高等数学(下)教学课件-d.ppt

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1、四、二次曲面,第三节,一、曲面方程的概念,二、旋转曲面,三、柱面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲面及其方程,第八章,一、曲面方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,离的点的轨迹方程.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1.,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F

2、(x,y,z)=0 的图形.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求方程为,例1.求动点到定点,的轨迹方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R,表示上(下)球面.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.研究方程,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,其图形可能是,表示怎样的曲面.,半径为,的球面.,球心为,一个球面

3、,或点,或虚轨迹.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义2.一条平面曲线,二、旋转曲面,绕其平面上一条定直线,旋转一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线,称为旋转轴.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶,角为 的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋

4、转时,圆锥面的方程为,两边平方,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求坐标面 xoz 上的双曲线,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、柱面,引例.分析方程,表示怎样的曲面.,的坐标也满足方程,解:在xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,

5、定义3.,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线l,形成的轨迹称为柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 称为准线,l称为母线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标

6、准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.椭球面,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.抛物面,(1)椭圆抛物面,(p,q 同号),(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.,

7、(p,q 同号),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.双曲面,(1)单叶双曲面,椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双曲线:,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,相交直线:,双曲线:,(2)双叶双曲面,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面,双叶双曲面,P18 目录 上页 下页 返回 结束,图形,4.椭圆锥面,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.

8、,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到,见书 P316),机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.二次曲面,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.指出下列方程的图形:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.P31 题3,10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题10 答案:,在 xoy 面上,作业,P31 2;4;7;8(1),(5);11,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,