函数的数值逼近.ppt

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1、1,第三章 函数的数值逼近,引言代数多项式插值分段线性插值与“保形”插值三次样条函数插值曲线拟合的最小二乘法,插值问题,曲线拟合问题,2,1 引言,一、函数的工程化表达,对于很多实际工程计算问题，函数是通过实验或观测得到的，表达形式上为函数表，无解析表达形式。2.虽然有些函数存在解析的表达式，但形式过于复杂而不易使用。,3,二、问题的提出,设 是R中若干个不同的点，每个点 对应一个数值,它们可以是实测得到的，也可以是一个已知函数的值。如何近似由这组数据 确定的函数？并由此可提出两类问题：,作一条曲线，其类型是事先给定的（如：代数多项式），使该曲线经过给定点。这就是所谓的插值问题。作一条指定的曲

2、线，使该曲线能在“一定意义”下逼近这一组数据。这就是所谓的曲线拟合问题。,4,(1)复杂函数的计算;(2)函数表中非表格点计算(3)光滑曲线的绘制;(4)提高照片分辩率算法(5)定积分的离散化处理;(6)微分方程的离散化处理;(7)积分方程的离散化处理;,插值方法的应用:,5,三、插值的定义与存在性,求 P(x)的方法就是插值法。,若存在一简单函数P(x)，使得,P(x)为 f(x)的插值函数点 x0,x1,xn 为插值节点(1)式为插值条件 f(x)为被插函数 a,b 为插值区间,设 f(x)C a,b,取点 a x0 x1xnb,成立，则称,定义：,6,若P(x)是次数不超过n 的实系数代

3、数多项式,即,则称P(x)为n 次插值多项式.相应的插值法称为多项式插值法(代数插值法)。,P(x)=a0+a1 x+an x n,从几何上看,曲线 P(x)近似 f(x),7,研究问题：,（1）满足插值条件的P(x)是否存在唯一？,（2）若满足插值条件的P(x)存在，如何构造P(x)？,（3）如何估计用P(x)近似替代 f(x)产生的误差？,8,2、插值多项式的存在唯一性,证明：由(1)式,(2),定理 若插值结点 x0,x1,xn是(n+1)个互异点,则满足插值条件 P(xk)=yk(k=0,1,n)的n次插值多项式 P(x)=a0+a1x+anxn 存在且唯一。,9,点是互异的,其系数行

4、列式：,为范德蒙行列式。只要插值节点互不相同，则系数矩阵非奇异。故方程组解存在且唯一。,10,插值多项式的唯一性表明，对同一组节点，它们的 插值多项式是唯一的，可能由不同的方法，会得到不同形式的插值多项式，但它们之间可以相互转化，本质相同，当然误差也一样。n+1组节点只能确定一个不超过n次的多项式，若n次，如设为n+1(x)，则有n+2有待定参数a0,a1,an,an+1需确定，而n+1个组节点，只构成n+1个插值条 件，即构成n+1个方程，只能确定n+1个变量的方程组。上述证明是构造性的（给出解决问题的方法）即 以通过解线性方程组来确定插值多项式，但这种方法的计算量偏大，计算步骤较多，容易使

5、舍入误差增大。因此实际计算中需要用其它方式进行。,说明：,11,的几何意义,一、线性插值与抛物线插值,1.线性插值(n=1),设已知区间 xk,xk+1端点处的函数值yk=f(xk)，yk+1=f(xk+1)，,xk xk+1,求线性插值多项式L 1(x)，使其满足,过两点(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的直线,2 代数多项式插值,12,或,L1(x)是两个线性函数的线性组合,称为节点上线性插值基函数,线性函数,节点上的线性插值基函数：,满足,13,几何意义:过三点(xk-1,yk-1),(xk,yk)与(xk+1,yk+1)的抛物线,2.抛物插值法(n=2 时的二次插值),设插值节点为

6、：xk-1,xk,xk+1,求二次插值多项式L2(x)，使得,L2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.,先求 插值基函数l k-1(x),l k(x),l k+1(x)(二次函数),满足：,(4),y0 y1 y2=1 0 0y0+0 1 0y1+0 0 1y2,L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，,构造法：,14,求 lk-1(x):,L2(x j)=y j,j=k-1,k,k+1.,(5),再构造插值多项式,由(4)式,插值条件,15,L2(x)是三个二次函数的线性组合,16,二次插值的应用一例极值点近似计算,二次插值函数:L(x)=l0(x)y0+l1(x)

