概率论与数理统计浙大四版第一章第一章4讲.ppt

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1、第四讲,条件概率(Conditional probability)与乘法公式(Multiplication formula),在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1.条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B)P(A),P(A)=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)=1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到,P(A|B),P(

2、A)=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品.现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),P(A)=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样

3、本空间,于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称(1),2.条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,3.条件概率的性质(自行验证),设B是一事件，且P(B)0,则,1.对任一事件A，0P(A|B)1;,2.P(S|B)=1；,而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率.,请自行写出.,2)从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,

4、解法2:,解:设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的缩减样本空间中计算,例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4,所求为P(B|A).,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(2),而 P(AB)=P(BA),二、乘法公式,若已知P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)

5、P(B|A)(3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式,利用它们可计算两个事件同时发生的概率,注意P(AB)与P(A|B)的区别！,请看下面的例子,例3 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,300个乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB).,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率

6、是多少?”,求的是 P(A|B).,B发生,在P(AB)中作为结果;在P(A|B)中作为条件.,条件概率P(A|B)(posteriorprobability)与P(A)(priorprobability)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.,条件概率P(A|B)与P(A)数值关系,条件概率P(A|B)是在原条

7、件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小.那么,是否一定有:,或 P(A|B)P(A)?,P(A|B)P(A)?,请思考！,当P(A1A2An-1)0时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1),推广到多个事件的乘法公式:,例4 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回

8、罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（1 波里亚罐子模型）,于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球.”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解:设Wi=第i次取出是白球,i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球，j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率.这是一个传染病模型.每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2

9、)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),(2抽签)一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.,显

10、然，P(A1)=1/5，P()4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到.因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,最后我们用本讲内容来解答囚犯和看守间关于处决谁是否要保密的问题.,监狱看守

11、通知三个囚犯,在他们中要随机地选出一个处决,而把另外两个释放.囚犯甲请求看守秘密地告诉他,另外两个囚犯中谁将获得自由.,因为我已经知道他们两人中至少有一人要获得自由，所以你泄露这点消息是无妨的.,甲,如果你知道了你的同伙中谁将获释，那么，你自己被处决的概率就由1/3增加到1/2,因为你就成了剩下的两个囚犯中的一个了.,乙,丙,NO！,对于看守的上述理由,你是怎么想的?,依题意，P(A)=1/3,P(A|)=P(A)1-P(B)=1/2,P(A|)=1/2,看守说得对.,甲,我们说，在事件B发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于A的无条件概率.但是，会不会出现P(A)=P(A|B)的情形呢？这个问题留待下一讲讨论.,这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，它在计算概率时经常使用，需要牢固掌握.,