计算机图形学第三章-1(Basic).ppt

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1、清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,第三章 几何造型技术,几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术。描述物体的三维模型有三种:线框模型、表面模型和实体模型。线框模型用顶点和棱边来表示物体。由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体；它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点在物体内部、外部或表面上）。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面的边界。表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数控加工等需要。但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物体的

2、整体性质。如物体的表面积、体积、重心等。也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质，如是否相交等。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。是最高级的模型。这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的要求。三维表面模型表示三维物体的信息并不完整，但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模型，表面模型是它的基础,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,3.1 参数曲线和曲面,3.1.1 曲线曲面参数表示的基础知识显式表示:y=f（x）隐式表

3、示:f（x，y）=0参数表示:P(t)=x(t),y(t),z(t)显式或隐式表示存在下述问题：1）与坐标轴相关；2）会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）；,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,3）对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示；4）不便于计算机编程。参数表示的优点：1）以满足几何不变性的要求。2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状（3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,（5）变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量，便于用户把低维空间中曲线

4、、曲面扩展到高维空间去。（6）规格化的参数变量t0,1，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,3.1.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率,曲线上任一点的位置矢量可表示为：P(t)=x(t),y(t),z(t)；切矢量选择弧长s作为参数，则 是单位切矢根据弧长微分公式有：所以单位切矢是,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,法矢量与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N矢量积 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢矢我们可以推导出：,清华

5、大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,曲率和挠率 即称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率曲率k的倒数 称为曲率半径。挠率 的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对于弧长的转动率.,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,.对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,3.1.1.3 插

6、值、逼近、拟合和光顺,给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替，称为的线性插值函数。抛物线插值:已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造一个函数,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,使抛物线 在结点xi处与f(x)在xi处的值相等.,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为逼近曲线。插值和逼近则统称为拟合。光

7、顺(Firing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a.具有二阶几何连续性(G2)；b.不存在多余拐点和奇异点；c.曲率变化较小。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,3.1.1.4 参数化,参数t,在0,1区间的分割可以有无数种。因为P0、P1和P2可对应：其中每个参数值称为节点(knot)。对于一组有序的型值点Pi，确定一种参数分割ti，称之对这组型值点参数化。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,参数化常用方法有：均匀参数化(等距参数化)节点在参数轴上呈等距分布，+正常数。累加弦长参数化这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够克服型值点按弦长

8、分布不均匀的情况下采用均匀参数化所出现的问题。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,向心参数化法向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适用于非均匀型值点分布。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,修正弦长参数化法弦长修正系数Ki=1。从公式可知，与前后邻弦长及相,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角qi-1和q i(不超过时)越大，则修正系数就K i 就越大。参数区间的规格化我们通常将参数区间 规格化为0,1，只需对参数化区间作如下处理：,清华大学计

9、算机科学与技术系计算机图形学基础,3.1.1.5 参数曲线的代数和几何形式,我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。代数形式上述代数式写成矢量式是,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,几何形式对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)描述。将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和P1，代入 得,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,令：可将其简化为：上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何系数是P0、P1、P0和P1。称为调和函数（或混合函数）,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,

10、清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,3.1.1.6 连续性,曲线间连接的光滑度的度量有两种：函数的可微性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为 或n阶参数连续性。几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,若要求在结合处达到 连续或 连续，即两曲线在结合处位置连续：若要求在结合处达到 连续，就是说两条曲线在结合处在满足 连续的条件下，并有公共的切矢 当a1时，连续就成为 连续若要求在结合处达到 连续，就是说两条曲线在结合处在满足 连续的条件下，并有公共的曲率矢：,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,这个关系为：为任意常数。当，时，连续就成为 连续。,清华大学计算机科学与技术系计算机图形学基础,我们已经看到，连续保证 连续，连续能保证 连续，但反过来不行。也就是说 连续的条件比 连续的条件要苛刻。,