7、y1+l2(x)y2，,极值点近似计算公式,17,二、Lagrange 多项式插值(n次),求通过n+1个节点的n 次插值多项式Ln(x),定义 若n 次多项式 lk(x)(k=0,1,n)在各节点,设Ln(x)满足插值条件：L n(xj)=y j(j=0,1,n).,(6),先求插值基函数然后构造插值多项式,则称这n+1个n 次多项式为这n+1个节点上的n 次插值基函数。,上满足条件,18,（类似于前面讨论n=1,2 时的情形）,其中，k=0,1,n.,(7),1.先求插值基函数,19,定理（Lagrange）插值多项式,通常次数=n,但特殊情形次数可n,如：过三点的二次插值多项式,(8),

8、2.构造插值多项式,（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合）,其中,函数,有数表,则满足插值条件,的插值多项式为,构造插值多项式的方法：(1)先求插值基函数(2)构造插值多项式,20,定理（插值多项式余项）,三、插值多项式的余项,截断误差:,插值多项式的余项,（9）,（1）函数,有数表,则对任意,有插值多项式余项,其中,且依赖于x。,有n次插值多项式Ln(x);,21,证明：,插值条件,可设,做辅助函数,当t=x时，Rn（x）,当t=x时，Rn（x）,22,即 在a,b上有n+2个互异的零点。,由Rolle定理，,设该零点为，,23,由(1)、(2)知定理结论成立。,注:,(1)余项表达式

9、仅当f(n+1)(x)存在时才能应用，且唯一。,(2)在(a,b)内的具体位置通常不能给出。,(3)若有,则截断误差限是,从而余项大小和M 和|n+1(x)|有关，因此，在n和,(4)n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。,若f(x)为次数不高于n次的多项式,则 f(n+1)()=0,从而Rn(x)=0.,给定的情况下，n+1个插值节点应使|n+1(x)|尽量小。,24,线性插值：,(5)n=1,2 时的插值余项：,抛物线插值：,用通过两点P0,P1的直线L1(x)代替f(x),余项为：,用通过三点P0,P1,P2的抛物线L2(x)代替f(x),25,例,解：,内插式,较准确,做线性

10、插值,误差：,(1)取插值节点：,26,内插式,f(0.6)=ln 0.6 的真值为：-0.510826,抛物插值更精确,做抛物线插值,(2)取插值节点：,误差：,27,拉格朗日插值采用插值基函数的线性组合来构造插值多项式,含义直观形式对称,优点：,缺点：,计算量大,已知节点为:0.40,0.50,0.70,0.80，两节点可取为0.40与0.50或0.70与0.80，此时称为外插法,但不如以上的内插法精确。另外节点还可取为0.40与0.70或0.40与0.80等。,插值多项式的阶数控制问题,说明：,28,3 分段线性插值与保形插值,一、分段线性插值法,1.尽可能充分使用已有的信息；2.控制插

11、值多项式的阶数,问题：高次插值过程的收敛性如何？,举例：,Runge反例:(-5x5),29,L10(t),f(t),f(x),取xk=5+k 计算:f(xk)(k=0,1,10),构造L10(x).取:tk=5+0.05k(k=0,1,200),计算:L10(tk),注:实际应用时取,Runge现象：,等距节点高次插值产生的小区间内逼近很差的现象,30,结论：设，由Taylor 展开式，,注：由图形可知，在节点处的光滑性较差，为了提高光滑性，讨论新的插值方法。,因而有,即 一致收敛于。,在整个区间a，b上为折线。,几何意义：相邻两节点间的函数为一次线性函数,图形为线段。,插值节点满足:x0

12、x1xn 已知yj=f(xj)(j=0,1,2,n),(j=0,1,n-1),xxj，xj+1时,线性插值函数,31,二、保形插值（Hermite插值）的思想,出发点：,分段线性插值光滑性较差,插值信息中引入函数的导数,1.讨论Hermite插值问题（以 一阶导数,i=0,1,n 为例）,函数表及导数表,已知,其中,求2n+1次多项式 H2n+1(x)使满足插值条件：,问题：,(12),32,定理:,且已知,函数表及导数表，,如果,则存在唯一次数不超过2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件(12),证明：,唯一性。,为次数,的多项式且满足条件：,及,都是插值问题(12)的解，则,设有,这

