离散数学-3-2集合的运算.ppt

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1、1,第三章 集合与关系,3-2 集合的运算授课人：李朔Email:,2,集合的运算,以给定的集合为对象,按照确定的规则得到另一些集合。集合的另一种表示法是文氏图（Venn Diagram）。人们常用文氏图描述集合运算和它们之间的关系。集合的文氏图画法如下：用矩形表示全集E，在矩形中画一些圆表示其它集合，不同的圆代表不同的集合。如果没有特别说明，任何两个圆彼此相交。例如，AB的文氏图如图,3,一、交,P87 定义3-2.1 设A，B是集合，由A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的交集，记为AB。AB=x|xAxB 交集的定义如图右图所示。从交集的定义可以得到：ABA，ABB 例1 例2 例3

2、及性质P87*如果A与B无公共元素，即AB=，则称A和B是互不相交的。例如，令A=a,b,c，B=d,e，则AB=，A和B是互不相交的。,4,一、并,P88 定义3-2.2 设A，B是任意的集合，由A中的元素或B中的元素组成的集合，称为A和B的并集，记为AB。AB=x|xAxB 并集的定义如右图所示。并集的定义可以得到：AAB，BABP88 例题 集合并运算性质 定理3-2.1 3-2.2,5,三、补（差）,P90 定义3-2.3 设A，B是集合，属于A的而不属于B的元素组成的集合，称为B对于A的补集，也叫B对于A的相对补集。记为A-B。A-B=x|xAxB A-B也称集合A和B的差 相对补集

3、定义如右图所示。例如，令A=,，B=，则 A-B=,-=,又如，令C=a，D=a,b，则 C-D=a-a,b=C-C=P90 例题3、4,6,四、绝对补,定义3-2.4 设A是集合，A对于全集E的相对补集，称为A的绝对补，记为A。A=E-A=x|xExA=x|xA A的定义如图所示。例如，令全集E=1,2,3,4，A=1,2,3，则 A=1,2,3,4-1,2,3=4P90 绝对补运算性质,7,四、绝对补,例设A,B是任意的集合，求证:A-B=A(B)证明：xA-BxAxBxAxB xAB即 A-B AB。xABxAxBxAxBxA-B 故 ABA-B 所以，A-B=A(B)。A-B=A(B)

4、是一个重要的公式，在集合的运算中经常用到，它的意义在于将相对补运算转换绝对补和交运算。P91 定理3-2.5 设A、B为任意两个集合，则下列关系式成立：a)A-B=ABb)A-B=A-(AB)P91定理3-2.6 交运算对差运算的分配P91 定理3-2.7,8,五、对称差,P92 定义3-2.5 设A，B是集合，由 A中元素或B中元素，但不是A与B的公共元素组成的集合，称为A和B的对称差，记为A B。A B=x|xA xB=(A-B)(B-A)=(AB)-(AB)A B的定义如图所示。例如，令A=1,2,3,4，B=1,2,5,6，则 A B=AB-AB=1,2,3,4,5,6-1,2=3,4

5、,5,6,9,五、对称差,例 设A,B是任意的集合，求证:A B=(A-B)(B-A)=(AB)(BA)。证明：先证AB=(A-B)(B-A)。xA B(xA)(xB)(xA)(xB)(xA)(xB)(xAxB)(xAxB)xA-BxB-A x(A-B)(B-A)所以，A B=(A-B)(B-A)。再证(A-B)(B-A)=(AB)(BA)。很容易得到此结论，这里从略。,10,五、对称差,利用例3.7中的公式可以证明对称差A B下列的性质。设A,B是任意的集合。A A=证明：A A=(A-A)(A-A)=A=A 证明：A=(A-)(-A)=A=A AE=A 证明：A E=(A-E)(E-A)=

6、A=A此外：满足交换律结合律P94 图3-2.7及结论,11,六、五种集合运算的性质,对以上运算，可知其具性质：1）幂等：AA=A，AA=A2）交换：AB=BA，AB=BA3）结合：（AB）C=A（BC）（AB）C=A（BC）4）分配：A（BC）=（AB）（AC）A（BC）=（AB）（AC）5）吸收：A（AB）=A A（AB）=A,12,六、五种集合运算的性质,6）互补：A A=，A A=E7）德摩根：（AB）=A B（AB）=A B8）同一：A=A，EA=A9）零律：AE=E，A=10）双重否定：（A）=A11）E=12）=E*以上共21个性质，都须证明,13,六、五种集合运算的性质,例如：

