集合的概念及表示方法.ppt

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1、,集合的含义与表示,（第一课时）,2010.9,集合的含义与表示,了解康托尔,德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。,学习目标,1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性.2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示.3.掌握常用数集及其专用符号，学会使用集合语言叙述数学问题.,数集 自然数的集合,有理数的集合,不等式x-73的解的集合,初中学习了哪些集合的实例,点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合)线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合),等等.,“请我们班所有的女生起立！”，

2、咱们班所有的女生是不是确定的对象？,“请我们班身高在1.70米的男生起立！”，他们是不是确定的？,其实，生活中有很多东西都是确定的都能构成集合。比如：中国的直辖市（北京，上海，天津，重庆）中国古代的四大发明（火药，印刷术，指南针，造纸术）新华字典里所有的汉字可以构成一个集合等 大家能不能再举一些生活中的实际例子呢？,由某些确定的对象组成的整体叫集合，简称集。其中，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。并规定：用花括号“”表示集合且常用大写拉丁字母A,B,C.表示。集合的元素常用小写拉丁字母a，b，c.表示。,集合的概念,集合元素具有以下三个特征,确定性：给定的集合，它的元素必须是确定 的

3、，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了,互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同。,无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置,这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.,判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:大于3小于11的偶数 我国的小河流(3)我们班上的高个子男生(4)我们班上的最高三位同学(5)1,2,2,3这四个数字 与 1,2,3这三个数字(6)著名的科学家(7)全体英文字母(8)直角坐标平面内的一些点,数的扩充,整数分数,有理数无理数,实数,自然数分数,常用的数集,判断0与N

4、,N*,Z的关系?,解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于弄清这个集合由哪些元素组成的.,空集：不含任何元素的集合,问题,如果用A表示高一（3）班学生组成的集合，a表示高一（3）班的一位同学，b表示高一（4）班的一位同学,那么A里面有没有a,有没有b？a、b与集合A分别有什么关系？由此看出元素与集合之间有什么关系？,由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用小写字母a,b,c等表示集合中的元素.,元素与集合的关系有两种:,如果一个元素a 在集合A中，记作:,如果a不是集合A的元素，记作：,元素与集合的关系,属于,或不属于,读作“元素m属于集合

5、A”,例如：用A表示“120以内所有的”质数组成的集 合，则有3 A，4 A。,质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，不能被其他正整数整除，那么这样的正整数叫做质数,问题(1)如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?(2)如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?,1,-2,把集合中的元素一一列举出来,并用花括号括起来表示集合的方法叫做列举法.,集合的表示方法,太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋,注意：1、元素间要用逗号隔开；2、不管次序放在大括号内。,例如：book中的字母的集合表示为：,，o，,(),1.确定性2.互异性3.无序性,集合的表示方法,例1 用列举

6、法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程 的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合.,解：(1)A=0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.(2)B=0，1.(3)C=2，3，5，7，11，13，17，19.,一个集合中的元素的书写一般不考虑顺序(集合中元素的无序性).,1.确定性2.互异性3.无序性,(1)您能用自然语言描述集合2,4,6,8吗?(2)您能用列举法表示不等式x-73的解集吗?,小于10的正偶数的集合,不能一一列举,(请阅读课本的内容),集合的表示方法,即：x|p(x),p(x)表示该集合中的元素x所具有的性质,X为该集合的代表元素

7、,例如：book中的字母的集合表示为：x|x是 book中的字母,集合的表示方法,(2)用描述法表示下列集合 1,-1 大于3的全体偶数构成的集合.,练习(1)用列举法表示下列集合,自然语言主要用文字语言表述,而列举法和描述法是用符号语言表述.列举法主要针对集合中元素个数较少的情况,而描述法主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的情况.,集合的表示方法,根据集合中元素个数的多少，我们将集合分为以下两大类：,1.有限集：,含有有限个元素的集合称为有限集 特别，不含任何元素的集合称为空集,记为,2.无限集：,若一个集合不是有限集，则该集合称为无限集,六、数集的分类,注意：不能表示为。,例3、

8、求方程x2+1=0的所有实数解的集合。,解：方程x2+1=0没有实数解，所以 x|x2+1=0，xR=。,思考：直线y=x上的点集如何表示？,解：A=(x,y)|y=x,练习：P.7.第3题。,基础练习,1.填空题,设集合-2,-1,0,1,2，时代数式的值则中的元素是,现有:不大于的正有理数.我校高一年级所有高个子的同学.全部长方形.全体无实根的一元二次方程四个条件中所指对象不能组成集合的,3,0,-1,2选择题,以下说法正确的()(A)“实数集”可记为R或实数集或所有实数(B)a,b,c,d与c,d,b,a是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元

9、素不确定,已知2是集合M=中的元素，则实数为()(A)2(B)0或3(C)3(D)0,2,3均可,C,c,（3）下列四个集合中，不同于另外三个的是：yy=2 B.xx=2C.2 D.xx2-4x+4=0,(4)由实数x,-x,x,所组成的集合 中，最 多含有的元素的个数为:A.2 B.3 C.4 D.5,（C）,（A）,（1）方程组 的解集用列举法表示为_；用描述法表示为.（2）集合 用列举法表示为.,3.填空,1.用描述法表示下列集合,1，4，7，10，13,1/3,1/2,3/5,2/3,5/7.,能力提高题,2.用列举法表示下列集合：（1）A=xN Z(2)B=N xZ,4.若-3 a-

10、3,2a+1,a2+1,求实数a的值.,3.求集合3，x,x2-2x中，元素x应满足的条件。,回 顾 交 流,今天我们学习了哪些内容？,第12页 习题1.1 A组 第1、2、3、4题,课堂作业,大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。1872年康托尔在瑞士结识了J.W.

11、R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文关于一切实代数数的一个性质中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。,格奥尔格康托尔康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大

12、学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。,1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。,康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在18791884年发表的题为关于无穷线性点集论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数

13、类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。在1891年发表的集合论的一个根本问题里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。,在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文

14、于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。,19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的

15、工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。他的著作有：G.康托尔全集1卷及康托尔-戴德金通信集等。康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。,