13、说明,都是,的二重零点，即,Q(x)共有2n+2个零点 Q(x)0,，即,33,（用构造法，同构造L-插值多项式的方法）,存在性。,思路：可以设想，如果构造出两组函数2n+1次多项式,满足：,显然，多项式,满足插值条件(12)。,34,第一，求Hermite 插值基函数,为,的二重零点且,(13),其中c为待定常数,的2n+1次多项式,(a)求满足插值条件：,可令,由,35,(13)式求导，得,(b)已知,求2n+1次多项式,使满足插值条件：,36,由于,为,的二重零点且,又由,，则有,可令,于是,(14),37,第二，求多项式,（满足插值条件(12)的多项式）,事实上,有,即(15)式是满足

14、插值条件(12)的插值多项式.,所以存在2n+1次多项式满足插值条件(12).,为Hermite插值基函数,即,其中,(15),38,Quiz:给定 xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是(x)的图像？,斜率=1,求Hermite多项式的基本步骤：,写出相应于条件的(x)，(x)的组合形式；,对每一个(x)，(x)找出尽可能多的条件给出的根；,根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；,根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；,最后完整写出H2n+1(x)。,39,为Hermite插值多项式，,则,2.Hermite插值余项,定理(Hermite插值余项),证明与Lagrange

15、余项公式证明类似.,设,40,3.带导数的两点插值(重要特例:当n=1时),函数表及导数表,求3次多项式H3(x)使满足插值条件:,存在且唯一，表达式为,结论：,问题：已知,41,(17),其中,(16),42,三、分段三次埃尔米特插值,定义：(分段3次Hermite插值)如果 Ih(x)满足：,(1),(2)在每个小区间,Ih(x)为3次多项式；,(3)满足插值条件：,当 时，为3次Hermite插值多项式，,称 Ih(x)为 f(x)的分段3次Hermite插值函数。,则 有以下两种形式：,43,公式 1：,由式(17),代入(16),即得：,(18),44,设,由插值条件确定,对,由，得

16、。,再由,公式 2:(待定系数法),求导，有,45,解得,于是，当 时，有,(19),得,46,定理:(1)设,，且已知,的函数及导数表,(2)为 上 的分段3次Hermite插值函数，误差估计：,其中,证明:,存在 k 使,（对 一致收敛）,且,47,于是，,极值的求法,且有,。（一致收敛）,优点：分段线性插值与分段3次Hermite插值函数在每个小区,缺点：分段线性插值光滑性差；,间上都收敛于函数。,分段3次Hermite插值能保证插值多项式图形的光滑,演示Matlab程序,即,令,记,则,且,48,高次插值出现龙格现象,但分段线性插值在节点处不一定光滑,但导数值不容易提取（找到）,三次样

17、条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）,1 汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；,2 木样条的来源。,一、发展背景,工程实例：,4 三次样条插值,49,所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。

18、由此抽象出数学模型称为样条函数。,注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道 f 的导数值(除了在2个端点可能需要)；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。,50,定义（3次样条函数）：,在每一个小区间,上是次数,多项式。,若(1)中3次样条函数S(x)满足插值条件,，即具有连续的一阶，二阶导数。,如果函数 S(x)满足下述条件：,(1)设有对a,b的剖分,则称S(x)为f(x)关于剖分的一个3次样条函数。,问题：,3次样条插值函数存在性，唯一性？构造？误差估计,函数表,(2)设给定,二、样条函数定义,则称S(x)为f(x)关于剖分的一个3

19、次样条插值函数。,51,分析：,因S(x)在xj,xj+1上是3次多项式，即,4n个待定系数:,n+1个条件,内部条件：,已有条件：,连续性,3(n-1)个条件,共有4n-2个条件，尚须2个附加条件,52,常见边界条件有三种：,第1种边界条件：,第2种边界条件：,若,，称为自然边界条件。,已知,已知,第3种边界条件(周期边界条件)：,为周期函数，,此时称,为周期样条函数。,亦是周期函数，周期为,即取,要求,即,即,53,三、三次样条插值函数表达式,思路：,以分段三次Hermite插值为基础，由,(3)三种边界条件中的某一种,推导3次样条插值函数。,方法：,1、先确定插值函数,在节点处的一阶导数

