专题3三角函数与平面向量ppt课件.ppt

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1、HUN-理科,数学,数学,数学,数学,决胜高考,专案突破,名师诊断,对点集训,【考情报告】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【考向预测】,纵观近几年高考关于三角函数与平面向量部分的命题可以看出:此部分内容占1522分左右.在解答题中对平面向量的考查,都不是以独立的试题形式出现,而是把平面向量作为解题的工具,渗透于解答题,如三角函数、圆锥曲线、数列等问题中.三角函数的解答题一般都为基础题,而三角函数与平面向量的小题一般都属于中低档题,不会太难.,三角函数的图象和性质,如周期、最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心);三角函数式的恒等变形,如利用有关公式求值和简单的综合问题等都

2、是考查的热点;平面向量主要考查共线,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(垂直)向量的充要条件、向量的数量积与夹角.,预测在2013年的高考试卷中,考查三角函数与平面向量部分的题为两小题一大题,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形,主要是运用正余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等;二、三角函数的图象与性质,主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.13年需要注意第二种题型的考查.难度为中低档题.,【知能诊断】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.(2012年江西)若tan+=4,则sin 2=(),(A).(B

3、).(C).(D).,【解析】tan+=44tan=1+tan2,sin 2=2sin cos=.,【答案】D,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2.若,(0,),cos=-,tan=-,则+2=.,【解析】,(0,),cos=-,tan=-(-,0),tan=-(-,0),(,),+2(,3),又tan 2=-,tan(+2)=-1,+2=.,【答案】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A等于(),(A)30.(B)60.(C)120.(D)150.,【解析】由sin C=2si

4、n B及正弦定理,得c=2b,代入a2-b2=bc,得a2-b2=b2b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理得cos A=,所以A=30.,【答案】A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,4.已知关于x的方程:x2+2x+=0(xR),其中点C为直线AB上一点,O是直线AB外一点,则下列结论正确的是(),(A)点C在线段AB上.,(B)点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.,(C)点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点.,(D)以上情况均有可能.,【解析】根据题意,由于A,B,C三点共线,故由=-x2-2x,可得-x2-2x=1,解之得x=-1,即=

5、-+2,化简整理可得:-=-=,故点C在线段AB的延长线上且点B为线段AC的中点.,【答案】B,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,5.(2012年江西)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,bsin(+C)-csin(+B)=a.,(1)求证:B-C=;,(2)若a=,求ABC的面积.,【解析】(1)由bsin(+C)-csin(+B)=a,应用正弦定理,得,sin Bsin(+C)-sin Csin(+B)=sin A,即sin B(sin C+cos C)-sin C(sin B+cos B)=,整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,名师诊断,专案

6、突破,对点集训,决胜高考,即sin(B-C)=1,由于0B,C,从而B-C=.,(2)B+C=-A=,因此B=,C=.,由a=,A=,得b=2sin,c=,=2sin,所以ABC的面积S=bcsin A=sinsin,=cossin=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,1.第1题容易想到是先通过条件tan+=4求出正切值,此时一方面解方程繁琐,另一方面又要讨论函数值的符号,此法不可取,显然必须切化弦,因此需利用公式tan=转化;sin2+cos2在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的.,2.第2题最困难的地方在于确定+2的范围,一般地,根据已知条件,把角的范围限制得越精确,

7、结果也越准确.否则角的范围容易被放大,导致错误.,3.第3题中,记错公式、忘记讨论角的范围或者代数运算不熟练是造成这类解三角形问题的出错的主要原因.这里选用余弦定理求角是,【诊断参考】,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,正确的,如果选用正弦定理求角就不合理,一是出现两个角,二是要讨论舍弃一个角,更容易出错.,4.第4题考查向量的线性运算及三点共线的充要条件及探究能力,此题学生最大的思维障碍是向量的三点共线的条件的转化,即由A,B,C三点共线,O为直线AB外一点,若=+,则+=1,从而可解决本题.,5.第5题是考试说明中“考查考生对数学本质的理解”的典范,很多考生拿到三角题的定势思维就是看

