电路课件电路07一阶电路和二阶电路的时域分析.ppt
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1、电路,第七章一阶电路和二阶电路的时域分析7-1-7-8,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,本章重点,第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析,内容提要本章讨论用微分方程描述电路,主要是RC和RL电路。介绍一阶电路经典法,及一阶电路时间常数概念。在一阶电路基础上用经典法分析二阶电路。还介绍下列重要概念:零输入响应 零状态响应 全响应 瞬态分量 稳态分量 阶跃响应 冲激响应,7-1 动态电路的方程及其初始条件,动态电路:含动态元件电容和电感电路。动态电路方程:以电流和电压为变量的微分方程或微分-积分方程。一阶电路:电路仅一个动态元件,可把动态元件以外电阻电路用戴维宁或诺顿定理置换,建立一阶常微分方
2、程。含2或n个动态元件,方程为2或n阶微分方程。动态电路一个特征是当电路结构或元件参数发生变化时(如电路中电源或无源元件断开或接入,信号突然注入等),可能使电路改变原来工作状态,转变到另一工作状态,需经历一个过程,工程上称过渡过程。电路结构或参数变化统称“换路”,t=0时刻进行。换路前最终时刻记为t=0-,换路后最初时刻记为t=0+,换路经历时间为0-到0+。,经典法,分析动态电路过渡过程方法之一:根据KCL、KVL和支路VCR建立描述电路方程,以时间为自变量的线性常微分方程,求解常微分方程,得电路所求变量(电压或电流)。称经典法,是一种在时间域进行的分析方法。经典法求解常微分方程时,必须根据
3、电路初始条件确定解答中的积分常数。设描述电路动态过程的微分方程为n阶,初始条件指电路中变量(电压或电流)及其(n-1)阶导数在t=0+时的值,也称初始值。电容uc和电感iL初始值,即uc(0+)和iL(0+)称独立初始条件,其余称非独立初始条件。,7-1动态电路方程及初始条件,线性电容换路瞬间情况,线性电容在任意时刻t,其电荷、电压与电流关系:q、uc和ic分别为电容电荷、电压和电流。令t00-,t=0+得:从上2式可见,换路前后,即0-到0+瞬间,电流ic(t)为有限值,则式2式右方积分项为零,电容上电荷和电压不发生跃变,即:q(0+)q(0-)(7-2a)uc(0+)uc(0-)(7-2b
4、)一个在t0-储存电荷为q(0-),电压uc(0-)U0电容,换路瞬间不发生跃变,有uc(0+)=uc(0-)=U0,可见在换路瞬间,电容可视为电压值为U0电压源。一个在t=0-不带电荷电容,换路瞬间不发生跃变,有uc(0+)=uc(0-)=0,换路瞬间电容相当于短路。,7-1动态电路方程及初始条件,线性电感换路瞬间情况,线性电感磁通链与电流关系:令t00-,t0+有:从0-到0+瞬间,电压uL(t)为有限值,式中右方积分项将为零,电感中磁通链和电流不发生跃变,即:L(0+)L(0-)(7-4a)iL(0+)iL(0-)(7-4b)对t0-时电流为I0电感,换路瞬间不发生跃变,有iL(0+)i
5、L(0-)I0,在换路瞬间可视为I0电流源。对t0-时电流为零电感,换路瞬间不发生跃变有iL(0+)iL(0-)0,在换路瞬间相当于开路。,7-1动态电路方程及初始条件,初始条件,q(0+)q(0-)(6-2a)uc(0+)uc(0-)(6-2b)L(0+)L(0-)(6-4a)iL(0+)iL(0-)(6-4b)分别说明换路前后电容电流和电感电压为有限值条件下,换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。称换路定则。动态电路独立初始条件:电容uc(0+)和电感iL(0+),一般可根据在t=0-时值(即电路发生换路前状态)uc(0-)和iL(0-)确定。该电路非独立初始条件,即电阻电压或电流、电容
