《利用导数判断函数的单调性》.ppt

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1、利用导数判断函数的单调性,（4）.对数函数的导数:,（5）.指数函数的导数:,（3）.三角函数：,（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；,（2）.幂函数：(xn)/nxn1,一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式,2.导数的运算法则,（1）函数的和或差的导数(uv)/u/v/.,（3）函数的商的导数（）/=(v0)。,（2）函数的积的导数(uv)/u/v+v/u.,函数 y=f(x)在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时,函数单调性判定,单调函数的图象特征,1）都有 f(x 1)f(x 2)，,则 f(x)在G 上是增函数；,2）都有 f(x 1)f(x 2)，

2、,则 f(x)在G 上是减函数；,若 f(x)在G上是增函数或减函数，,增函数,减函数,则 f(x)在G上具有严格的单调性。,G 称为单调区间,G=(a,b),二、复习引入:,(1)函数的单调性也叫函数的增减性；,(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。,(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。,以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果

3、利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,三、新课讲解:,我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.,从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:,在区间(2,+)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)的值随着x的增大而增大,即 0 时,函数y=f(x)在区间(2,+)内为增函数.,在区间(-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 0 时,函数y=f(x)在区间(-,2)内为减函数.,f(x)0,f(x)0,由上我们可得以下的结论:,如果在某个区间内恒有,则 为常数.,例1:确定函数f(x)=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减

4、函数.,解:,由2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是增函数;,令2x-20,解得x1,因此,当 时,f(x)是减函数.,例2:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性,并画出f(x)草图.,解:f(x)=3x2-12x+9,令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时,f(x)是增函数.,令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当 时,f(x)是减函数.,故f(x)在(-,1)和(3,+)内是增函数,在(1,3)内是减函数.,而f(1)=1,f(3)=-3可得函数的大致图象,练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.,答案:递增区间是 和;递减区间是(

5、-2,1).,练习2:求函数y=3x2-6lnx的单调区间.,练习3:求函数y=xex的单调区间.,答案:递增区间是;递减区间是(0,1).,答案:递增区间是;递减区间是.,解:函数的定义域是(0,+),(1)f(x)=x/2-lnx+1,由 即 得x2.,注意到函数的定义域是(0,+),故f(x)的递增区间是(2,+);,由 解得0 x2,故f(x)的递减区间是(0,2).,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.,四、综合应用:,例1:确定下列函数的单调区间:,四、综合应用:,(2)f(x)=x/2+sinx;,解:(1)函数的定义域是R,令,解得,令,解得,因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:,例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范 围,并求其单调区间.,解:,若a0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.,若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.,若a0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.,故a0,其单调区间是:,单调递增区间:,单调递减区间:和,例3:,作业:,