8、能不能利用条件整体化去凑角,这样一来出现一些平时成绩好的学生走入死“胡同”,真是“弄巧成拙”.其实本题的解法就是最简单地把角拆开,整理就可以了.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【核心知识】,一、三角函数及解三角形,1.y=Asin(x+)(A0)的图象特点:(1)在对称轴处取得最大值或最小值;(2)对称中心就是函数图象与x轴的交点;(3)两相邻的对称中心(或对称轴)之间相差半个周期,相邻的一个对称中心和对称轴之间相差四分之一个周期.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由y=Asin(x+)的图象求其函数式:在给出图象要确定解析式y=Asin(x+)的题型中,有时从寻找“五点”中

9、的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置.,2.三角函数的恒等变换:从函数名、角、运算三方面进行差异分析,常用的技巧有:切割化弦,降幂,用三角公式转化出现特殊角,异角化同角,异名化同名,高次化低次等.二倍角公式是实现降幂或升幂的主要依据,注意其变形:1+cos 2=2cos2,1-cos 2=2sin2,cos2=,sin2=.,3.正弦定理,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则=2R(R为三角形外接圆的半径).,4.余弦定理,已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则a2=b2+c2-2b

10、ccos A,cos A=,另外两个同样.,5.面积公式,已知在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C的对边,则,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(1)三角形的面积等于底乘以高的;,(2)S=absin C=bcsin A=acsin B=(其中R为该三角形外接圆的半径);,(3)若三角形内切圆的半径是r,则三角形的面积S=(a+b+c)r;,(4)若p=,则三角形的面积S=.,6.航海和测量中常涉及仰角、俯角、方位角等术语.,二、平面向量,1.平面向量的基本概念,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2.共线向量定理,向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使b=a.

11、如果向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab 的充要条件是x1y2=x2y1或者x1y2-x2y1=0,即用坐标表示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交叉之积相等.当其中一个向量的坐标都不是零时,这个充要条件也可以写为=,即对应坐标的比值相等.,3.平面向量基本定理,对于任意向量a,若以不共线的向量e1,e2作为基底,则存在唯一的一组实数对,使a=e1+e2.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,4.向量的坐标运算,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1).,5.数量积,(1)已知a,b

12、的夹角为=(0,),则它们的数量积为ab=|a|b|cos,其中|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影,向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律,但不满足结合律,即a(bc)(ab)c;,(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;,(3)两非零向量a,b的夹角公式为cos=;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(4)|a|2=aa.,(5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.,【考点突破】,热点一:三角函数定义及简单的三角恒等变换,(1)若0,-0,cos(+)=,cos(-)=,则cos(+)等于(),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高

13、考,(A).(B)-.(C).(D)-.,(2)(2011年重庆)已知sin=+cos,且(0,),则的值为.,【分析】(1)角的变换:+=(+)-(-);(2)先化简,再求解.,【解析】(1)cos(+)=,0,sin(+)=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,又cos(-)=,-0,sin(-)=.,cos(+)=cos(+)-(-),=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=+=.,(2)(法一)=,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,=,=-(cos+sin),sin=+cos,cos-sin=-,两边平方得1-2sin cos=,2sin cos=.,(0,)

14、,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,cos+sin=,=-.,(法二)由条件得cos-sin=-,两边平方得1-2sin cos=,所以sin 2=.所以由(0,),且cos sin,知(,),所以2(,),所以cos 2=-=-.于是=-.,【答案】(1)C(2)-,【归纳拓展】在进行三角恒等变换时,一个重要的技巧是进行角的变换,把求解的角用已知角表示出来,把求解的角的三角函数使用已,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,知的三角函数表示出来,常见的角的变换有:+2=2(+),=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-),+=2,=(-)-(-)等.在进行三角函数化简

15、或者求值时,如果求解目标较为复杂,则首先要变换这个求解目标,使之简化,以便看出如何使用已知条件.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练1(1)已知=,则tan+的值为(),(A)-8.(B)8.(C)-.(D).,(2)若sin+2cos=0,则的值为(),(A)-.(B).(C).(D)-.,【解析】(1)=,即cos-sin=,即sin cos=-,所以tan+=-8.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由已知sin+2cos=0得tan=-2,所以=-.,【答案】(1)A(2)A,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,如图,在平面直角坐标系中,锐角、的终边分别与

