力的良好契机（2）准备四个全等的直角三角形，让学生用这四个直角三角形进行拼图，拼成含有至少一个正方形的正方形有一定的难度.（3）由乘法公式联想图形变换；两个正方形的面积与三角形的面积之间有何关系？转换为a2b2与ab之间有什么关系乘法公式！（4）拼图证法.,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,传播数学文化的策略（1）引入课题时简介；（2）在证明中穿插

27、；（3）利用多媒体，图文并茂地介绍；（4）借助互联网，让学生查阅资料，并在课堂上交流分享.,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,感悟数学思想方法的策略（1）创设情景，提出问题问题解决，数学建模；（2）由“数”到“形”联想、数感和图感；（3）分析特例（等腰直角三角形网格中的直角三角形一般直角三角形）从特殊到一般的探究及归纳方法；（4）拼图、说理、证明数形结合，数学表述；（5）定理应用数学应用意识,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,赵爽弦图,我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.一组经典的勾股数：3，4，5,刘徽“青朱出入图”,国际数学家大会会徽（200

28、2.08）,史话勾股 提升情商,在西方，多将勾股定理称为 毕达哥拉斯定理。,史话勾股 提升情商,欧几里得,欧几里得的证明原图,史话勾股 提升情商,美丽的勾股树,勾股定理（初中）的教学中，（1）我们应该教些什么？（2）采取哪些方法可能实现我们的愿景？（3）拼图实验在这个学习过程中的作用是什么？,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,课堂交流与分享,勾股定理（初中）的教学中，（1）教 勾股定理、几组勾股数，勾股图；证明方法及其思路，由“式”到“形”的联想、从特殊到一般的探究 传播数学文化，感悟数学思想，体味人类文明成果，激发学习动机.（2）采取 故事或问题导入法，激发兴趣，唤醒原有的认知；从特殊到一般的

29、探究和归纳方法；拼图实验，网络收集，交流分享；注意从拼图到推理论证的提升.（3）拼图实验在这个学习过程中的作用只是辅助手段起着直观感受 的作用，决不可轻视拼图后的说理.,例1 勾股定理所蕴含的数学思想,课堂交流与分享,例2 14.3-2 用函数观点看一元一次不等式,从教学内容中提炼数学思想的案例,例2 用函数观点看一元一次不等式,看下面两个问题有什么关系：（1）解不等式5x+63x+10.（2）自变量x取何值时函数y2x4的值大于0？,由于任何一元一次不等式都可以转化为axb0（或0，其中a，b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（或小）于0时，求自变量的取值范围

30、.,从“数”的角度 建立一次函数与一元一次不等式之间的联系.,仅有联系还不够,从函数的观点看,从“形”的角度 建立一次函数与一元一次不等式之间的联系.,用画函数图象的方法解不等式 5x+63x+10.,在这节课的学习中，学生普遍对以下几个地方感到困惑：（1）如何看待问题1与问题2之间的联系？即从“数”的角度来看不等式和函数之间的关系？（2）如何通过观察函数图象，从“形”的角度来看不等式和函数之间的关系？（3）用函数的观点来看不等式有什么优越性？,例2 用函数观点看一元一次不等式,像形如5x+42x+10这样的题目,利用不等式的性质来求解，很好解决，为什么还要用画函数图象的方法来考虑？这样的思考

31、方式有什么好处？,例2 用函数观点看一元一次不等式,题 1 根据下列一次函数的图（图 1），你能求出哪些不等式解集？并直接写出相应不等式的解集。,添加例子，感悟图象法的优点.,题 3 如图是函数y=x4-5x2+4 的图象，则不等式 x4-5x2+40 的解集是什么？,题2 某单位急需用车，但又不准备买车。他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶 x 千米，个体车主收费y1 元，国营出租车公司收费为y2 元，y1、y2 与 x 之间的函数关系如图2所示。（1）观察下列图象并选择合算的租车对象；（2）如果这个单位估计每月行驶路程为2700km，应如何选择租车对

