光的量子性与激光.ppt

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1、2023/9/22,0,光学教程,第五篇 量子光学基础,2023/9/22,1,光的量子性与激光,研究的主要问题：黑体辐射规律与普朗克公式；光量子的提出与发展；激光的形成和特性。,要点：1.普朗克对黑体辐射规律的解释；2.从光量子到波粒二象性；3.激光的产生条件和特性。,2023/9/22,2,热辐射：,按照能量转化的特点，可将物体发射辐射的方式分为两大类：1.由原子或分子内部运动能量转变为辐射能的过程称为发光。电致发光、光致发光、化学发光、阴极射线致发光等；2.发射的辐射能是由物体中原子、分子的热运动能量转变而来，即热运动能量转变为辐射能的过程称为热辐射。若物体从外界吸收的热量恰好等于因辐射

2、而减小的能量，该热辐射称为平衡热辐射(温度辐射)。热辐射的光谱是连续光谱。,1 热辐射和基尔霍夫定律,2023/9/22,3,基尔霍夫定律：,定义辐射体在其波长附近的单位波长间隔内的辐出度为单色辐出度：,物体在其波长附近的单位波长间隔内的吸收率，称为单色吸收率：,基尔霍夫定律：处于平衡辐射中的任何物体，其单色辐出度和单色吸收率之比是温度和波长的普适函数，与物体的性质无关。,2023/9/22,4,2023/9/22,5,黑体：,(,T)1且与波长无关的物体称为灰体。,在任何温度下，对任何波长的单色吸收率均恒等于1的物体称为绝对黑体。此时：,2023/9/22,6,平衡辐射时黑体的单色辐出度：,

3、面元ds所张立体角,试推导在平衡辐射时黑体的单色辐出度(,T)与单色辐射能量体密度u(,T)的关系。,内传播的能量为：,2023/9/22,7,平衡辐射时黑体的单色辐出度：,在t时间内通过ds的总能量为：,2023/9/22,8,平衡辐射时黑体的单色辐出度：,平衡状态下，黑体单位面积发出的辐射能等于吸收的辐射能，故：,2023/9/22,9,2 黑体的经典辐射定律,黑体辐射谱：,黑体辐射谱测试图,黑体辐射谱,2023/9/22,10,黑体辐射的实验定律：,1.Stefan-Boltzmann(斯特藩-波尔兹曼)定律,=5.6710-8 W/(m2K4)，Stefan-Boltzmann常数。,

4、b=2.89810-3 mK，Wien常数。,绝对黑体的辐出度与绝对温度的四次方成正比：,2.Wien(维恩)位移定律,任何温度下，绝对黑体的单色辐出度的极大值所在波长与绝对黑体的温度成反比。,2023/9/22,11,黑体辐射的经典理论公式与实验曲线的矛盾：,想从经典理论中寻求函数的解析形式的尝试都遭到了失败，若干失败的教训却为最后的成功打开了道路。,1.Wien公式的导出思路,假设黑体的辐射由许多可以看成谐振子的分子发射的，辐射的频率只与分子的速度v有关，因此辐射能量按频率的分布应和Maxwell分布相似，即：,2023/9/22,12,瑞利假设空腔中处于热平衡时的辐射场是一些驻波，而一列

5、驻波可以看做一种模式的电磁场。根据能量均分定理，每种振动应分配到的平均能量为kT，因此：,瑞利金斯公式,或：,2023/9/22,13,普朗克的研究：,1.普朗克经验公式：,3 普朗克辐射公式 能量子,2023/9/22,14,普朗克辐射公式：,普朗克假设，黑体是由极多的带电的线性谐振子所组成，这些谐振子辐射电磁波，并与周围电磁场交换能量。设在温度为T的热平衡状态，频率为的谐振子的平均能量为。由电磁理论可以证明，此时辐射能量的体密度为：,故黑体辐射的单色辐出度为：,2023/9/22,15,普朗克辐射公式：,由波尔兹曼分布，热平衡下，能量为的几率正比于e-/kT：,这个结果对应的，正是瑞利金斯

