线性代数(赵树嫄)第二章课件.ppt

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1、Ch2 矩 阵,本章介绍矩阵的概念、矩阵的运算、逆矩阵、分块矩阵及计算、矩阵的初等变换等。,矩阵是从生产实践和科学技术问题中抽象出来的一个数学概念，它在线性代数中既是最基本的研究对象，又是最重要的研究工具，它贯穿线性代数的各个方面。,1、理解矩阵概念，知道零矩阵、单位阵、对角阵、对称阵等特殊矩阵。2、熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律。3、知道矩阵的分块方法。4、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。掌握求逆阵的方法。5、熟练掌握矩阵的初等变换。,本章基本要求,本章重点,矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。,1 矩阵的概念,在很多实际问题中，我们常常会碰到具有m个方程

2、n个末知量的最一般形式的线性方程组：,对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原来相对位置不变可排为,定义1 由mn个数aij(i=1,2，m；j=1,2，n)排列成的m行n列的数表：,简记为(aij)m n,aij表示矩阵A的第i行、第j列的元素。,称为m行n列的矩阵，简称为mn阶矩阵。常记为,矩阵通常用大写字母A、B、C等表示。,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,方阵A的元素按原来相对位置不变所构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或detA。,例

3、如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵（1）n阶方阵,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵）.,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量)。,记作,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或.,注意,不同阶数的零矩阵是不一样的.,例如,(5)单位矩阵,称为单位矩阵（或单位阵）。,同型矩阵与矩阵相等的概念,1、两个矩阵的行数相等，列数相等时，称为同型矩阵。,2.两个矩阵A=(aij)，B=(bij)为同型矩阵，并且对应元素相等，即,则称矩阵A与B相等，记作,例如,为同型矩阵.,(6)上(下)三角矩阵,(7)对称阵与反对称阵,(8)负矩阵,例如,则,2.2 矩阵的

4、运算,矩阵的意义不仅仅在于将一些数据排成一个有规律的数表形式，更重要的是在于当我们对它定义了一系列运算后，矩阵可以像数一样运算，从而使得矩阵成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。,定义 设有两个mn矩阵A=(aij)，B=(bij),那末矩阵A和B的和记作A+B，规定为,一、矩阵的加法,例1 有某种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B：,则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）共为：,矩阵加法满足下列运算规律：性质1 设A、B、C是同型矩阵，则(1)交换律：A+B=B+A；(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；(3)A+O=A，其中O是与

5、A同型的零矩阵。矩阵的减法：,显然有 A-A=O,二、数乘矩阵,定义 数与矩阵A的乘积记作 A，规定为：,例1 设有3个产地与4个销地的里程（单位：公里），为矩阵A：,如果运费为1.5元/公里，则运费矩阵为：,矩阵的数乘满足下列运算规律：性质2 设A，B是同型的矩阵，、为常数，则(1)()A=(A)=(A)；(2)(+)A=A+A；(3)(A+B)=A+B；(4)A=O，当且仅当=0或A=O。矩阵相加与数与矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。,显然，(1)A=A，(A)=A。,例子，设有两个线性变换,(2.1)称为从变量Y 到变量X的线性变换；(2.2)称为从变量X 到变量T 的线性变换。,三、矩

6、阵与矩阵相乘,它们的系数矩阵分别是,如要求出从Y(y1，y2)到T(t1，t2)的线性变换，可将（2.2）代入（2.1），便得：,观察(2.1)、(2.2)、(2.3)所对应的矩阵的关系：,由此我们定义它们之间关系为矩阵的乘积，即,一般地，,记为C=AB。(2.4)式表明，乘积矩阵AB的i行j列位置上的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。,即,例1,设,例2,故,解,注意：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,没有意义。,=10,解：,由矩阵的定义及上述例题可知，矩阵乘法与普通数的乘法有根本的差别，应特别引起注意。,例5,利用矩阵的乘法,线性方程组(