32、象才能更合算？,例2 用函数观点看一元一次不等式,课题“一元一次函数与一元一次方程”与“勾股定理”相比，从知识到方法前者远没有后者丰富、精彩，很多教师感觉没有讲头，如何从这个平淡的课题中发掘一些有意思的材料，让师生都感觉有滋有味？让学生体验数学知识之间的联系，既见树木又见森林？你能从这些分析中提炼出哪些数学思想方法？依照课程标准，揣摩课程专家编写教材的意图，抓住本节内容的课程标准提炼出（1）建立函数的观点、掌握函数方法；（2）从整体上把握“三个一次”的知识和它们之间的联系；（3）初步了解图象法解方程、不等式的基本思路，感悟数形结合的思想.,从教学内容中提炼数学思想的案例,例 3“点、线、面、体

33、”教学案例,几何概念,几何图形,直观形象化,抽象形式化,观察、发现、联想,几何性质,观察分析归纳,描述对应,操作概括,揭示本质,结构特征,学习目标 1.通过实物和具体模型，了解从物体外形抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念，能识别一些基本几何体（长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等）初步了解立体图形与平面图形的概念。2.初步认识图形是有效描述现实世界的重要工具，会用语句描述简单的图形，初步运用图形与几何知识解释生活中的现象以及解决简单的实际问题。通过课堂学习活动，初步形成积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，培养学生对学习图形和几何的兴趣。,关于由体到点的认识。如何既不直接告诉

34、学生，又能避免“体和面有什么关系”？“面与面相交形成什么？”等不得体的提问，你有那些好的办法！可以以长方体为载体，让学生来描述长方体的特征，长方体不是有6个侧面，12条棱，8个顶点吗？学生描述，教师引领，逐步得出结论：“包围着体的是面，面与面相交的地方成线，线与线相交的地方是点.”,点、线、面、体都是直接从现实世界中抽象出来的、不加定义的原始概念；从教学目标分析中，可知，本节教学要建立现实世界的物体外形与几何图形之间的联系建构过程中，要引导学生观察，发现、联想、归纳、概括注意从数学的角度！观察联想归纳运用几何语言表达,例 3“点、线、面、体”教学案例,高明的教学不仅要会深入浅出，把深奥的东西表

35、达得很简单，让学生理解；更要学会浅入深出，使简单的课题丰富多彩，让学生从简单之中体味深刻！如何从简单的、浅白的教学内容中引导学生去体味数学的抽象与深刻？知识是基础，知识是载体，在传承知识的过程中，要注重数学思想方法的渗透，要从思维、方法、情感态度价值观的层面去挖掘.,从教学内容中提炼数学思想的案例,例4“三线八角”的教学案例,观察图形结构：“两条直线”被“第三条直线所截”，得到八个角.,明确对象关系：对顶角、邻补角、内错角、同位角、同旁内角，既有共顶点的角，也有不共顶点的角，但都是关于一对角的位置关系和数量关系.,揭示问题核心：根据图形结构特征进行分类正确识别的前提.,例4“三线八角”的教学案

36、例,正确理解教学内容的基础上提炼数学思想方法能以“结构特征”为依据对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想。能正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，并识别出同位角、内错角、同旁内角，领会数学观察模式识别的方法。在“三线八角”概念的引入过程中，体验研究几何图形位置关系、大小度量的思想方法以及基本思路，如：两条直线三条直线，共顶点的角不共顶点的角，等。,例4“三线八角”的教学案例,从教学内容中提炼数学思想的案例,例5“三角形内角和定理”的教学案例,教师：如图所示，用橡皮筋构成ABC，其中顶点B，C为定点，A为动点.放松皮筋后，点A自动收缩，产生一系列的三角形，.请大家观察

37、其内角和会产生怎样的变化？,1.内角和等于180！3.不用观察，小学时老师已经教过这个结论.,例5“三角形内角和定理”的教学案例,例5“三角形内角和定理”的教学案例,例5“三角形内角和定理”的教学案例,平行线可对结论的发现与证明都有启示,没有平行线,例5“三角形内角和定理”的教学案例,拼图验证，如何拼？（以“数”助“形”，三个角合在一起拼成一个平角）拼图操作对于定理证明有何作用？（引出辅助线）怎样引出？观察分析寻找理由，以“形”助“数”,例5“三角形内角和定理”的教学案例,理性思考,例5“三角形内角和定理”的教学案例,教材中所提供的教学活动对辅助线的出台具有什么作用？如何“自然地”引导学生作出