7、证明分配律A（BC）=（AB）（AC）证：任取aA(BC)即aA且aBC 即aA且aB或aC 即aA且aB或aA且aC 即是aAB或aAC 就是a(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)反之，任取 a(AB)(AC)即a AB或a AC 就是a A且aB或a A且aC 即a A且aB或aC a A(BC)A(BC)(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC),14,练习,例1：设F表示一年级大学生的集合，S表示二年级大学生的集合，R表示计算机科学系学生的集合，M表示数学系学生的集合，T表示选修离散数学学生的集合，L表示爱好文学学生的集合，P表示爱好体育运动学生的集合。则下列各句子所对应的集合

8、表达式分别是：（1）所有计算机科学系二年级的学生都选修离散数学。（A）（2）数学系的学生或者爱好文学或者爱好体育运动。（B）（3）数学系一年级的学生都没有选修离散数学。（C）（4）只有一、二年级的学生才爱好体育运动。（D）（5）除去数学系和计算机科学系二年级的学生外都不选修离散数学。（E）,15,练习,答案：A：RST；B：MLP；C：(MF)T=；D：PFS；E：T(MR)S。（1）计算机系二年级学生的集合为RS，选修离散数学的学生集合为T，前者为后者子集。（2）数学系学生集合为M，爱好文学或爱好体育学生集合为LP，前者为后者子集。（3）数学系一年级学生集合为MF,选修离散数学学生集合为T，

9、这两个集不相交。（4）只有P才Q，这种句型的逻辑含义是如果Q则P。所以这句话可理解为：爱好体育的学生一定是一、二年级的学生。爱好体育的学生构成集P，一、二年的学生构成集FS，前者为后者子集。（5）除去P都不Q，这种句型的逻辑含义可理解为如果Q则P。原来句子就变为：选修离散数学的学生都是数学系和计算机系二年级的学生。所以T(MR)S。,16,练习,例2：设S11,2,8,9,S2=2,4,6,8,S3=1,3,5,7,9,S4=3,4,5,S5=3,5确定在以下条件下x可能与S1,S5中哪个集合相等。（1）若x S5=，则（A）。（2）若xS4但xS2=，则（B）。（3）若xS1且xS3，则（C

10、）（4）若x-S3=，则（D）（5）若xS3且x S1，则（E）,17,练习,答案：A：x=S2；B：x=S5 C：x=S1,S2或S4；D：x=S3或S5：x与其中任何集合都不相等。分析：（1）与S5不相交的集合不含3和5，只能是S2。（2）只有S4和S5是S4的子集，但S4S2，所以S5满足要求。（3）xS3意味着x中必含有偶数，S1,S2和S4中含有偶数并且都是S1的子集。（4）由x-S3=知xS3。因此x可能是S3或S5。（5）由于S3S1，所以有xS3S1与xS1矛盾。x与这5个集合中的任一个都不相等。,18,练习,例 某班有50名学生，第一次考试中26人成绩为优，第二次考试中21人

11、成绩为优，已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为优的有多少人？（用文氏图解）,19,练习,例 某班有50名学生，第一次考试中26人成绩为优，第二次考试中21人成绩为优，已知两次考试中都不为优的共17人。问两次考试中都为优的有多少人？解：设A，B分别表示第一次和第二次考试中成绩为优的学生集合。画出文氏图，如图3.7所示。首先填AB中的人数，这正是要求的，设为x。A-B中的人数是26-x，B-A中的人数是21-x，分别填入对应的区域。并列出如下 方程：(26-x)x(21-x)17=50 解得：x=14,20,约定和说明,为了使集合的表达式更加简洁，我们对集合运算的优先顺序规定如下：绝

12、对补的运算级别比其它的4个运算高，先进行绝对补运算，再进行其它的4个运算；其它的4个运算的运算顺序由括号决定。由于并运算满足结合律，故约定以下的符号：由于交运算满足结合律，故约定以下的符号：,21,约定和说明,说明：用文氏图不仅可以表示集合的运算和它们之间的关系，而且还可以很方便地解决有限集合的计数问题。用文氏图解决有限集合的计数问题的方法是：每一条性质定义一个集合，画一个圆表示这个集合。如果没有特别说明，任何两个圆画成相交的。将已知集合的元素数填入表示该集合的区域内。通常从n个集合的交集填起，根据计算的结果逐步将数字填入其它各空白区域内。如果交集的值是未知的，可以设为x。根据题目的条件，列出方程或方程组，求出所需的结果。,22,约定和说明,还有一些关于集合运算的重要结果。例如：ABA ABB AAB BAB A-BA A BAB(何时相等？A、B不相交时）ABAB=BAB=AA-B=AB=ACB=C,23,本课小结,集合的并，交，差，补，对称差 集合运算的性质文氏图的有限集合计数,24,作业,P95（5）,