6、公式。,普朗克意识到，失败的原因就是引用了“谐振子的能量是连续变化的”这个概念；他考虑谐振子的能量是不连续变化的，只能取一些分立值，这些分立值是某一最小能量0的整数倍。,2023/9/22,16,普朗克辐射公式：,若考虑频率为的谐振子，最小能量是：0=h，h=6.63617610-34 Js,由波尔兹曼分布，谐振子处于能量n0状态的几率与e-/kT成正比。,2023/9/22,17,普朗克辐射公式：,代入得：,普朗克公式,2023/9/22,18,普朗克辐射公式：,由普朗克公式导出：,对波长辐出度求极大值，得超越方程：,2023/9/22,19,普朗克辐射公式的讨论：,普朗克在推导过程中仍然使

7、用了经典的波尔兹曼分布，且最小能量为零；实际上振子在最低的能量状态，也还有能量h/2。玻色和爱因斯坦应用量子统计，重新导出了普朗克辐射公式，并消除了波尔兹曼分布的在推导过程中的存在。,普朗克获得1918年诺贝尔物理学奖。,2023/9/22,20,利用黑体辐射定律来测定高温物体的温度，称为光测高温法。,如果被测物体的光谱分布曲线和绝对黑体在某一温度T0时的普朗克曲线相似，则温度T0称为被测物体的色温度。,4 光测高温法,色温法：,2023/9/22,21,亮温法：,对所选择的波长（通过滤色片选择），若其亮度和灯丝发出的该谱线亮度相等，则认为二物体温度一致，该温度称为亮温度。,2023/9/22

8、,22,辐射温度法：,仪器接收到的辐射能正比于象的辐照度，即正比于物的辐亮度。对于绝对黑体，其辐亮度正比于T4，故由此读出的温度称为辐射温度。,提问：各种方法的误差可能何在？有其它相似方法可以光测高温吗？,2023/9/22,23,5 光电效应,光电效应的实验规律,赫兹：18861887 勒纳德：1889,实验装置,G：测量光电流U：测量AK电压,*I 随着UAK 增加而增加直至某一饱和 电流 Is。Is与光照强度成正比。,*截至电压Ua 0.,实验结果,2023/9/22,24,*光电子的初动能与入射光强度无关，而与入射光的频率有关。,截止电压的大小反映光电子初动能的大小：,截止电压与入射光

9、频率成线性.,2023/9/22,25,*光电子初动能依赖光频；经典认为光强越大，饱和电流应该大，光电子的初动能也该大。但实验上饱和电流不仅与光强有关而且与频率有关，光电子初动能取决于光频率。,经典理论解释光电效应的困难：,*红限频率；只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流；频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。而经典认为光电效应只依赖光强，而不应与频率有关。,*瞬时性。光电效应具有瞬时性，其响应速度很快 10-9 秒。经典认为光能量分布在波面上，吸收能量要时间。,2023/9/22,26,1905年，爱因斯坦在能量子假说基础上提出光子理论：,认为光不仅在与物质相互作用时（发射和吸收），

10、具有粒子性，而且在传播过程中也有粒子性。,一个频率为 的光子具有能量：,由能量守恒可得出：光电效应中，一个电子逸出金属表面后的最大动能：,A只与金属性质有关，与光的频率无关。A 称为逸出功。,获得1921年诺贝尔物理学奖,光由一群能量分立即量子化，且以光速运动的粒子（光子）组成。,爱因斯坦的光子学说,2023/9/22,27,*解释截止电压与频率成线性关系以及红限频率的存在。,*光照射阴极板时，电子吸收光子能量 解释光电效应几乎瞬时产生。,*饱和光电流强度与光强成正比-参与作用的光子数多,爱因斯坦的光子学说,2023/9/22,28,1916年，密立根实验证实了光子论的正确性，并测得h=6.5