38、辅助线？通过寻找辅助线的过程，不仅找到定理的证明方法，还应该让学生学会什么？观察，数学观察，即观察拼图前后图形的位置关系和数量关系,“三角形内角和定理”的教学应该（1）从拼图操作中体会以“数”助“形”的思想；（2）从拼图寻找辅助线的过程中，引导学生学会数学观察要关注对象的数量关系，图形的位置和结构；（3）从拼图到证明的过程中体验从直观感知到理性思考的的思维升华，渗透说话办事守规则、重依据的理性精神！,例5“三角形内角和定理”的教学案例,数学思想方法的认识,初中数学中常用的数学思想方法,进行数学思想方法教学的建议,初中数学思想方法例说,从教学内容中提炼数学思想的案例,（1）在钻研教材时,要充分挖

39、掘数学思想方法,进行数学思想方法教学的建议,教师首先对教材中蕴涵的数学思想方法有明晰的认识,弄清每一章节的数学知识各体现了哪些数学思想方法、体现到什么程度,在具体教学中应该渗透还是介绍、抑或突出;弄清每一数学思想方法体现在哪些章节、体现到什么程度,在具体教学中如何螺旋提升、逐步提高.,挖掘,教师首先对教材中蕴涵的数学思想方法有明晰的认识,弄清每一章节的数学知识各体现了哪些数学思想方法、体现到什么程度,在具体教学中应该渗透还是介绍、抑或突出;弄清每一数学思想方法体现在哪些章节、体现到什么程度,在具体教学中如何螺旋提升、逐步提高.,进行数学思想方法教学的建议,（1）在钻研教材时,要充分挖掘数学思想

40、方法,进行数学思想方法教学的建议,（2）在课堂教学中,要有意识显化数学思想方法教材的数学思想方法提练 情景的数学思想方法设计 难点的数学思想方法突破 解题的数学思想方法指导 总结的数学思想方法反思.,（3）在解题教学中,要自觉应用数学思想方法每一道数学题都有一定的数学内容,它们都是一定的数学思想方法的具体形式,寻求已知与未知之间的联系解题,表面上是具体数学形式的连续转化、逻辑沟通,但在过程探索、方法选择和思路发现的背后,在进行每一步简化、转化、分解与化归之前,都有数学思维方向的调控,实质上是对题目中所蕴涵的数学思想方法的不断显化与横向沟通.,进行数学思想方法教学的建议,（3）在解题教学中,要自

41、觉应用数学思想方法例 如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，D为AB上一点，以CD，CB为边作菱形CDEB，求AD的长.解,数学解题是从未知到已知的转化，每一步转化都需要观察与判断模式识别，因此讲解此题的求解过程中，要渗透数学观察的方法，注意几何求解问题的基本模式，突出化归的思想方法.,进行数学思想方法教学的建议,（3）在解题教学中,要自觉应用数学思想方法例 由图1 可见，若二次函数图象上有一点M（x0，y0）位于 x 轴下方，则这抛物线与x轴必有两个不同的交点，记为A（x1，0），B（x2，0），且x0在x1与x2之间.请给出严格的代数证明.解,进行数学思想方法教学的建议,数学思想方法的认识,初中数学中常用的数学思想方法,进行数学思想方法教学的建议,初中数学思想方法例说,从教学内容中提炼数学思想的案例,数学思想是数学内容的精髓，是知识转化为能力的桥梁.它使学习者在处理数学问题时有思有想：由思激疑，在思疑中启悟；由想反思，在思辨中省悟；由思导验，在体验中领悟.高尚的数学享受，是有益心智的精神漫步！沈文选,音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能够提供以上的一切.克莱因,敬请批评指正！,刘 芸;,