16、单位圆交于A、B两点.,(1)如果tan=,B点的横坐标为,求cos(+)的值;,【分析】利用三角函数的定义和三角函数线的定义解题.,【解析】(1)已知是锐角,根据三角函数的定义,得sin=,cos=,又cos=,且是锐角,所以sin=.,所以cos(+)=cos cos-sin sin=-=-.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)依题意得MA=sin,NB=sin,PC=sin(+),因为,(0,),所以cos(0,1),cos(0,1),于是有sin(+)=sin cos+cos sin sin+sin.,又+(0,),-1cos(+)1,sin=sin(+)-=sin(+)c

17、os-cos(+)sin sin(+)+sin.,同理,sin sin(+)+sin.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由可得,线段MA、NB、PC能构成一个三角形.,【归纳拓展】三角函数的定义以及三角函数线的定义的使用是解决例2的关键.,近几年的高考试题对三角函数基本关系考查常以选择题、填空题的形式出现,分值在5分左右.其考查重点是基础知识,考查要点是三角函数值的计算、三角函数符号的判断、角的象限的判断等.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练2已知向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直,其中(0,).,(1)求sin 和cos 的值;,(2)若sin(-)

18、=,0,求cos 的值.,【解析】(1)a与b互相垂直,ab=sin-2cos=0,即sin=2cos,代入sin2+cos2=1得sin=,cos=,又(0,),sin=,cos=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)0,0,-,cos(-)=,cos=cos-(-),=cos cos(-)+sin sin(-)=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点二:三角函数的图象与性质,此类题型在高考中主要以小题形式出现,考查三角公式中的和(差)角公式、倍角公式的应用,三角函数的单调性、周期性、对称轴、对称中心、最值、图象的变换也是常考的内容.考题一般属中低档题,熟记并灵活运用相

19、关公式和性质是解决此题型的关键.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(1)函数f(x)=2sin(x+)(其中0,-)的图象如图所示,若点A是函数f(x)的图象与x轴的交点,点B、D分别是函数f(x)的图象的最高点和最低点,点C(,0)是点B在x轴上的射影,则=.,(2)函数f(x)=xcos x2在区间0,4上的零点个数为(),(A)4.(B)5.(C)6.(D)7.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(3)若函数f(x)=sin x(0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,则等于(),(A)3.(B)2.(C).(D).,【分析】(1)f(x)=2sin(x+)中的各个参

20、数中,与T有关,与平移或对称轴等有关.能够由图得出与,然后利用数量积公式.,(2)利用零点转化为解方程即可.,(3)能够从已经给出的单调区间结合图象得出.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【解析】(1)由图象易得f(x)=2sin(2x+),则得A(-,0),B(,2),D(,-2),=(,2)(,-4)=-8.,(2)f(x)=0,则x=0或cos x2=0,x2=k+,kZ,又x0,4,k=0,1,2,3,4,所有共有6个解,选C.,(3)函数f(x)=sin x(0)在区间0,上单调递增,在区间,上单调递减,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,则=,即=,答案应选C.,(另解

21、一)令x2k-,2k+(kZ)得函数f(x)在x-,+(kZ)为增函数,同理可得函数f(x)在x+,+(kZ)为减函数,则当k=0,=时符合题意,即=,答案应选C.,(另解二)由题意可知当x=时,函数f(x)=sin x(0)取得极大值,则f()=0,即cos=0,即=k+(kZ),结合选择项即可得答案应选C.,(另解三)由题意可知当x=时,函数f(x)=sin x(0)取得最大值,则,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,=2k+(kZ),=6k+(kZ),结合选择项即可得答案应选C.,【答案】(1)-8(2)C(3)C,【归纳拓展】三角函数图象的形状和位置特征,要准确掌握,如对称中心是图

22、象与x轴的交点,对称轴经过图象的最高点或最低点,图象平移应注意整体代换.能够熟练画出简图,然后能够借助正弦函数的图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结合去解决问题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练3(1)设R,则“=0”是“f(x)=cos(x+)(xR)为偶函数”的(),(A)充分而不必要条件.,(B)必要而不充分条件.,(C)充分必要条件.,(D)既不充分也不必要条件.,(2)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图所示,则f()=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【解析】(1)函数f(x)=cos(x+)若为偶函数,则有=k,kZ,