11、710-34 焦耳秒。光的波动性（p）和粒子性（）是通过普朗克常数联系在一起的。,相对论质能关系：,光子的静止质量为零!,因为：,光子的动量：,光子的能量、动量和质量,获得1923年诺贝尔物理学奖,波粒二像性,光的波粒二象性,2023/9/22,29,6 康普顿效应(19221923),2023/9/22,30,1.X射线在石墨上的散射实验结果：,(1)散射的射线中有与 入射波长 相同的射线,也有波长 的射线.,(2)散射线中波长的改变量 随散射角 的增加而增加。,(3)同一散射角下 相同,与散射物质无关；原子量较小的物质，康普顿散射较强。,康普顿散射,2023/9/22,31,（2）康普顿的

12、解释：,X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞:,碰撞过程中能量与动量守恒：,2.康普顿效应验证光的量子性,（1）经典电磁理论的困难：,2023/9/22,32,波长偏移：,(4)2-(3)得,2023/9/22,33,X射线光子与束缚很紧的电子碰撞:,可见：与0无关，只与散射角 有关，、。,X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞；,X射线光子与束缚很紧的电子碰撞：,由上面两点可推知：,原子量较大的物质，电子束缚很紧,原子量较小的物质，电子束缚很弱,自由电子,康散射较弱,2023/9/22,34,3.康普顿散射实验的意义,康普顿散射进一步证实了光子论，证明了光子能量、动量表示式的正确性

13、，光确实具有波粒二象性。另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、动量守恒定律。,1923年威尔逊云室实验观测到了反冲电子轨迹；验证了康普顿解释,合得1927年诺贝尔物理学奖,2023/9/22,35,4.康普顿散射与光电效应的区别,(1)康普顿效应中光子被散射,只将部分能量交给自由电子，而光电效应中光子被束缚电荷整个吸收。,康普顿效应中光子的能量不能被自由电子全部吸收?,反证：假设电子完全吸收光子的能量 hv,由能量守恒：,由动量守恒：,(2)在光电效应中会观测到康普顿效应?,观察不到,入射波长与 C时康普顿效应才显著,2023/9/22,36,康普顿解释中部分能量传递给电子与光子概念矛盾

14、?,2023/9/22,37,历 史 回 顾,旧量子论：,普朗克的能量子假设,爱因斯坦的光子说、康普顿效应,玻尔的氢原子模型、量子态,经典物理中的波和粒子、光的波粒二象性,经典物理：证实了光的波动性早期量子论：证实光的波粒二象性,波动性,微粒性,h,7 波粒二象性,2023/9/22,38,1918年、普朗克、能量子（1900）1921年、爱因斯坦、光子说和光电效应解释（1905）1922年、玻尔、原子模型及其发光（1913）1923年、密立根、电子电量测量(1911)和h的测量(1914)1925年、弗兰克和赫兹、电子原子碰撞实验（1914）1927年、康普顿和威尔逊、康普顿效应(1922)

15、1929年、德布罗意、物质波（1924）1932年、海森伯格、量子力学（1925）1933年、薛定鄂和狄拉克、量子波动力学(1925、1927)1937年、戴维逊和汤姆逊、电子衍射实验（1927）1945年、泡利、泡利不相容原理（1924）1954年、玻恩、波函数统计解释（1926）1986年、毕宁和罗尔、扫描隧道显微镜（1981）,2023/9/22,39,经典物理：证实了光的波动性早期量子论：证实光的波粒二象性,波动性,1924年，德布罗意提出，实物粒子（电子、质子、中子、分子、）也具有波粒二象性.,一、物质波的提出,微粒性,h,2023/9/22,40,物质波:,在微观上，如电子m=9.