7、1.1)可以写成矩阵形式。设线性方程组(1.1)的系数组成mn矩阵：,末知数和常数项分别组成n1与m1列矩阵(列向量)：,这样线性方程组(1.1)可以写成 AX=b。,例7,矩阵乘法的运算规律,(1)结合律(AB)C=A(BC)(2)(AB)=(A)B=A(B)(3)分配律 A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA(4)对于单位阵I，有Im Amn=Amn Amn In=Amn,证明略。,四、矩阵的转置,定义4 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记做A或AT。例如,转置矩阵的运算性质,特别地，矩阵A是对称矩阵的充要条件是AT=A；矩阵A是反对称矩阵的充要条件是

8、AT=-A。,例10 证明任一n阶矩阵A都可表示成 个对称阵与一个反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证。,五、方阵的幂,设A是n阶方阵，设k为正整数,记 A1=A，A2=AA，Ak+1=AkA。叫做方阵A的幂。特别规定A0=I。性质4 设A是n阶方阵，k是常数、m、n是正整数，则(1)Am Ak=Am+k；(2)(Am)k=Amk；一般地，(AB)m AmBm。,矩阵多项式：,设,则定义,这里，一般,但,例11 设矩阵：,从而对于任意的正整数n，要证的等式成立。,六、方阵的行列式,定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作|A|或det

9、(A)。,运算性质,4 分块矩阵,对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小矩阵称为原来矩阵的子阵或子块，以这些子块为元素所构成的矩阵称为分块矩阵。,在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某些特点，常常采用分块法，将阶数较高的矩阵的运算化成一些阶数较低的小矩阵的运算。,一、分块矩阵的概念,例如：,矩阵的分块可以是任意的，具体分块方法的选取，主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。,又如,二、分块矩阵的运算,1.设矩阵A与矩阵B的行数和列数，且采用相同的分块法，则,分块矩阵有着与普通矩阵相类似的

10、运算方法和性质。,2.数与矩阵相乘,即分块矩阵转置时，既要把整个分块矩阵转置，又要把其中每一个子块转置。,例如：,分块矩阵有下列性质：,解,5 可逆矩阵,一、逆阵的定义,我们知道在数学上有很多运算是成对出现的那么，我们前面讨论的矩阵的乘法是否存在除法呢？更一般地，在初等数学中解方程ax=b，当 a0时，x=a-1b。那么矩阵方程AX=b，是否也有X=A-1b呢？,如果不存在满足(*)式的方阵,则称方阵A是不可逆的。,即逆矩阵是唯一的。,证毕,方阵的A逆阵记为A1。,由逆阵的定义知：单位阵I是可逆的，且I的逆阵就是I本身。更一般地，对角矩阵,其逆矩阵是,二、方阵可逆的充分必要条件,定义2 设A是

11、n阶方阵，Aij 是行列式|A|中元素aij的代数余子式，则矩阵,若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|0，则称A为非奇异(非退化)矩阵，否则称为奇异(退化)矩阵。,此外，定理不仅给出了矩阵可逆的条件，而且也告诉我们，对阶数不大的矩阵，可以通过伴随矩阵求它的逆阵。,如例1 中，,因为|A|=20，所以A可逆，且,推论 设A，B是n阶方阵，且AB=I，那么，BA=I，即A，B都可逆，且B-1=A，A-1=B。,证：由条件A，B都是n阶方阵，且AB=I，得|A|B|=|I|=10；所以|A|0，从而由定理2可知A，B都可逆。再由条件AB=I可得，BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A=A-1IA=

12、I。由定义1知：且B-1=A，A-1=B。,三、可逆阵的性质设A，B为同阶可逆矩阵，是非零常数，则,例3 设A，B为三阶方阵，I是三阶单位阵，且满足：AB+I=A2+B，又知,(*),例4 设方阵A与B满足AB=AB，证明A+I可逆,且求出它的逆阵.,解 由条件AB=AB可得，A+IBAB=I，(A+I)(A+I)B=I，于是(A+I)(IB)=I。所以，A+I 可逆，且其逆阵(A+I)1=IB。,注：矩阵的左乘和右乘一定要注意！,，使AX=I,所以，A可逆，且A-1=X。,例11 利用例10结论求方阵,解,计算得：,于是,例题选讲,例1 若方阵A满足A23A10I=0，证明A、A-4I均可逆，并求其逆。,例3 已知3阶矩阵A的逆矩阵：,试求其伴随矩阵A*的逆矩阵。,