20、，记为,即为3次样条插值函数的一阶导数表示。,2、先确定插值函数,在节点处的二阶导数，记为,即为3次样条插值函数的二阶导数表示。,(1)函数表,54,不固定,是待定参数，共(n+1)个,1、一阶导数表示,分段3次Hermite插值,已知的一阶导数值,令,(20),仿,(21),55,若要,则需满足：,n-1个条件,加某一边界条件（2个）,个条件,对(20)式求导:,(22),(23),有,由条件,得,(24),xj-1,xj,xj-2,xj-1,56,把(21)代入(24)得到,所满足线性方程组,两边同除以,，得,57,令,说明：,(b)(25)式有n-1个方程,要确定n+1个未知量,缺少两个

21、方程,由边界条件补足.,方程组成的方程组.mj(j=0,1,n)在力学上叫做细梁 xj(j=0,1,n),的n-1个,(a)(25)式是关于n+1个未知量,三种边界条件,处的转角，数学上叫做变化率。方程(25)反映了mj与mj-1,mj+1的,关系,因此(25)叫做三转角方程。,(25),有,58,方程组(25)为关于,所满足的方程组：,(1)增加第1种边界条件：,则方程组(25)为关于,所满足的方程组可写为：,(26),矛盾方程组,n+1个未知量，n-1个方程,59,(2)增加第2种边界条件：,则由(22)式取j=0及(23)式取j=n得到2个方程(利用(21)式中),由(21)式,(21)

22、,(27),60,得(j=0,j=n-1),(21),把(21)式分别代入（27），得,61,整理得两个方程:,(28),于是,得到,所满足的线性方程组：,上式简记为,(29),可通过引入第三种边界条件推导，练习！,62,则方程组(26)和(29)有唯一解 可由解方程组的方法,求解，从而由(20)给出,表达式，且S(x)具有连续的一阶,二阶导数(即S(x)为3次样条插值函数。,说明：,方程组（26）和（29）的系数矩阵都是严格对角占优,矩阵，由此可知这些方程组的系数阵为非奇异矩阵，,63,(2)求解方程组(26)(或(29),求。,存在唯一性,且,定理（三次样条插值函数存在唯一）,三次样条插值

23、函数f(x)，且满足给定的边界条件。,计算步骤：,先计算(26)式中的,（若是第二类,或第三类边界条件，要计算）,(3)用(20)及(21)式进行插值计算,(先确定x所在区间),(1)如果f(x)是定义在a,b上的函数，且已知y=f(x)有函数表,(2)给定边界条件(a)(或(b)或(c)，则f(x)在a,b存在唯一的,64,因为Sj(x)是三次样条插值函数，所以 是一次函数。,2、二阶导数表示,由两点Lagrange插值得,参数,对上式积分,得,再积分,得,(30),(31),(32),令,令,65,由条件,，确定积分常数,即得,将上式代入(32)得到3次样条插值函数的表达式,(33),(3

24、4),66,将(33)代入(31),得,由条件,满足的线性,方程组,两边同除以,(35),(36),67,两个条件。,上式有n-1个方程,要确定n+1个未知量,需增加,三弯矩方程,(37),则令j=0，由(35),得,令j=n，由(36),得,(1)若,已知，,n-1个方程,68,(38),(2)若,已知，代入方程(37)，只,需解n-1个方程,(39),满足方程,69,计算步骤:,同三次样条插值函数的一阶导数表示的计算步骤。,说明：,此方程组(38)和(39)有唯一解Mj。,（2）三弯矩方程(37)与(25)比较，与 交换了位置。,（1）方程组(38)和(39)的系数矩阵都是严格对角占优矩

25、阵，因,（3）Mj 在力学上为细梁在 xj 处截面处的弯矩,且弯矩与相邻,的两个弯矩有关,故方程组(38)和(39)称为三弯矩方程。Mj在,数学上称为曲率。而方程(25)叫做三转角方程。Mj 在力学上,叫做细梁上 xj 处的转角，在数学上叫做变化率。,70,一、问题的提出,1函数逼近,设f(x)为a,b上的连续函数，寻求一个近似函数 P(x)，在a,b上均匀逼近 f(x)。,2数据逼近（实验数据）,已知,求n次多项式 Pn(x),nm,使Pn(x),能更好地逼近 或修正 的误差。,二、解决的方法,函数逼近：采用最佳逼近,离散数据：采用最小二乘逼近,两个函数类：,代数多项式；三角多项式；分式有理