16、110-31Kg，速度V=5.0107m/s,对应的德布罗意波长为：,1924年，德布罗意的博士论文量子理论研究,获得1929年诺贝尔物理学奖,2023/9/22,41,德布罗意还指出：氢原子中电子的圆轨道运动，它所对应的物质波形成驻波，圆周长应等于波长的整数倍。,再根据德布罗意关系,得出角动量量子化条件,德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。光速c 是个“大”常数；普朗克常数 h 是个“小”常数。,2023/9/22,42,2.自由粒子的德布罗意波长,若自由电子是经过电场 U 加速，则有,自由粒子运动速度,2023/9/22,43,(1).戴维逊革末电子衍射实验(1927)：,3.

17、物质波的实验验证,2023/9/22,44,实验结果：U=54v，在=500处，射线强度有一极大。,德氏电子波长：,Ni的晶格常数：,d 0=2.15,取 k=1,理论值与实验值吻合较好!,A,Ni晶体,(1).戴维逊革末电子衍射实验(1927)：,d0,d,2023/9/22,45,(2).电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X 射线一样产生衍射现象。,戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享1937年的物理学诺贝尔奖金.,（汤姆逊1927）,（约恩逊1961),2023/9/22,46,(3).量子围栏,1993年，等人 Science,1993,262：218。

18、用扫描隧道显微镜技术，把蒸发到铜表面上的48个铁原子排列成圆环形的量子围栏，实验观测到了在围栏内形成的同心圆状的驻波，它直观地证实了电子的波动性。,在量子围栏内，铜的表面电子波受到铁原子的强散射作用，与入射的电子波发生干涉，形成驻波。,量子围栏,2023/9/22,47,原子能级及粒子数的正常分布,原子每一个能量状态称为原子的一个能级，其中最低的能级称为基态，高于基态的其余各能级称为激发态。,8 光子和原子系统的相互作用,若原子处于热平衡，各能级上粒子数目的分布将服从波尔兹曼正则分布律。,室温下，绝大部分原子处于基态。,2023/9/22,48,光的自发发射、受激发射和受激吸收,1.自发发射,

19、处于高能级的原子，自发跃迁到低能级上，并辐射出一个光子的过程，称为自发发射。,自发发射是一个随机过程，处于高能级的各个原子随时地、独立地自发发射光子，形成一串串波列。这些波列在位相、偏振态和传播方向上都彼此无关，因此自发发射的光波是非相干的。,2023/9/22,49,光的自发发射、受激发射和受激吸收,2.受激吸收,处于低能级E1的原子，受到频率为外来入射光照明时，可以吸收光子能量=h=E2-E1而跃迁到高能级E2上的过程，称为受激吸收。,3.受激发射,处于激发态E2的原子，在受到频率刚好满足h=E2-E1的外来光子的激励时，可以由高能级E2跃迁到低能级E1上，并发射一个同频率的光子。这个过程

20、称为受激发射。,与自发发射不同，受激发射光子与入射光有相同模式，即受激发射的光波在频率、位相、偏振态等方面都与外来光相同，所以受激发射光波是相干的。,2023/9/22,50,爱因斯坦公式,自发发射过程中，单位时间内从高能级E2跃迁到低能级E1的粒子总数dN21/dt只与始态E2上的粒子数N2成正比，而与辐射场无关，即：,对于受激吸收过程，单位时间从低能级E1跃迁到高能级E2的粒子总数dN12/dt，除与始态上的粒子数N1有关，还与频率满足h=E2-E1的外来入射光的光子数密度u()成正比。,对于受激发射过程，单位时间从能级E2向能级E1跃迁的粒子数，则应满足：,爱因斯坦系数,2023/9/2