6、电流、电感电压等需通过已知独立初始条件求得。,7-1动态电路方程及初始条件,例 7-1,图6-1直流电压源U0。电压和电流恒定时打开S。求uc(0+)、iL(0+)、ic(0+)、uL(0+)和uR2(0+)。解 根据t0-计算uc(0-)和uL(0-)。开关打开前,电压和电流恒定不变,有:电容电流和电感电压均为零(icCduc/dt,uLLdiL/dt),即电容相当于开路,电感相当于短路:换路时,iL和uc不会跃变,uc(0+)=uc(0-),iL(0+)=iL(0-)。为求t=0+其他初始值,把已知uc(0+)和iL(0-)分别以电压源和电流源替代,得t=0+时等效电路图7-1b。求出:,
7、7-1动态电路方程及初始条件,确定初始值的步骤:,(1)由换路前电路(稳定状态)求uC(0)和iL(0);(2)由换路定律得 uC(0+)和 iL(0+)。(3)画0+等效电路(初始值等效电路):换路后,电容用电压源、电感用电流源替代。激励用us(0+)、is(0+)的直流源替代。由0+电路求所需各变量的0+值。,7-1动态电路方程及初始条件,-一阶电路的零输入响应,零输入响应:动态电路在没有外施激励时,由电路中动态元件初始储能引起的响应。,RC电路零输入响应-,图-2,RC电路,开关S闭合前C已充电,uc=U0。S闭合后,电容储能通过电阻以热能形式释放。把S动作时刻取为计时起点(t=0)。开
8、关闭合后,即t0+时,根据KVL得 uR-uc=0而uR=Ri,将 代入,有一阶齐次微分方程,初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0,令通解uc=Aept,代入有(RCp+1)Aept=0相应特征方程:RCp+1=0 特征根:uc(0+)=uc(0-)=U0代入uc=Aept,积分常数 A=uc(0+)=U0求得满足初始值微分方程的解为放电过程中电容电压uc表达式。,7-2一阶电路的零输入响应,RC电路零输入响应-2,电路中电流电阻上电压从上式可见,电压uc、uR及电流i按同样指数规律衰减。衰减快慢取决于指数中 大小。由于 是电路特征方程的特征根,仅取决于电路结构和元件参数。当电阻为,电容为
9、F时,乘积RC单位为s,称RC电路时间常数,用表示。引入,电容uc和电流i分别表示为:大小反映一阶电路过渡过程进展速度,是反映过渡过程特性的一个重要量。可计算得:t0时,uc(0)U0e0U0 t=时,uc()=U0e-10.368U0,7-2一阶电路的零输入响应,RC电路零输入响应-3,零输入响应在任一时刻t0值,经一个可表示为即经过一个时间常数后,衰减了63.8,或为原值36.8。t=2,t3,t4,时刻电容电压值列于表7-1。从表可见,理论上要经无限长时间uc才衰减为零值。但工程上一般认为换路后,经过3-5时间过渡过程即告结束。,7-2一阶电路的零输入响应,uc、uR和i随时间变化曲线,
10、图7-3为uc、uR和i随时间变化曲线。时间常数,可从uc或ic曲线用几何方法求得。图7-4,取uc曲线任意一点A,过A点作切线AC,图中次切距:即在时间坐标上次切距长度等于时间常数。说明曲线上任意一点,如以该点斜率为固定变化率衰减,经过时间为零值。,7-2一阶电路的零输入响应,的几何意义,放电过程中,电容放出能量为电阻消耗;最后,原来储存在电容中的电场能量全部为电阻吸收而转换成热能。即,7-2一阶电路的零输入响应,RL电路零输入响应-1,图7-5a开关S动作前电压和电流已恒定,电感中电流I0=U0/R0=i(0-)。t=0时开关由1合到2,有初始电流I0的电感L和电阻R连接,构成闭合回路,如
11、图b。t0,根据KVL有 uR+uL=0而uR=Ri,uL=Ldi/dt,电路微分方程:一阶齐次微分方程。令iAept,得相应特征方程:Lp+R0特征根:电流为:根据i(0+)i(0-)I0,代入上式可求得Ai(0+)I0,有,7-2一阶电路的零输入响应,RL电路零输入响应-2,电阻和电感电压分别为:与RC电路类似,令 称RL电路时间常数,上述各式写为:图7-6分别为i、uL和uR随时间变化曲线。,7-2一阶电路的零输入响应,例 7-2-1,图7-7一台300kW汽轮发电机励磁回路。已知励磁绕组电阻R=0.189,电感L0.398H,直流电压U35V。电压表量程为50V,内阻Rv5k。开关未断