26、函数,另外：,5 数值逼近问题,71,三、数学提法：,函数逼近的两种度量,1.最佳一致逼近,寻求次数 的多项式 P*n(x)，使,的n次最佳一致逼近多项式。相应,的逼近问题称为最佳一致逼近（或称为极大极小逼近，或称为,理论上可以证明，对,次最佳一致逼近,切比雪夫（Chebyshev）逼近）。,已知,或,在Hn中求一函数Pn(x),使得f(x)-Pn(x)在某种度量下最小。,若,存在,称,为f(x),72,2.最佳平方逼近,均方误差,寻求 使,其中权函数(x)满足：,这种逼近问题称为最佳平方逼近问题。,中的最佳平方逼近多项式。,在a,b上可积,在a,b任意小区间内不恒等于0,73,3.最小二乘逼

27、近（拟合）,已知,求 使,的最小二乘逼近,(拟合)多项式或称为f(x)的经验公式(数学模型)。该问题称为,最小二乘问题。,离散数据逼近的度量：,注：,(2)n越小越好。,(3)当n确定时，求。,74,四、问题,(1)在各种度量意义下最佳逼近多项式,是否存在？,是否唯一？,（主要讨论：最小二乘逼近）,(2)如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式,75,一、一般的最小二乘逼近,(40),是否存在？是否唯一？如何计算？,6 曲线拟合最小二乘法,76,1.基础知识,已知 关于点集 上函数值，,(1)内积：,(2)范数：,(3)正交:,定义:,(4)函数组的线性相关与线性无关,77,含m个方程的方程

28、组,(4)函数组的线性相关与线性无关,设有连续函数组,若,当,则,在点集X上线性无关,称,否则，称函数组在点集X上线性相关,记,78,定理:,例：,连续函数组,在点集,上线性无关,则,其中,关于,线性无关。,(2)函数组,在区间0,2,的任意点集,上线性无关。,79,2.解法：,把原问题转化为多元函数极值问题,得到(40)式的等价问题：,多元二次函数，教材上以残差概念引出,有,即P(x)由 aj(j=0,1,n)唯一确定,80,(41),由多元函数极值必要条件,或,记为,其中,81,定理：,G为非奇异的，解唯一,设有y=f(x)实验数据(xi,f(xi)(i=1,m),且,关于点集,其中,X=

29、x1,xm线性无关(m n),则,是 y=f(x)在S中最小二乘逼近函数,82,定理（最小二乘逼近）：,(1)设有y=f(x)实验数据(xi,f(xi)(i=1,m),(a)y=f(x)在Hn中的最小二乘逼近函数,存在且唯一。,线性无关，则,(2)设S=Hn中连续函数组,关于点集,可由法方程（正规方程组）,83,(c)最小平方误差,最大偏差：,注：,事实上，,(42),(1)权系数i 的选取,可取i=1(i=1,m),也可以适当选取使得离散内积近似于连续内积：即,84,将(43)带入(42),合并得,(43),又,取,则,85,(2)矩阵G为对称正定阵,设i=1(i=1,m),并将第j个基函数

30、在xi处记为aij,即,则有,即,86,从而,即G=ATA为对称正定阵。,若 f=f(x1),f(x2),f(xm)T,则,即法方程组为,(上线性无关时)。,87,(3)计算方法,若已知 y=f(x)的实验数据,其中,(a)选取Hn中基1,x,xn及i(i=1,m),计算,(b)解法方程组，得到,由此得到 y=f(x)的最小二乘逼近多项式,88,求下面数据表的最小二乘二次拟合多项式：,解：设二次拟合多项式为P2(x)=a0+a1x+a2x2，将数据表直接代 入正规方程组：,其解为a0=2.0034,a1=2.2625,a2=0.0378。所以此数据组的最小二乘二次拟合多项式为：,例,89,例：

31、,(xi,yi),i=1,2,m,方案一：设,求 a 和 b 使得 最小。,线性化/*linearization*/：令，则,就是个线性问题,90,方案二：设,(a 0,b 0),线性化：由 做变换,就是个线性问题,91,(4)用正交多项式作最小二乘逼近,实际中，法方程组往往是病态方程组，用一般方法求解误差较大。一般选择 Hn 中正交多项式进行插值。(见下节),92,二、用正交多项式作曲线拟合,1.正交函数族和正交多项式,定义(正交函数族):,若Ca,b上有函数族,满足,称函数族为带权(x)的正交函数族；若Ak=1，称为标准正交函数族。,93,定义(正交多项式):,若Ca,b上有多项式序列,如