21、2,51,爱因斯坦公式,当系统处于热平衡状态时，其能量必须保持恒定，即单位时间内受激吸收的光子数应等于自发发射和受激发射的光子总数。于是：,解之得：,对于热平衡系统，按波尔兹曼分布律：,2023/9/22,52,爱因斯坦公式,而由普朗克公式可得：,由于二式均描写热平衡状态，二式应相等，故：,以上两式称为爱因斯坦公式。由于系数与分布状态无关，故两式适合普遍情况。,2023/9/22,53,光的吸收和增益,当一束频率为的光通过具有能级E2和E1(h=E2-E1)的介质时，将同时发生受激吸收和受激发射过程。,当N2/N11时，宏观效果表现为光被吸收；,当N2/N11时，宏观效果表现为光被放大，或称光

22、增益；出现所谓“粒子数反转”分布情况。,能够造成粒子数反转分布的介质称为激活介质或增益介质。实现粒子数反转是产生激光的必要条件，这只有在非热平衡状态下才能达到。,2023/9/22,54,能级的寿命,粒子在能级上停留的平均时间，称为粒子在该能级上的平均寿命，简称寿命。,积分得：,反映了粒子平均在E2能级上停留时间的长短，即粒子在E2能级上的寿命。它恰好是E2上粒子减少为初始时间时的1/e所用的时间。,因此，A21具有时间倒数的量纲。,寿命特别长的激发态称为亚稳态，其寿命可达10-31秒，而一般激发态寿命仅有10-8秒。,2023/9/22,55,激光器的组成,激光器一般由工作物质、激励源和谐振

23、腔三部分构成。,9 激光的形成,一些名词：泵浦、光抽运、光反馈、内腔式激光器、外腔式激光器,2023/9/22,56,工作物质的粒子数反转和增益作用,要实现粒子数反转，工作物质内必须存在亚稳态，必须有激励源供给能量，粒子输运的全过程必须是一个循环往复的非平衡过程。,三能级系统、四能级系统,2023/9/22,57,工作物质的增益：,对于粒子数反转的激活介质，激光通过后将获得增益：,式中G为增益系数，表示介质对光的放大能力。,2023/9/22,58,谐振腔和阈值,经过从M1到M2一次反射(振荡)：,经M2透射出射后，光强减小为：,M2反射的光到达M1后，,再经M1反射，光强为：,若要求光在一次

24、振荡过程中产生的增益大于其损耗，则要求：,上式称为谐振腔的阈值条件。使上式成立的系统增益值Gm就是谐振腔的阈值增益。,2023/9/22,59,谐振腔和阈值的讨论：,实际上，在GGm时，随着光强的增大，工作物质的实际增益G将下降，直至G=Gm时，光强就维持稳定。,综上所述，形成稳定激光输出的必要条件有两个，一个是在激光器工作物质内的某些能级间实现粒子数反转分布，另一个就是激光器必须满足阈值条件。,2023/9/22,60,谐振腔对激光方向性的选择：,实际上，在激光器点燃时，首先进行的是增益介质中的自发辐射，满足谐振腔条件的自发辐射才能得到不断的反馈放大，从而最终构成全部的激光输出。,2023/

25、9/22,61,激光的纵模和横模：,谐振腔不仅使激光具有极好的方向性，同时还起着频率选择器的作用，使激光具有极好的单色性。,光波在腔内的稳定分布是满足干涉相长条件的驻波分布：,光场沿轴向传播的振动模式称为纵模。不满足上述频率关系的光波，不能产生谐振。,2023/9/22,62,激光的纵模和横模：,谐振频率是一系列分立的频率，其间隔k称为纵模间隔。,只有在激活介质所发射的谱线的频宽范围内，并同时满足阈值条件的那些谐振频率，才能形成激光。,从激光器输出的纵模数N，由激活介质的频宽和纵模间隔k的比值决定。,2023/9/22,63,激光的纵模和横模：,多纵模激光器与单纵模激光器，激光器的选模问题。单