12、时,电路中电流已恒定不变。t0断开开关。求:(1)电阻、电感回路时间常数;(2)电流i的初始值和开关断开后电流i的最终值;(3)电流i和电压表处的电压uv;(4)开关刚断开时,电压表处的电压。,7-2一阶电路的零输入响应,例 7-2-2,解(1)时间常数(2)开关断开前,电流恒定不变,电感L两端电压为零,故 电感中电流不能跃变,电流初始值i(0+)i(0-)185.2A。(3)按 可得 i185.2e-12560t A 电压表处的电压 uv-Rvi-5103185.2e-12560t V=-926e-12560t kV(4)开关刚断开时,电压表处的电压 uv(0+)-926 kV此时电压表要承
13、受很高电压,绝对值将远大于直流电源电压U,且初始瞬间电流很大,可能损坏电压表。可见,切断电感电流时必须考虑释放磁场能量。如磁场能量较大,而又必须在短时间内完成切断电流,则必须考虑如何熄灭电弧(一般出现在开关处)问题。,7-2一阶电路的零输入响应,例7-3-1,图7-8a开关S原在位置1电路已稳态。t=0时开关由1合向2,求t0+时电流i(t)。解 S位置1得uc(0-)=uc(0+)=6V等效电阻Req用外施电源法求,图b。u=6i2+2ii2代入u=6i2+2i得:时间常数所以:,7-2一阶电路的零输入响应,求i(t)另一方法略,习 题,P 191 题7-4,7-2一阶电路的零输入响应,7-
14、3 一阶电路的零状态响应,零状态响应:电路在零初始状态下(动态元件初始储能为零)由外施激励引起的响应。图7-10,RC串联,S闭合前电路处于零初始状态,uc(0-)=0。t=0时刻,S闭合,接入直流电压源Us。根据KVL有 uR+ucUsuRRi,代入,得电路微分方程为一阶线性非齐次方程。,RC电路的零状态响应-1,解由两个分量组成,非齐次方程特解uc和对应齐次方程通解u”c,即 uc=uc+u”c不难求得特解 uc=Us齐次方程 通解其中=RC。因此代入初始值,得 A-Us而:uc和i波形如图7-11。电压uc两 个分量uc和uc”示于该图。,7-3一阶电路的零状态响应,RC电路的零状态响应
15、-2,uc以指数形式趋近于最终恒定值Us,到该值后,电压和电流不再变化,电容相当于开路,电流为零。电路达稳定状态(简称稳态),在这种情况下,特解uc(=Us)称稳态分量。同时可看出uc与外施激励变化规律有关,又称强制分量。非齐次方程通解uc”由于变化规律取决于特征根而与外施激励无关,称自由分量。自由分量按指数规律衰减,最终趋于零,所以又称瞬态分量。对电流i可作类似解释。,7-3一阶电路的零状态响应,对电容充电过程,RC电路接通直流电压源过程即是电源通过电阻对电容充电过程。在充电过程中,电源供给能量一部分转换成电场能量储存于电容中,一部分被电阻转变为热能消耗,电阻消耗电能为从上式可见,不论电路中
16、电容C和电阻R数值为多少,充电过程中,电源提供能量只有一半转变成电场能量储存于电容中,另一半为电阻所消耗,就是说,充电效率只有50。,7-3一阶电路的零状态响应,RL电路的零状态响应,图7-12为RL电路,直流电流源电流Is,开关打开前电感电流为零。开关打开后iL(0+)=iL(0-)=0,电路的响应为零状态响应。换路后电路微分方程为初始条件iL(0+)=0。电流iL的 通解为 为时间常数。特解iL=Is,积分常数A=-iL(0+)-Is。所以,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-1,以RL电路为例,讨论正弦电压激励下零状态响应。图7-13a,RL串联电路,外施激励为正弦电压us
