《微积分》第一篇第二章讲义导数.ppt

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1、高等数学基础微积分,第二章 极限、导数与微分(2),一、导数概念1、导数定义2、导数的几何意义3、微分的概念二、导数的求法三、隐函数的求导法四、高阶导数,复合函数求导法，隐函数求导法,本章难点：隐函数求导法,本章重点：,一、导数概念,1、导数的定义（P79）,导函数：,根据定义求导数:,【例如】,基本初等函数的导函数公式：P81,记住这些公式，也是我们以后求导函数的一种方法。,例如：,【练 习】,【解】,“直线的斜率及方程”,直线l的斜率k,直线l的方程：,2、导数的几何意义,根据函数的图像表示法，,函数 表示平面上的一条曲线。（如图）,进而根据直线的点斜式方程，,可有切线的方程：,【例1.2

2、】,【解】,于是切线方程为：,3、微分的概念,定义2.9（P86）,注意：可导一定可微。,实际上，从导数的四个记号中取两个，它们相等，就有：,改写为,称为函数的微分。,可见求微分只需要求导数。,求下列基本初等函数的微分,二、导数的求法,目标是：求出初等函数的导数,前面我们用定义求导数，这里将讨论求函数求导的一般方法。,根据初等函数的定义，可以从三个方面入手：,1、记住基本初等函数的导数 见P95上的导数基本公式；,2、掌握求导（微分）与四则运算的关系 见定理2.6，2.7，2.8 P88-90,【例2.1】,解：,【例2.2】P97 练习2.5 题1（1）,解：,【例2.3】,解：,【例2.4

3、】,解：,【例2.5】P98 题1（10）,解：,回顾：基本初等函数的导函数公式：,幂函数,指数函数,对数函数,多项式函数,熟记：五类基本初等函数 的求导公式,三角函数,掌握复合函数求导法定理2.9,定理2.9：即复合函数的导数 外函数的导数 内函数的导数。,直观地说就是两个函数，一个基本初等函数里面再套一个函数，就是复合。,如：,【求复合函数导数的步骤】,(1)分解函数；,(2)写成复合函数求导公式（定理2.9）,(3)代入，求导计算；,(4)还原u。,【例2.6】,解：,则u是中间变量,【例2.7】,【解】,于是,则u是中间变量,练习：形考册P3 题3（3）、（6）、（5）,解：,“导数乘

4、法法则”,三、隐函数求导,函数的表示形式,两个变量满足一个方程。,对于隐函数应该如何求导？,隐函数的导数，方法如下：,【第1步】方程两端都对自变量 x 求导；,【第2步】遇到含有y的式子，将 y 看成中间变量，应用复合函数求导法，先对y 求导，再乘以y 对x 的导数,【第3步】从最后的式子中解出因变量的导数。,【例3.1】P-94 例15,解：,方程两边对x求导，得：,将 y 看成中间变量,【例3.2】P-94 例16,解：,方程两边对x求导，得：,于是,【练习】形考册P-5 题4：(1)（2),解：,方程两边同时对x求导，有,解：,方程两边同时对x求导，有,方程两边同时对x求导，有,“乘法法则”,【解】,四、高阶导数,给定函数，它的导数，还是一个函数，于是又可以求导数，记为：，称为函数f(x)的二阶导数。进一步，可有三阶、四阶、等等，统称为高阶导数。,【例4.1】,解：,【例4.2】P-99 例3,【解】,形考册P-1 一、填空题 5,【解】,例4.3,解：,例4.4,解：,作业：中央形考册第3、4、5页,