3第三章命题逻辑的推理理论.ppt

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1、2023/9/19,1,第三章 命题逻辑的推理理论,2023/9/19,2,3.1 推理的形式结构,所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程.本节所要研究的内容是以什么样的形式来进行推理,什么样的推理过程才是正确的推理过程,也就是说什么样的推理才是有效的推理.,2023/9/19,3,3.1 推理的形式结构,定义3.1 设A1,A2,Ak,B都是命题公式，若对于A1,A2,Ak,B中出现的命题变项的任意一组赋值，或者A1A2 Ak为假，或者当A1A2 Ak为真时，B也为真，则称由前提A1,A2,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效的结论。,2023/9/19,4,3.1 推理的形式结

2、构,关于定义3.1的说明：（1）由前提A1，A2，Ak 推 B 的推理 记作A1，A2，AkB,称为推理的形式结构。若推理正确，记作A1，A2，Ak|=B，否则：记作A1，A2，Ak|B。,2023/9/19,5,3.1 推理的形式结构,(2)对于任一组赋值，前提和结论的取值有以下四种情况：A1，A2，Ak为0，B为0。A1，A2，Ak为0，B为1。A1，A2，Ak为1，B为0。A1，A2，Ak为1，B为1。结论:情况下的推理是正确的.情况下的推理是错误的.,2023/9/19,6,3.1 推理的形式结构,（3）推理正确,并不能保证结论B一定为真,这与数学上的推理是不同的.判断下列推理是否正确

3、(1)p,pqq(2)p,qpq,2023/9/19,7,3.1 推理的形式结构,结论:(1)式正确.(2)式推理不正确.,2023/9/19,8,定理3.1 命题公式A1，A2，Ak 推 B 的推理正确当且仅当(A1 A2 Ak)B为重言式。（证明参见课本）本书中,一般采用(A1 A2 Ak)B作为推理的形式结构,并且把它写成下面的形式.前提：p,p q 结论：q推理的形式结构：(p(p q)q,2023/9/19,9,只要证明蕴涵式(p(p q)q为重言式即可。三种方式证明：真值表、等值演算、主析取范式。例：判断下列推理是否正确。1、今天小李或去网吧或去教室。他没去教室，所以他去网吧了。设

4、 p：小李去网吧。q：小李去教室。则,前提：p q,q结论：p推理的形式结构：(p q)q)p,2023/9/19,10,（1）真值表,2023/9/19,11,（2）等值演算法：(pq)q)p(pq)(qq)p(pq)p(pq)p pq p 1所以，推理正确，即(pq)q)p,2023/9/19,12,（3）主析取范式法：(p q)q)p(p q)q)p(p q)q p(p q)q p(p q)q(pp)p(qq)(pq)(qp)(qp)(pq)(pq)m0 m1 m2 m3 所以，推理正确，即(pq)q)p,2023/9/19,13,例：判断下列推理是否正确。2、若a能被4整除，则天下雨。

5、现在天下雨，所以a能被4整除。设 p：a能被4整除。q：天下雨。则，前提：p q,q 结论：p 推理的形式结构：(p q)q)p,答案：此推理不正确,2023/9/19,14,3、若下午气温超过30C，则王小燕必去游泳。若她去游泳，她就不去看电影了。所以，若王小燕没去看电影，下午气温必超过了30C。,p：下午气温超过30Cq：王小燕去游泳r：王小燕去看电影,前提：p q，q r结论：r p形式结构：(p q)(q r)(r p),2023/9/19,15,推理定律1.附加律 A(A B)2.化简律(A B)A3.假言推理(AB)A B4.拒取式(AB)B A5.析取三段论(A B)B A6.假

6、言三段论(AB)(BC)(AC)7.等价三段论(A B)(B C)(A C),2023/9/19,16,8.构造性二难(AB)(CD)(AC)(BD)(特殊形式)(AB)(AB)(A A)B 9.破坏性二难(AB)(CD)(B D)(A C)判断推理是否正确，上述三种方法演算量太大，故而应给出严谨的证明。证明是一个描述推理过程的命题公式的序列，其中的每个公式或者是已知前提，或者由某些前提应用推理规则得到的结论.要构造出严谨的证明必须在形式系统中证明。,2023/9/19,17,3.2 自然推理系统P,定义3.2 一个形式系统 I 由下列四个部分组成：（1）非空的字母表集，记作A（I）。（2）A

7、(I)符号构造的合式公式集，记作E(I)。（3）E(I)中一些特殊的公式组成的公理集,记作AX(I)。（4）推理规则集，记作R(I)。可以将I 记作为4元组其中是I 的形式语言系统 为I 的形式演算系统,2023/9/19,18,自然推理系统 P 定义如下：1、字母表（1）命题变项符号：p,q,r,（2）联结词符号：，（3）括号与逗号：(),2、合式公式 定义同1.63、推理规则,2023/9/19,19,推理规则,2023/9/19,20,推理规则(续),2023/9/19,21,推理的形式结构为：A1A2AkB证明时，要求首先写出：前提：A1 A2 Ak结论：,2023/9/19,22,证

8、明：p s 前提引入 s 前提引入 p 拒取式 p q 前提引入 q 析取三段论 q r 前提引入 r 假言推理 r(p q)合取,2023/9/19,23,例2：在自然推理系统中构造下列推理的证明。若a是实数，则它不是有理数就是无理数。若a不能表示成分数，则它不是有理数。A是实数且它不能表示成分数，所以a是无理数。p：a是实数。q：a是有理数。r：a是无理数。s：a能表示成分数。,前提：p(qr),s q,p s结论：r,2023/9/19,24,两种特殊的证明方法附加前提证明法,适用于此类蕴涵式的证明(A1 A2 Ak)(A B)(*)欲证明(*)式，只需证明(A1 A2 Ak A)B 即

9、可，因为,2023/9/19,25,(*)式(A1 A2 Ak)(A B)(A1 A2 Ak)(A B)(A1 A2 Ak)(A B)A1 A2 Ak A B(A1 A2 Ak A)B(A1 A2 Ak A)B(A1 A2 Ak A)B,2023/9/19,26,前提：p(q r),s p,q结论：s r,证明：s p 前提引入 s 附加前提引入 p 假言推理 p(q r)前提引入 q r 假言推理 q 前提引入 r 假言推理,2023/9/19,27,两种特殊的证明方法归谬法,适用于此类蕴涵式的证明(A1 A2 Ak)B将 B加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确.理由:,(A1 A2 Ak)B(A1 A2 Ak B）若(A1 A2 Ak B）为矛盾式，则(A1 A2 Ak)B 为重言式，即(A1 A2 Ak)B,2023/9/19,28,前提：p q,r q,r s结论：p,证明：p 结论否定引入 p q 前提引入 q 假言推理 r q 前提引入 r 析取三段论 r s 前提引入 r 化简规则 r r 合取,2023/9/19,29,用归谬法证明：前提：pq，pr结论：r q,2023/9/19,30,练 习 题1.(1)(3)(5)2.(1)6.(4)(5)(6)7.(2)8.(2)10,