高等数学1-8同济第六版.ppt

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1、二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第八节 函数的连续性与间断点,第一章 函数与极限,引入,连续函数具有很强的几何直观，且在生活中有许多现实的例子.比如,随着时间的微小变化，我们的身高也进行微小的改变，气温也进行微小的变化，开着的汽车的行程也作了微小的变化。总得说来，可以抽象为随着自变量的微小变化，相应的函数值也只有微小的变化。来刻画这种相互依赖的微小变化用到的工具就是函数的连续性。,自变量与应变量的变化描述,x,y,O,y=f(x),一、函数在点 x0 连续的定义,记,于是，上述定义可以转化为,确切地，有以下定义：,一、函数在点 x0 连续的定义（续）,用极限的“”语言来描述：,单侧连续

2、的定义,(1)左连续:,(2)右连续:,区间上的连续函数,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,直观上，连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,在闭区间a,b上的全体连续函数的集合记作,在(,)上连续.,例1.,证:,由 x0 的任意性知函数 y=sin x在(,)内连续.,同样可证:函数 y=cos x在(,)内连续.,即,可见,函数 f(x)在点 x0 连续必须具备下列条件:,(3),二、函数的间断点,(1)函数 f(x)在点 x0,但,设 f(x)在点 x0 的某去心邻域内有定义,则有下列情,形之一的函数 f(x)在点 x0 不连续:,这样的

3、点 x0 称为间断点或不连续点.,无定义;,间断点的分类:,第一类间断点:,第二类间断点:,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如,在 处无定义.,在 x=0 处无定义.,在 x=1 处无定义.,x=0,x=1,补充定义 f(1)=？,则函数在 x=1 连续.,显然,x=1 为其可去间断点.,(5),x=0 为其跳跃间断点.,(4),修改定义 f(1)=？时可使函数在 x=1 处连续.,小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,(左右极限都存在),第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,(左右极限至少有一个不存在),2.f(x)在点 x0 间断的类型,1.f(x)在点 x0 连续的几种等价形式,可补充或修改定义使之成为连续点!,课堂练习,x=2 是第二类无穷间断点.,提示:,答案:x=1 是第一类可去间断点,可补充定义 f(1)=2 则函数就在 x=1 处连续.,3.确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故 x=1为跳跃间断点.,作业,P64-65 2(别忘了画图)3/(2)(3)(4)(需要详细说明理由)4,