41概率统计经典讲义.ppt

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1、第四章 随机变量的数字特征,理工大学理学院数理系计算数学教研室田作威,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.,一、离散型随机变量的数学期望,1.概念的引入,某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？,1 数学期望,若统计100天,例1 某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天

2、生产的废品数X是一个随机变量.如何定义X的平均值呢？,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为X的平均值呢？,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说,若统计n天,这是以频率为权的加权平均,由频率和概率的关系,不难想

3、到，在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为,这是以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.,定义1 设X是离散型r.v.，它的分布律是:,也就是说,离散型r.v.的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.,PX=xk=pk,k=1,2,2.定义,(1)两点分布,3.常见离散型随机变量的数学期望,X b(n,p),0 p 1,X b(1,p),0 p 1,(2)二项分布,E(X)=np,(3)泊松分布,X(),0,E(X)=,E(X)=p,二、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型r.v.，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则

4、X落在小区间xi,xi+1)的概率是,小区间xi,xi+1),阴影面积近似为,1.概念的引入,小区间xi,xi+1),由于xi与xi+1很接近,所以区间xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,阴影面积近似为,该离散型r.v.的 数学期望是,定义2 设X是连续型r.v.，其密度函数为 f(x),若积分,绝对收敛，则称该积分的值为r.v.X的数学期望，记为,也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,2.定义,若X U(a,b)，则,若X,若X E()，则,3.常见连续型随机变量的数学期望,这意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，

5、这些身高的平均值近似是1.68.,已知某地区成年男子身高X,三、随机变量函数的数学期望,1.问题的提出,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义计算出Eg(X).,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,2.定理,设X是一个随机变量，Y=g(X)

6、，则,当X为离散型时,P(X=xk)=pk是X的分布律;当X为连续型时,f(x)是X的密度函数。,该定理的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,设X N(0,1),求:E(X2),解:,例 2,设国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X(单位:吨),X服从区间2000,4000上的均匀分布.每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元;若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元.求:应组织多少货源,才能使国家收益最大?,例 3,设组织货源t吨，则2000 t 4000.国家收益Y(万元)是X的函数Y=g(

7、X)：,解:,由已知条件,X的概率密度函为,可算得当t=3500时,E(Y)达到最大，因此应组织3500吨货源.,前面我们给出了求g(X)的期望的方法.实际上定理的结论可以推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)的情形.,3.说明,稍事休息,设二维离散型r.v.(X,Y)的分布律为 P(X=xi,Y=yj)=pij(i=1,2,;j=1,2,.)则:,设二维连续型r.v.(X,Y)的密度函数为 f(x,y)则:,E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125,设二维离散型r.v.(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=g(X,Y)=X2+Y的期

8、望.,解:,例4,=4.25,设r.v.X和Y相互独立,概率密度分别为,求E(XY).,解:,G(X,Y)=XY,X和Y相互独立,例5,四、数学期望的性质,1.设C是常数，则E(C)=C;,4.设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2.若k是常数，则E(kX)=kE(X);,3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);,（诸Xi独立时）,五、数学期望性质的应用,例6 求二项分布的数学期望,若 Xb(n,p)，,则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数.,现在我们来求X的数学期望.,可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.,若设,则 X=X1+X2+Xn,=np,i=1,2，n,因为 PXi=1=p,PXi=0=1-p,所以 E(X)=,这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：,方差,