26、模激光器一般指单纵模激光器。,2023/9/22,64,激光的纵模和横模：,激光腔内与轴向垂直的横截面内的稳定光场分布称为激光的横模。按其对称性可分为轴对称横模和旋转对称横模。,激光的模式一般用TEMmnk表示，TEM是电磁横波的缩写，k为纵模数，m、n分别表示在光束横截面内在x方向和y方向出现的暗区数。一般常见的TEM00模（气体激光器）。,横模的形成可视为光波衍射的结果。激光的纵模和横模，实际上就是从不同侧面反映了谐振腔所允许的光场的各种纵向和横向的稳定分布。,2023/9/22,65,2023/9/22,66,2023/9/22,67,2023/9/22,68,2023/9/22,69,

27、2023/9/22,70,光的量子性讨论,2023/9/22,71,1.不确定关系（测不准关系）,经典粒子(如质点)：,微观粒子(如电子)：,(1).位置和动量的不确定关系式,以电子单缝衍射为例说明此关系,质点在运动时，其坐标和动量是可以同时被测定的,其坐标和动量不能同时被测定（微观粒子的波粒二象性）,量子力学理论证明：在某确定方向上(如x方向)粒子的位置有不确定量x，对应动量的不确定量Px，两者有如下关系：,二、波函数,2023/9/22,72,设一束动量为P的电子通过宽为a=x 的单缝，产生衍射:,考虑其中一个电子从宽为x 的缝中通过,电子的坐标不确定范围是：,电子动量在 x 方向的分量：

28、Px=？,显然：过缝之后Px 0,若考虑电子落在中央极大内，则：,动量的最小不确定范围：,落在次极大的电子：,由单缝衍射极小：,可得：,2023/9/22,73,上式具有普遍意义。在三维运动中应有：,海森伯不确定关系的数学表达式,在确定粒子坐标越准确的同时（x越小）,确定粒子在这坐标方向上动量分量的准确度就越差(Px越大).,(2).能量和时间的不确定关系：,若一体系处于某状态的时间不确定量为t 那么，这个状态 的能量也有不确定范围E。（可解释光谱线宽度）,原子在某激发状态的时间越长，该态的能级宽度就越小;,E小的能级比较稳定，对基态 基态最稳定。,2023/9/22,74,非常小,令：h0,

29、那么：在任何情况下都可有x=0、Px=0,波,粒子,波粒二象性就将从自然界中消失,关于 h 的几句话：,2023/9/22,75,2.波函数,一个自由粒子有动能 E 和动量P，对应的德布罗意波的频率和波长：,宏观物体：,运动状态的描述：,运动规律的描述：,微观物体：,运动状态的描述：,波函数,不是经典的粒子,抛弃了“轨道”概念,不是经典的波，不代表实在的物理量的波动,但是：,物质波是波又是粒子，物质波既不是波也不是粒！,2023/9/22,76,现代量子论认为：由于仪器本身只能提供经典的波态或粒子态环境，换言之，仪器的作用是制造一个经典的波或粒子陷阱，当处于相干叠加态的微观粒子进入仪器后就落入

30、这个陷阱，要么呈波态，要么呈粒子态。,（1）单光子干涉,2023/9/22,77,现代量子理论：进入第一个分束镜之前，光子处在粒子与波的相干叠加态。,粒子态,波态,相干叠加态：,单光子干涉,2023/9/22,78,（2）薛定谔猫,1990 Rocheste Univ.J.Yeazell 光子猫.,若只做一个小时的实验，按照量子论的说法，猫将处在“不死不活”的叠加态，这对一个宏观的动物猫来说显然是荒谬的，然而量子论的确会给出这一预言，量子论的预言正确吗？,1935 薛定谔的著名猫佯谬:一个箱子里有一只猫和一盛有氰化物的密封容器，箱内有微量放射性物质R，其半衰期保证二小时内有一个原子衰变，衰变原