23、所以“=0”是“f(x)=cos(x+)为偶函数”的充分不必要条件,选A.,(2)(法一)由图象知A=2.f(x)的最小正周期T=4(-)=,故=2.将点(,2)代入f(x)的解析式得sin(+)=1,又|,=,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+),故f()=-2.,(法二)已知函数最大值为2,最小正周期T=4(-)=,而=+(x=与x=相差半个周期),故f()=-2.,【答案】(1)A(2)-2,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,已知函数f(x)=2sin(x+)(0,)的部分图象如图所示.,(1)求f(x)的表达式;,(2)求函数f(x)在区间,2上的最大值和最小值.

24、,【分析】先结合图象确定和,再求最值.,【解析】(1)由题意可得=-(-),=,因此f(x)=2sin(x+),又f()=2,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,即sin(+)=1,而,故=,故f(x)=2sin(x+).,(2)由(1)可知f(x)=2sin(x+)=-2sin(x+),由x,2,则x+,最大值为,最小值为-2.,【归纳拓展】(1)解决三角函数图象题要能够熟练画出简图,然后能够借助三角函数的图象结合三角函数的基本性质,充分利用数形结合去解决问题.,(2)要求正弦型函数f(x)=Asin(x+)的解析式,一般通过以下几个步骤实现:根据振幅求出A;根据图象的最高点、最低点或与

25、x轴的,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,交点求周期,再求出;根据特殊值求出初相,或者利用正弦函数对称轴与对称中心之间的关系直接求解.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练4已知函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x.,(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;,(2)需要把函数y=f(x)的图象经过怎样的变换才能得到函数g(x)=cos x的图象?,(3)在ABC中,A、B、C分别为三边a、b、c所对的角,若a=,f(A)=1,求b+c的最大值.,【解析】(1)f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x=sin 2x+cos 2x=

26、2sin(2x+),最小正周期为T=,由-+2k2x+2k(kZ)可得-+kx+k(kZ).,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,即函数的单调递增区间为(kZ).,(2)要得到函数g(x)=cos x的图象只需把函数y=f(x)的图象经过以下变换得到:把函数y=f(x)横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变得到函数y=2sin(x+)的图象;再把函数y=2sin(x+)的图象纵坐标缩短为原来的,横坐标不变,得到函数y=sin(x+)的图象;再把函数y=sin(x+)的图象向左平移个单位得到y=g(x)=sin(x+)=cos x的图象.,(3)由f(A)=1可得2sin(2A+)=1,即sin

27、(2A+)=,又0A,所以A=.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即3=b2+c2-bc,即3=(b+c)2-3bc.又bc,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,()2,所以3=(b+c)2-3bc(b+c)2-3()2,故b+c2,当且仅当即b=c=时,b+c取得最大值2.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点三:向量的基本运算、数量积,运用坐标对向量的加、减、数乘、数量积进行运算是基本考查内容.向量的共线问题及垂直问题,求模长及夹角问题是考查重点.解三角形问题也是考查的重点之一,此题型难度中等,一般是小题.综合解三角形问题常为解答题.,(1)设x,yR,向量a=

28、(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|等于(),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(A).(B).(C)2.(D)10.,(2)(2011年湖南)在边长为1的正三角形ABC中,设=2,=3,则=.,(3)给出下列命题:,已知向量a,b,c均为单位向量,若a+b+c=0,则ab=;,ABC中,必有+=0;,四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=;,已知P为ABC的外心,若+=0,则ABC为正三角形.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,其中正确的命题为.,【分析】(1)能够利用向量平行与垂直进行转化,从而计算出模的大小.,(2)把向量与用正三角形AB

29、C的三条边所在的向量表示,再对数量积进行运算.,(3)应该掌握向量的基本知识、基本概念.,【解析】(1)因为ac,bc,所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即a=(2,1),b=(1,-2),所以a+b=(3,-1),|a+b|=,选B.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由题=-=-,=-=-,所以=(-)(-)=-+=-.,(3)命题错误,ab=-;命题都是正确的.,【答案】(1)B(2)-(3),【归纳拓展】(1)能够掌握向量的基本概念、平面向量线性运算,即加法、减法运算以及数量积的运算.,(2)能够利用向量垂直条件得到相应的三角函数间关系,借助正余弦,定

