分类加法原理和分步乘法原理(正式).ppt

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1、1.1 分类加法计数原理 和 分步乘法计数原理,问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法,乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种方法。,（一）新课引入：,问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?,分析:从A村经 B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由

2、B村去C村有2种方法,所以 从A村经 B村去C村共有 3 2=6 种不同的方法。,分类计数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。,分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有 N=m1m2mn种不同的方法。,（二）新课：,（三）例题：例 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（

3、1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？,分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法,从第1层中任取一本书,共有 m1=4 种不同的方法;第二类办法,从第2层中任取一本书,共有 m2=3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有 m3=2 种不同的方法所以,根据分类计数原理,得到不同选法种数共有 N=4+3+2=9 种。,（三）例题：例 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本

4、书，有多少不同的取法？,分析:(2)从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第一步,从第1层取1本计算机书，有m1=4 种方法;第二步,从第2层取1本文艺书，有 m2=3 种方法;第三步,从第3层取1本体育书，有 m3=2 种方法;所以,根据分步计数原理,得到不同选法种数共有 N=4 3 2=24 种。,点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。,例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？,分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足

5、条件的两位数分别是 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据分类计数原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).,分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据分类计数原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个),例 3.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？,分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三

6、位,第四位、需分为 四步完成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10，第 四步，m4=10.根据分步计数原理,共可以设置N=101010 10=104种四位数的号码。,答:首位数字不为0的号码数是N=91010 10=9103 种,首位数字是0的号码数是 N=11010 10=103 种。由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号 码数之和等于号码总数。,例 3.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？,问:若设置四个、五

7、个、六个、十个等号码盘,号码数分别有多少种？,答:它们的号码种数依次是 104,105,106,种。,点评:分类计数原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交为空集,n类的并为全集。,分步计数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。,在运用“分类计数原理、分步计数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还

8、是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。,课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3 种,第二步,m2=2 种,第三步,m3=1 种,第四步,m4=1 种,所以根据分步计数原理,

9、得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。,课堂练习 1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,问:若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？,答:它们的涂色方案种数分别是 0,4322=48,5433=180种等。,2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,课堂练习,解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3 条 第二类,m2=1 条 第三类,m3=22=4,条 所以,根据分类计数原理,从A到 B共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。

10、,当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。,m2,m2,点评:我们可以把分类计数原理看成“并联电路”;分步计数原理看成“串联电路”。如左图:,3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,课堂练习,解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2 条 第二类,m2=12=2 条 第三类,m3=12=2 条 所以,根据分类计数原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有 N=2+2+2=6 条。,练习4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条

11、路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以 m1=23=6 种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以 m2=42=8 种不同的走法;所以从甲地到丙地共有：N=6+8=14 种不同的走法。,小结：,1.本节课学习了那些主要内容？,答:分类计数原理和分步计数原理。,2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？,答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不 同的方法。不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一

12、个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。,3.何时用分类计数原理、分步计数原理呢?,答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类计数原理。完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步计数原理。,小结：,结束语,两大原理妙无穷,布置作业:课本p.6练习 第1，2,3,题 课本p.10练习 第2，3,4,题课本P12,A组 1,2,3,4,5 B组1,2,茫茫数理此中求;,万万千千说不尽,运用解题任驰骋。,