31、子放射射线触发继电器砸碎装有氰化物的容器，这样猫便立即死去。,2023/9/22,79,由经典物理知：频率为n、波长为l、沿x 方向传播的平面机械波可表示为：,用复数的表示：,得：,(3)自由粒子的波函数量子力学基本假设之一,2023/9/22,80,波函数,3.波函数的物理意义：(Born解释),波动：衍射图样最亮处，光振动的振幅最大，强度,微粒：衍射图样最亮处，射到此的光子数最多，,波函数是什么？,电子衍射实验解释:二者皆可.这意味着粒子与波一一对应,波函数又称为几率波,2023/9/22,81,与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比,几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的

32、单次过程。,宏观物体：讨论它的位置在哪里。,微观粒子：研究它在那里出现的几率有多大。,区别,2023/9/22,82,4.波函数的性质,几率密度,1）波函数具有归一性,粒子在整个空间出现的几率：,波函数的归一化条件,粒子在某区域出现的几率正比于该区域的大小，某时刻、在（x,y,z）附近的体积元 dt 中，出现粒子的几率为：,表示某时刻、在空间某地点附近单位体积内粒子出现的几率,=1,2023/9/22,83,4）单值性：波函数可不满足单值性，但波函数的模满足单值性。,2）连续性:,一定时刻，在空间某点附近，单位体积内，粒子出现的几率应有一定的量值。,在空间各点都有粒子出现的可能。,3）有限性:

33、,保证波函数是平方可积。,1）归一性：,2023/9/22,84,双缝干涉实验,进一步理解波函数（几率幅）,(1).机枪子弹射击,x,子弹一粒一粒发射，只开缝 1，子弹在靶上的分布为 r1；只开缝 2，子弹在靶上的分布为 r2；两缝同时开时，靶上的分布为r1和 r2 的简单相加。,2023/9/22,85,(2)电子双缝衍射 量子力学中态的叠加导致了在叠加态下观测结果的不确定性,当双缝同时打开时，一个电子同时处在1态和2态。双缝同时诱导的状态是它们的线性组合态。,单缝1使通过它的电子处于1态；单缝2使其处于2态。,双缝衍射中是电子自己和自己干涉，有些地方由于干涉而几率消失，有些地方则由于干涉而

34、几率加强！,2023/9/22,86,线性组合：,量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图样。,它是由微观粒子波粒二象性所决定的。,处于态1和态2的几率分别为：,双缝同时打开时，电子的几率分布为：,态叠加原理：统计规律中的几率幅相加律.（而不是几率的相加律）,2023/9/22,87,三、波函数叠加原理,(1)玻尔的原子定态与两能级模型,回顾：玻尔的原子定态假设,定态是经典轨道；定态是稳定的;定态轨道对应确定的能量或能级。,玻尔的错误在于用经典轨道概念去描述原子定态，但是定态具有稳定性及定态对应有确定能量值这二个观点，却至今保留在近代量子论中。,定态的概念发展为本征

35、态:各个物理量都有自己的定态或本征态，所谓某物理量的本征态，是指当微观粒子处在该状态时，其对应的该物理量具有确定的值。,2023/9/22,88,例如1：氢原子能量的定态（能量的本征态）：当氢原子处在这个状态时，实验测得能量有确定的值，我们也把本征态对应的确定能量值称为能量的本征值。,例如2：一个微观粒子处在自由运动状态，其动量有确定的值 p，我们就说这个微观自由粒子处在动量为 p 的本征态.,注意：同一物理量可有不同的本征值，不同的本征值有不同的本征态。,(1)玻尔的原子定态与两能级模型,线性代数 回 顾：,设 j 是数域 R 上线性空间X中的线性变换，如果对l R，存在一个非零向量 x，使