32、果序列中的多项式两两正交，称多项式序列为带权(x)的正交多项式。,注：,正交多项式可以由线性无关函数族 xk(k=0,1,)，通过Schmidt方法求得：,94,2.正交多项式性质,是最高次项的系数为1的n次多项式。任何n次多项式都可以表示成前n+1个多项式 的线性组合对于kj，有，且 与任意次数小于k的多项式正交。有递推关系,接下页,95,设 是在 a,b 上带权(x)的正交多项式，则 的n个根都是(a,b)上的单重实根。,2.正交多项式性质(接上页),是权系数。,其中,96,常用 正交多项式,Legendre多项式,是区间-1,1上权函数(x)=1的正交多项式,且满足:,a),b)有递推公

33、式,97,Chebyshev多项式,常用 正交多项式(续1),是区间-1,1上关于权函数(x)=的正交多项式,且满足:,a),b)有递推公式,c)Tn(x)在-1,1上的n个零点为,98,Hermite多项式,常用 正交多项式(续2),是区间-,+上关于权函数(x)=的正交多项式,且满足:,a),b)有递推公式,99,3.正交多项式数据拟合,已知点集,且,数表,步骤,a)选取Hn中正交基,选取Hn中关于点集X以及权系数 的正交多项式组,即,b)求解aj*得到Pn*(x),接下页,100,步骤,c)计算最小平方误差,接下页,101,于是，随n增加,优点：增加一个节点，只需计算an+1*，计算量小

34、,利用多项式0(x),1(x),m(x)的离散正交性易知，此时法方程组（41）的系数矩阵G为对角阵。,如此，无需解线性方程组，可减少含入误差，避免病态情况出现。,102,利用离散正交多项式求所给数据表的二次拟合多项式,例,解：按三项递推式及k,k的计算公式可得：,而由系数ak的计算公式有：,103,无需解正规方程组，只需要计算内积，避免出现病态方程组的可能。并且当逼近次数增加一次时，只需在原有的多项式中增加一项，即在上例还可求三次、四次拟合多项式。,由此可得最小二乘二次拟合多项式为：,104,105,三、用最小二乘法解矛盾方程组,已知 y=f(x)的实验数据,用较简单和合适的函数来逼近（或拟合

35、）实验数据。,假设选用n次插值多项式,要满足,n+1m,方程组的解不能唯一确定，因此，不能要求方程精确成立，需要允许每个等式有偏差，但偏差尽可能小。,106,解法：对矛盾方程组,作辅助函数,a0,a1,an的多元二次函数,107,整理为以a0,a1,an为变量的线性方程组,-法方程,写成矩阵形式Bu=C，其中,108,是(n+1)(n+1)阶对称方程组，称为法方程，只要B非奇异，就可解出唯一解(a0,a1,a2,an)T，即为矛盾方程组的最小二乘解。,事实上,矛盾方程组,109,可写成矩阵形式：,即,110,例 用二次多项式来拟合函数,解:,计算B、C,111,112,113,凸性（凹向上或凹

36、向下）时，,对于给定y=f(x)实验数据,的走向、趋势选择合适的数,根据数据,学模型。例如,当实验数据,具有单调,来拟合实验数据，其中,可选择下述适当的数学模型,a、b为参数，如图。,四、非线性模型举例,114,例 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系,如下，求浓度与时间的拟合曲线,115,解：,(1)选取数学模型,求对数:,作变换:令,则求解模型变为:,于是，问题化为由已知数据,作变换，将此模型转化为线性模型求解。,116,求参数A，B使,其中，模型 线性模型，可求得,及最小平方误差：,且最大偏差：,于是得到模型,从而,117,其中a,b为待定参数，并有,作变换，令,于是问题化为，已知数据,寻求a，b使,(2)选取数学模型为双曲函数,118,求解法方程,得到,从而得数学模型,119,最大偏差：,说明：,小，所以用,作拟合曲线比双曲模型要好。,选取指数模型,最小平方误差：,都比较,120,121,作业,思考题 1.2.3.,习题 1.4.5.,