30、理进行解题.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练5(1)已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(b-2,a-2),且mn,c=2,C=,则ABC的周长的最小值是.,(2)在ABC中,AB=2,AC=3,=1,则BC等于(),(A).(B).(C)2.(D).,(3)(2012年广东)对任意两个非零的平面向量和,定义=.若平面向量a,b满足|a|b|0,a与b的夹角(0,),且ab和ba都在集合|nZ中,则ab等于(),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(A).(B)1.(C).(D).,【解析】(1)由题意可知mn=0,即a(b-2)+

31、b(a-2)=0,a+b=ab,由余弦定理可得到4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(a+b)2-3ab-4=0,即(ab)2-3ab-4=0,解得ab=4(舍去ab=-1),故三角形周长a+b+c=a+b+22+2=6.,(2)由右图知=|cos(-B)=2|(-cos B)=1.,cos B=.又由余弦定理知cos B=,解得BC=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(3)由定义=可得ba=,由于|a|b|0及(0,)得01,从而=|a|=2|b|cos,ab=2cos2.由(0,)cos 1cos2112cos22,故答案为C.,【答案】(1)6(2)A(3)C,名师诊

32、断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点四:三角函数图象的应用,考查y=Asin(x+)的图象和性质(值域、单调性、周期性),辅助角公式asin+bcos=sin(+)及三角函数的恒等变形,难度中等.,已知向量a=(cos x-sin x,sin x),b=(-cos x-sin x,2cos x),设函数f(x)=ab+(xR)的图象关于直线x=对称,其中,为常数,且(,1).,(1)求函数f(x)的最小正周期;,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)若y=f(x)的图象经过点(,0),求函数f(x)在区间0,上的取值范围.,【分析】求周期问题同样应该把f(x)化为Asin(x+)的形

33、式,然后再进行解题.,【解析】(1)f(x)=sin2x-cos2x+2sin xcos x+=-cos 2x+sin 2x+=2sin(2x-)+.,由直线x=是y=f(x)图象的一条对称轴,可得,sin(2-)=1,所以2-=k+(kZ),即=+(kZ).,又(,1),kZ,所以k=1,故=.,所以f(x)的最小正周期是.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由y=f(x)的图象过点(,0),得f()=0,即=-2sin(-)=-2sin=-,故f(x)=2sin(x-)-.,由0 x,有-x-,所以-sin(x-)1,得-1-2sin(x-)-2-,故函数f(x)在0,上的取值

34、范围为-1-,2-.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【归纳拓展】解答三角函数的图象与性质类的试题,变换是其中的核心,把三角函数的解析式通过变换,化为正弦型、余弦型、正切型函数,然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行研究.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练6,如图是函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,0)的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,点F(0,1)是线段MD的中点,SCDM=.,(1)求函数f(x)的解析式;,(2)在CDM中,记DMN=,CMN=,证明:sin C=2cos sin.,名师诊断,专案突破,对点集

35、训,决胜高考,【解析】(1)由已知点F(0,1)是线段MD的中点,知A=2.SDMN=SCDM=,T=,=3.,f(x)=2sin(3x+),由M(-,0),sin(-+)=0,又0,=,f(x)=2sin(3x+).,(2)在CDM中,tan=3tan,得sin cos=3cos sin.,而sin C=sinDMC=sin(+)=2cos sin.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点五:三角变换与解三角形,三角变换与解三角形这两个知识块往往是结合在一起出现在高考试题中的,一般是先进行三角变换,后解三角形,题型往往是解答题,难度中等.当然,也经常出现独立的考查三角变换和解三角形的试