36、得 j(x)=lx，则称 l 为 j 的一个特征值，x 称为j 的属于l的一个特征向量。,2023/9/22,89,量子论:物理量的本征态 yi(i=1,2,n)能构成一组正交、归一、完备的基矢，本征态反映量子运动状态的确定性。此外，微观粒子还可以有一些态，处在这些态时，它们没有确定的物理量与之对应，我们称这种态为叠加态。,(1)两能级模型,等同任一矢量可按基矢展开一样，叠加态可按本征态展开！,如：电子双缝干涉实验,2023/9/22,90,(2)叠加态,实验证明：当微观粒子处在叠加态时，去测量其对应的物理量时，没有确定的结果，实验每次测的值可能是不一样的。但测量值只可能为参加叠加的各本征态的

37、本征值。,叠加态就是各本征态以不同几率出现的一个相加态，在叠加态中，各个本征态以一定的 几率 在叠加态中作出自己的贡献。,叠加态是一个相干态：,它表明微观粒子部分处在y1,部分处在y2。,用仪器测量时，会出现退相干过程，y 将塌缩到y1或者y2本征态。,如单光子干涉实验,2023/9/22,91,单光子干涉示意图,BS1,BS2,PD2,PD1,PD1：蓝色：2次穿过BS2，2次半波损失；红色：1次BS1，1次BS2，1次半波损失；则两者干涉相消；,PD2：蓝色：1次穿过BS2，2次半波损失；红色：1次BS1，2次半波损失；则两者干涉相长；,2023/9/22,92,(2)叠加态,叠加态所对应

38、的物理量的值，虽然是不确定的，然而，可以用实验每次测得的可能出现的本征态所对应的本征值，以及该值重复出现的次数（几率），来计算该物理量的平均值。叠加态是与可能出现的物理量本征值及其出现几率联系在一起的。,y1 态出现的几率,y2 态出现的几率,波函数：描述微观粒子本征态和叠加态的量。,叠加态：,两能级叠加态,本征态的线性组合,2023/9/22,93,(3)举例：两能级模型,设原子二个能级的本征态 y1和y2分别具有能量本征值E1和E2：,归一化波函数的矩阵表示：,波函数的内积定义：,例如：,2023/9/22,94,(3)举例：两能级模型,波函数的内积定义：,表示处在能量为定值E1的几率为1

39、,表示处在能量为定值E2的几率为1,定态,叠加态y,=1,2023/9/22,95,(3)举例：两能级模型,叠加态y,自己验算,表示：处在能量为E1的几率为；处在能量为E2的几率为,波函数其模的平方 表示几率的概念；波函数 是一个几率幅。与经典力学不一样，微观粒子的状态是用该状态对应的物理量值（本征值）及其出现的几率这两个实验可测量的量来标记，这是波函数内容包含的物理实质。,2023/9/22,96,例：光子的偏振态的叠加实验,经典检偏器,(1)入射线偏振光含有大量光子,(2)入射线偏振光只有一个光子,z,x,平行,垂直,一半吸收一半透过？,几率诠释！,一个偏振光束中，每一个光子处于一定的偏振

40、态。,部分处于平行晶轴方向的偏振态yx，部分处于垂直晶轴方向的偏振态yy.,2023/9/22,97,四、波函数的一些概念总结,问：若电子一个一个通过双缝，其结果会如何？,电子衍射实验表明：某时刻，在空间某地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方。,（1）波函数是几率波、几率幅,（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；,（3）波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内找到粒子的几率；,（4）波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；,y 和10y 描述的是同一个波函数。,2023/9/22,98,四、波函数的一些概念总结,（5）波函数是复数，波函数的矩阵表示以及内积运算,（6）本征值和本征态；,（7）本征态与 叠加态。,（8）自由粒子的波函数,（2）波函数是波粒二象性的体现：测不准关系；,（3）波函数模的平方表示在（x,y,z)附近处单位体积内找到粒子的几率；,（4）波函数满足的三个条件：归一化、连续和有限；,y 和10y 描述的是同一个波函数。,（1）波函数是几率波、几率幅,2023/9/22,99,课程结束,请注意复习和回顾.,