4.6.3中心极限定理.ppt

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1、,4.6.3 中心极限定理,在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响.,例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.,空气阻力所产生的误差，,对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.,如瞄准时的误差，,炮弹或炮身结构所引起的误差等等.,观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见.,由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量,的分布函数的极限.,的分布函

2、数的极限.,可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.,考虑,3.6.3 中心极限定理,定理4.7（李亚普诺夫（Liapunov）定理）,设X1,X2,是相互独立的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,，再令,则,定理4.8（独立同分布下的中心极限定理）,它表明：当n充分大时，n个具有相同期望和方差的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布.,设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,，则,或者,即,定理4.9(棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意x，有,定理表明，若YnB(n,p)

3、,z则当n很大，0p1时，,或者,例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸Xi独立，,16只元件的寿命的总和为,解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为,解:设第i只元件的寿命为Xi,i=1,2,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由于E(Y)=1600,D(Y)=160000

4、,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,例2.(供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.,问应供应至少多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,用X表示在某时刻工作着的车床数，,解：对每台车床的观察作为一次试验，,每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验.,依题意，,XB(200,0.6),现在的问题是：,求满足,设至少需N千瓦电力，,（由于每台车

5、床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）,由德莫佛-拉普拉斯极限定理,近似N(0,1),于是 P(XN)=P(0XN),这里 np=120,np(1-p)=48,由3准则，此项为0.,查正态分布函数表得,由 0.999，,从中解得N141.5,即所求N=142.,也就是说,应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.,例4.23 设有一批种子良种率为1/6，从中任选600粒，求其中良种所占比例在1/60.02的概率（1）用切比雪夫不等式估计；（2）用中心极限定理计算近似值。,解,设X表示任选的600粒种子中良种的粒数，则,X B(600,1/6)

6、,E(X)=np=6001/6=100,D(X)=np(1-p)=6001/65/6=250/3,所求概率为,（1）用切比雪夫不等式估计,E(X)=100,D(X)=250/3,（2）用中心极限定理计算,例4.24 多次测量一个物理量，每次都产生一个随机误差 ei(i=1,2,，n).假定这些误差服从均匀分布。问n次测量的算术平均值与真值的差小于正数d的概率是多少？若n=100，d=0.1，上述概率的近似值是多少？对d=0.1，欲使上述概率值不小于0.95，至少应进行多少次测量？,解,于是所求概率为,我们介绍了中心极限定理,在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,