36、题.,(1)在ABC中,B=60,AC=,则AB+2BC的最大值为.,(2)(2012年四川)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至E,使AE=1,连结EC、ED,则sin CED=(),(A).(B).,(C).(D).,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【分析】(1)先通过解三角形把边的关系转化为三角函数关系,再求其最值.,(2)充分利用图形以及正、余弦定理进行解题.,【解析】(1)A+C=120C=120-A,A(0,120),=2BC=2sin A,=2AB=2sin C=2sin(120-A)=cos A+sin A,AB+2BC=cos A+5sin A=sin(A+)=

37、2sin(A+),故最大值是2.,(2)根据题意可知EC=,DE=,DC=1,在三角形CDE中由余弦定理有cosCED=,所以sinCED=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【答案】(1)2(2)B,【归纳拓展】(1)求n条边的和的最值问题,一般是要用正弦定理,把边的关系转化为三角函数的和,再用辅助角公式求出最值;,(2)在一个三角形中,已知三条边可求任意角的正弦、余弦、正切值.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练7(1)已知等腰三角形的顶角的余弦值为,则一个底角的余弦值为.,(2)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a=2,A=,c=,则ABC的面积为

38、(),(A).(B).,(C).(D).,【解析】(1)设顶角为A,底角分别为B、C,则B=C,由条件可知cos A=,cos 2B=cos(-A)=-cos A=-,即2cos2B-1=-,由条件cos B0,故cos B=,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,.,(2)由正弦定理可得=,故sin C=,于是cos C=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,ABC的面积为acsin B=.,【答案】(1)(2)A,(1)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,已知sin C+cos C=1-sin.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考

39、,求sin C的值;,若a2+b2=2(a+b)=8,求边c的值.,(2)(2012年大纲全国)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.,【分析】(1)由于有,要先用二倍角公式化简求值.,(2)本试题主要考查了解三角形的运用,给出两个公式,一个是边的关系,一个是角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好.,【解析】(1)由已知得2sincos+1-2sin2=1-sin,即sin(2cos-2sin+1)=0,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由sin0得2cos-2sin+1=0,即sin-cos=,两边平方得:sin

40、C=.,由sin-cos=0知sincos,则,即C,则由sin C=得cos C=-,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8+2,所以c=+1.,(2)由B=-(A+C),得cos B=-cos(A+C).,于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C),=2sin Asin C,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由已知得sin Asin C=.,由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.,由、得sin2C=,于是sin C=-(舍去)或sin C=.,又a=2c,所以C=.,【归纳拓展】(1)已知a,b边的关系结合第问的结论很容易想到用余弦定理

41、求c边.,(2)本试题主要考查了解三角形的运用,通过边角的转换,结合了三角,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,形的内角和定理的知识,以及正弦定理和余弦定理,求解三角形中的角的问题.试题整体上比较稳定,思路也比较容易想,先将三角函数关系式化简后,得到A,C角关系,然后结合a=2c,得到两角正弦值的二元一次方程组,自然很容易得到C角的值.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练8在ABC中,角A、B、C所对应的边为a、b、c.,(1)若sin(A+)=2cos A,求A的值;,(2)若cos A=,b=3c,求sin C的值.,【解析】(1)sin(A+)=2cos A,sin A

42、=cos A,cos A0,tan A=,又0A,A=.,(2)在三角形ABC中,cos A=,b=3c,a2=b2+c2-2bccos A=8c2,a=2c,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,由正弦定理得:=,而sin A=,sin C=.(也能根据余弦定理得到cos C=,0Csin C=),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点六:向量的应用,向量的应用问题主要集中在论证几何命题(如平行与垂直)、求最值、求值等问题上.常用的解题知识有:向量共线的充要条件、向量垂直的充要条件、平面向量的基本定理以及向量数量积的运算公式等.,(1)已知ABC为等边三角形,AB=2,设点P,Q满足

43、=,=(1-),R,若=-,则等于(),名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(A).(B).,(C).(D).,(2)若|a|=,|b|=1,且(a-2b)(2a+b),则a与b的夹角余弦是(),(A).(B).(C)-.(D)-.,【分析】(1)向量的计算“基底”是相当重要的,如果随心所欲地计算则是无济于事的,本题把=+=-b+(1-)c,=+=-c+b用b,c表示出来是关键.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)利用向量的夹角公式cos=即可.,【解析】(1)如图,设=b,=c,则|b|=|c|=2,bc=2,又=+=-b+(1-)c,=+=-c+b,由=-得-b+(1-)c