17、=Umcos(t+u),其中u为接通电路时外施电压初相角,又称接入相位角或合闸角。接通后电路方程通解ii+i”,自由分量 为时间常数。i应为特解,设特解为 iImcos(t+)代入上列微分方程,有 RImcos(t+)-LImsin(t+)=Umcos(t+u),7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-2,用待定系数法确定Im和。引入 有:再令 上式左方可写为得 Im|Z|cos(t+)Umcos(t+u)因此可求得待定常数:Im|Z|Um+u或,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-3,特解i方程通解代入初始条件,i(0+)i(0-)0,有于是电流i电阻上电压电感上电压
18、,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-4,由上可见,方程特解或强制分量与外施正弦激励按同频率正弦规律变化,自由分量随时间增长趋于零。最终只剩下强制分量。这种电路需经一个过渡过程,然后达稳定状态。自由分量与开关闭合时刻有关。开关闭合时,若有 则所以:故开关闭合后,电路中不 发生过渡过程而立即进入 稳定状态,i波形图7-13b。,7-3一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RL电路-5,如开关闭合时,则有即:电流i波形图7-13c。从上式和波形图中看出,当电路时间常数很大,则i”衰减极其缓慢。接通电路后,约经半个周期时间,电流最大瞬时值的绝对值将接近稳态电流振幅的两倍。日光灯原理,7-3
19、一阶电路的零状态响应,正弦激励下的RC电路,分析方法相同:换路后无过渡过程,立即进入稳定状态。换路后约经半个周期,电容电压最大瞬时值的绝对值将接近稳态电压振幅的两倍。可见,RC或RL串联电路与正弦电压接通后,在初始值一定条件下,电路过渡过程与开关动作时刻有关。,7-3一阶电路的零状态响应,7-4 一阶电路的全响应,非零初始状态一阶电路受到激励时,响应称全响应。图7-14已充电电容经电阻接直流Us。设电容原有电压U0,开关S闭合后,根据KVL有初始条件 uc(0+)=uc(0-)=U0方程通解 uc=uc+uc”换路后稳定状态电容电压为特解:uc=Us uc为方程对应齐次方程通解=RC为电路时间
20、常数,有根据初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0,得积分常数 A=U0-Us电容电压是电容压在t0时全响应。,三要素法-1,式(7-5)改写成右边第一项电路零输入响应,右边第二项电路零状态响应,说明一阶电路中,全响应是零输入响应和零状态响应的叠加:全响应(零输入响应)+(零状态响应)式(7-5)又可见,右边第一项是特解,与激励相同,称强制分量,第二项是通解,变化规律取决于电路参数,称自由分量。全响应(强制分量)+(自由分量)直流或正弦激励一阶电路,换路后稳态作特解,自由分量随时间增长按指数规律逐渐衰减为零。又可以表示为 全响应(稳态分量)+(瞬态分量),7-4一阶电路的全响应,三要素法-2
21、,上述分法不同,但全响应是由初始值、特解和时间常数三个要素决定。在直流电源激励下,若初始值为f(0+),特解为稳态解f(),时间常数为,则全响应f(t)可写为只要知道f(0+)、f()和这三个要素,就可根据式(7-6)直接写出直流激励下一阶电路的全响应,称三要素法。,7-4一阶电路的全响应,一阶电路在正弦电源激励下的响应,一阶电路在正弦电源激励下,电路特解f(t)是时间的正弦函数,上述公式可写为 其中f(t)是特解为稳态响应,f(0+)是t0+时稳态响应初始值,f(0+)与的含义与前述相同。如电路仅含一个储能元件(L或C),其他部分由电阻和独立电源或受控源连接,仍是一阶电路。求解时,把储能元件
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