线性代数4.3二次型与对称矩阵的有定性.ppt

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1、例1 考虑二次型,有,称此二次型是正定二次型.,相应的矩阵,为正定矩阵.,例 2 考虑二次型,4.3 二次型与对称矩阵的有定性,有,称此二次型是半正定二次型.,相应的矩阵,称为半正定矩阵.,例3 二次型,有,称此二次型是负定二次型.,相应的矩阵,为负定矩阵.,例4 考虑二次型,有,称此二次型是半负定二次型.,相应的矩阵,称为半负定矩阵.,定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型,如果对任何,都有,则称二次型,如果对任何,都有,则称二次型,是负定二次型.,A称为正定矩阵,A称为负定矩阵,是正定二次型.,定义4.4 对于具有对称矩阵 A 的二次型,如果对任何,都有,则称二次型,如果对任何,则称二

2、次型,是半负定二次型.,A称为半正定矩阵,A称为半负定矩阵,都有,且存在,且存在,使,使,是半正定二次型.,二次型 是正定的,有,有,二次型 是半正定的,有,且,使,有,且,使,例 二次型,不是 正定的;,(半),(半),也不是 负定的.,此时,称为不定的.,二次型 是负定的,二次型 是半负定的,例 二次型,对任何,故二次型,为正定二次型,故单位矩阵En,为正定矩阵.,设d1,d2,dn均大于0,事实上,对任何,故二次型,为正定二次型,故当d1,d2,dn 均大于0时,为正定二次型,为正定矩阵.,例 二次型,对任何,故此二次型为半负定二次型.,例 二次型,是不定的.,定理4.7对角矩阵,为正定

3、矩阵,证 充分性已证.,必要性:,设D是正定矩阵,则,如果A正定,由于C可逆，,方程组,只有零解.,A正定,所以矩阵B正定.,则B也正定.,C可逆。,要证,只须证,是否正定呢?,矩阵为正定矩阵的充分必要条件,准则2,准则4,准则1,A与单位矩阵 E 合同.,A的特征值都大于零,准则3,f 的正惯性指标为n,以下给出几个,作为判别准则.,存在,使得,矩阵A为正定矩阵,n 元二次型f 正定,矩阵A为正定矩阵,可逆矩阵C,如何判断一个矩阵或二次型,准则5 矩阵A为正定矩阵的充分必要 条件是,定义4.5,称为矩阵A的顺序主子式.,A的顺序主子式都大于零.,(定理4.9),例 判别下列矩阵或二次型是否正

4、定,A正定,解 二次型对应的矩阵为：,该二次型正定,解 二次型对应的矩阵为：,二次型不正定,课堂练习,判别二次型是否正定,例 取何值时,解 二次型对应的矩阵为：,时，二次型正定.,以下二次型为正定,证:A是实对称矩阵,A的所有特征值,准则4 矩阵A为正定矩阵,A的特征值都大于零,A正定,A的所有特征值,存在正交矩阵Q,使得,准则2 矩阵A为正定矩阵,A与单位矩阵E合同.,A是实对称矩阵,A的所有特征值,证 充分性:若,则由于 E 正定,必要性:设A正定,则A的特征值都大于0,则PT=P,P 与Q都可逆,故,故A正定.,存在正交矩阵Q,使得,也可逆，,准则3 n 元二次型f正定,f 的正惯性指标

5、为n,证 设 f=xTAx,其对应的矩阵A正定,存在可逆矩阵C，使得,经过非退化线性替换,二次型化为,f 的正惯性指标为n,二次型 正定,正定矩阵的性质:,(1)若A正定,证法1 A正定,A1的特征值都大于0，,证法2 A正定,即存在可逆矩阵C，使得,故A1正定.,D可逆,则A可逆,且A1也正定.,A的特征值都大于0,A的特征值都0,所以A可逆.,故A1正定,0是A的特征值,0不是A的特征值,正定矩阵的性质:,正定矩阵的主对角线上的元素都大于0,都有,证 设,正定,则,矩阵A负定,都有,证：A负定,都有,矩阵(A)正定.,故判断一个矩阵是否负定,负定的判别：,可以转化为判断它的负矩阵,是否正定.,矩阵 正定.,(k=1,2,3,n),负定,正定,即A的顺序主子式负正相间.,例,A是负定矩阵.,注意:,矩阵A负定,A的顺序主子式负正相间.,A的顺序主子式都为负.,矩阵A正定,A的顺序主子式都为正.,矩阵A、B都正定,A、B的特征值都大于0,C的特征值都大于0,矩阵C正定.,若,是A的全部特征值,是B的全部特征值.,则,是C 的全部特征值.,