44、(-c+b)=(-1)|c|2-|b|2+(-2+1)bc=-,即4(-1)-4+2(-2+1)=-,整理得42-4+1=0,即(2-1)2=0,解得=,选A.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(2)由(a-2b)(2a+b)得(a-2b)(2a+b)=0,3ab=2a2-2b2=2,即ab=,cos=.,【答案】(1)A(2)B,【归纳拓展】(1)本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.,(2)考查向量垂直的充要条件与向量的夹角公式的应用.首先利用向量垂直的充要条件,求出ab,再利用向量的夹角公式计算夹角的余弦值.

45、,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练9(1)在平行四边形ABCD中,A=,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足=,则的取值范围是.,(2)已知向量a,b,c满足|a|=1,|a-b|=|b|,(a-c)(b-c)=0.若对每一个确定的b,|c|的最大值和最小值分别为m,n,则对任意b,m-n的最小值是(),(A).(B).(C).(D)1.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【解析】(1)(法一)设=(01),则=,=(1-)=(1-),则=(+)(+)=(+)+(1-)=+(1-)+(1-),又=21cos=1,=4,=1,=-2-2+5

46、=-(+1)2+6.,01,25,即的取值范围是2,5.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,(法二)以向量所在直线为x轴,以与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为AB=2,AD=1,所以A(0,0),B(2,0),C(,),D(,).设N(x,)(x),则BM=CN,CN=-x,BM=-x,M(2+-,(-x)sin).,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,根据题意,有=(x,),=(-,).,所以=x(-)+(x),所以 25.,(2)把三个向量的起点放在同一点O,如图所示,根据几何意义,由|a-b|=|b|,得OAB是等腰三角形,当(a-c)(b-c)=0时,(a-

47、c)(b-c),故点C在以AB为直径的圆上,|c|的最大值m和最小值n的差就是这个圆的直径,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,只有当B,E重合时这个直径最短,即m-n的最小值是.,【答案】(1)2,5(2)B,ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且有sin 2C+cos(A+B)=0.,(1)a=4,c=,求ABC的面积;,【分析】因为cos(A+B)=-cos C,所以先统一角度,再求解.,【解析】(1)sin 2C+cos(A+B)=02sin Ccos C-cos C=0cos C(2sin C-)=0,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,所以cos C=0或sin

48、C=,所以C=或C=或C=.,因为a=4c=,所以C=,由余弦定理得13=16+b2-4b,解得b=3或b=1,所以S=14sin=或S=34sin=3.,(2)因为A=,cos Bcos C,所以BC,所以C=,则B=.,-2-3=-|cos B+2|cos C+3|cos A=-|+|=(-|+|)|=0.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【归纳拓展】对于向量数量积的运算,本题只要掌握基本概念就可以迎刃而解,做题时,要切实注意条件的运用.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,变式训练10已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),|a-b|=.,(1)求cos(-)

49、的值;,(2)若0,-0,且sin=-,求sin.,【解析】(1)因为|a-b|=,所以|a-b|2=,则a2-2ab+b2=,又|a|=|b|=1,整理得:cos(-)=ab=.,(2)因为0,-0,sin=-,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,所以0-,cos=,又因为cos(-)=0,所以0-,sin(-)=,sin=sin(-)+=sin(-)cos+cos(-)sin=+(-)=.,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,热点七:应用题,三角知识的应用,常在测量方面命题.题目难度有时还较大,多以大题出现,解决此类问题应该先认真审题,将实际中的问题转化成为数学模型而后解之.,名师

50、诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,2012年5月中下旬,强飓风袭击某地,给南部与中西部造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难,救援队随时待命进行救援.某天,信息中心在A处获悉:在其正东方向相距80海里的B处有一艘客轮遇险,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距40海里的C处的救援船,救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB前往B处救援.,(1)若救援船的航行速度为60海里/小时,求救援船到达客轮遇险位置的时间(2.646,结果保留两位小数);,名师诊断,专案突破,对点集训,决胜高考,【分析】把问题转化为三角形中的边角关系,因此本题的关键是找出图中的角和边,利用余弦定理求出