分离变量法的精神和解题要领.ppt
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1、,习题一:判定下列二阶方程的类型及化简,答案:,答案:,答案:,习题二:长为l的均匀杆,侧面绝缘,一端温度为零,另一端有恒定热量q进入(即单位时间由通过单位截面积流入的热量为q),杆的初始温度分布是,,试写出相应的定解问题。,答案:,建立方程解题思路:设其热传导系数为k,比热为c,线密度为。求杆内温度变化的规律。建立坐标:设杆长方向为x轴,考虑杆上从x到x+dx的一段(代表),其质量为dm=dx,热容量为cdm。设杆中的热流沿x轴正向,强度为q(x,t),温度分布为 u(x,t),则,由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut
2、=-qx 由热传导定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的式子,得到c ut=k uxxut=a2 uxx,x,u,解题方法:1建立方程,2定解条件:边界条件,初始条件 3定解问题,分离变量法的精神和解题要领,1分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开,如,令从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解2分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步(1)分离变量:将未知函数表示为若干单元函数的乘积,代入齐次方程和齐次边界条件,得到相应的特征值问题和其它常微分方程。(2)求解特征值问题(3)求解其它常微分方程,并将求得的解与特征函数相乘,得到一系列含有任意常数的分离
3、解(如)。(4)叠加(如)用初始条件和齐次边界条件确定系数(即任意常数),从而得到偏微分方程定解问题的解。,特征值问题,在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时,会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件(或自然边界条件)组成的定解问题,这类问题中的参数,必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数,称为特征值,相应的方程的解,称为特征函数,求解这类特征值和相应的特征函数的问题,称为特征值问题。常涉及到的几种特征值问题:,(1)特征值,特征函数(2)特征值,特征函数(3)特征值,特征值函数(4)特征值为,特征值函数,有界弦的自由振动,特征值问题同热导相同,形式不变,有界杆上的热传导,形式不变,特征值问题同振动方程相同,波动与热导对比,本征值问题,X(x):,T(t):,T(t):,波动,热导,
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