函数的导数与最值.ppt

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1、函数的最大（小）值与导数,2023/9/23,2,f(x)0,f(x)0,复习:一、函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,设函数y=f(x)在 某个区间 内可导，,f(x)为增函数,f(x)为减函数,2023/9/23,3,二、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值.,使函数取得极值的点x0称为极值点,

2、2023/9/23,4,(1)求导函数f(x)；(2)求解方程f(x)=0；(3)检查f(x)在方程f(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小 值.,口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。,三、用导数法求解函数极值的步骤：,2023/9/23,5,求下列函数的极值:,练一练,（3）函数,的极值点为x=0,对吗？,结论：导数值为0的点是该点为极值点的 条件.,必要不充分,2023/9/23,6,（1）确定函数的定义域，求导数f/(x)；（2）解方程 f/(x0)=0；（3）列表，根据表格求出极值,总结:求函数极值的步骤,2023/9/23,7,例2：设,，在,和,处有极值，且,=

3、1,求,，,的值，并求出函数的极值。,，,，,2023/9/23,8,2023/9/23,9,思考:,下图是导函数 的图象,试找出函数 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.,2023/9/23,10,在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题,函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？,新 课 引 入,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。,2023/9/23,11,知识回

4、顾,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,1最大值,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最大值,2023/9/23,12,2最小值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M;（2）存在x0I，使得f(x0)=M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,2023/9/23,13,阅读课本判断下列命题的真假：1.函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个；2、最大值一定是极大值；3、最大值一定大于极小值；,讲授新课,2023/9/23,14,例1

5、求函数 在区间 上的最大值与最小值,解：,从表上可知，最大值是13，最小值是4,2023/9/23,15,归纳结论：,（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此,（2）函数f（x）若在闭区间a，b上有定义，但有间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值,总结：一般地，如果在区间a，b上函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如何求最值？只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可求最大值、最小值,2023/9/23,16,例1、求函数f(x)=x2-

6、4x+3在区间-1，4内的最大值和最小值,解:f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x4=0，,得x=2,-,+,8,3,-1,故函数f(x)在区间-1，4内的最大值为8，最小值为-1,例题讲解,2023/9/23,17,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值.,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),2023/9/23,18,1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最大值和最小值,法一、将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，

7、利用二次函数单调性处理,练习,2023/9/23,19,1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内 的最值,故函数f(x)在区间1，5内的最大值为11，最小值为2,法二、,解、f(x)=2x-4,令f(x)=0，即2x-4=0，,得x=2,-,+,3,11,2,2023/9/23,20,2、函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为()A.-4 B.0 C.16D.20,C,练 习,2023/9/23,21,3.已知函数y=-x2-2x+3在区间a,2上的最大值为，则a等于（）A.B.C.D.或,2023/9/23,22,4.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在区间-2，2上有最小值-

8、37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在区间-2，2上的最大值.,2023/9/23,23,知识要点：,.函数的最大与最小值,设y=f(x)是定义在区间a,b上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在区间a,b上的最大最小值,可分两步进行:,求y=f(x)在区间(a,b)内的极值;,将y=f(x)在各极值点的极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。,若函数f(x)在区间a,b上单调递增(减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。,小结,2023/9/23,24,作业,1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小 值.课本P99第6题的（1）、（2）,2023/9/23,25,