7线性空间与线性变换.ppt

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1、线性空间和线性变换是线性代数的中心内容之一，它广泛应用于自然科学和工程技术各个领域.在第四章中,我们已经介绍了以Rn中向量为元素的向量空间,这一章中我们要把这些概念推广,使向量和向量空间的概念更具一般性.,第七章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念与性质,一.线性空间的定义,定义7.1 设V是一个非空集合,R是实数域,如果在V上定义了加法和与R中数的乘法两种运算,即,V,k R,都有=+,=kV与之对应,且满足,(1)+=+(加法交换律);,(2)(+)+=+(+)(加法结合律);,(3)V中有零元素0,使V有+0=;,(4)V,-V,使+(-)=0,称-为的负元素;,(8)k(+)=k+

2、k,V,kR;,(7)(k+l)=k+l,V,k,lR;,(6)(kl)=k(l),V,k,lR;,(5)1=,V,1R;,则称V是(实数域上的)线性空间(或向量空间),V中的元素(不论其本来的性质如何)称为(实)向量.,在第四章中,我们介绍了向量空间Rn,以及Rn的子空间V.容易验证,当集合V对向量的加法和数乘两种运算封闭时,V中的运算就满足上述八条规律.显然,那里的向量空间只是现在定义的的特殊情形.比较起来,现在的定义有了很大的推广.向量空间中的向量是更广义的向量,不一定是n元有序数组.向量空间中加法和数乘两种运算只要求满足八条运算规律,也不一定是有序数组的加法和数乘运算.,下面举一些线性

3、空间的例子.,例7.1 验证所有mn实矩阵集合Rmn对矩阵的加法和数乘运算是一个线性空间.,证明 容易验证Rmn对这两种运算是封闭的，,而且矩阵的加法和数乘运算满足线性空间定义中八条规律,所以Rmn是一个线性空间.,特别地，取n=1,说明Rm是一个线性空间.,如果记V是所有n阶奇异矩阵集合,虽然V中矩阵的加法和数乘运算仍满足上述八条规律,但V不是线性空间,因为V对加法运算不封闭.,例7.2 记Rxn为所有次数小于n的实多项式集合,即,证明Rxn对多项式的加法和数乘运算是一个线性空间.,证明 容易验证Rxn对这两种运算是封闭的，,而且多项式的加法和数乘运算满足线性空间定义中八条规律,所以Rxn是

4、一个线性空间.,类似地可以验证所有实多项式集合Rx,对多项式的加法和数乘运算也是一个线性空间.,但是，所有n次实多项式的集合，即,对多项式的加法和数乘运算不是线性空间.因为不满足线性空间定义中规律(3),即集合中没有零元素.,类似地,容易验证区间a,b上所有连续函数的集合Ca,b对函数的加法和数乘运算是一个线性空间.,实数域R对于数的加法和乘法运算是一个线性空间.,例7.3 用R+表示所有正实数集合,R为实数域,对任意a,bR+,kR,定义a与b的和为ababR+,定义数k与a的积为 kaak R+,验证R+对所定义的加法和数乘两种运算构成线性空间.,解 由于abab,所以加法满足交换律和结合

5、律.,以上各例中,虽然向量的含义各不相同(可能是实矩阵,也可能是实多项式或连续函数,还可能是实数),向量的加法和数乘运算也是不同的.但对各自的向量,加法和数乘两种运算都满足八条运算规律,所以,都是线性空间.,为了对线性空间中向量的运算的理解更具一般性,再看一个比较抽象的例子.,R+中有零元素1,使得对任意aR+有a1a1a.,对任意aR+,R+中有负元素a1,使得有aa11.,对任意a,bR+,k,lR,满足：,k(ab)=(ab)k=akbkkakb;,(k+l)a=ak+lakalkala;,(kl)a=akl(al)kk(la);,1a=a1a,aR+,1R.,所以,R+对所定义的加法和

6、数乘运算构成线性空间.,如果将满足八条运算规律的加法和数乘运算称为线性运算,那么,线性空间就是定义了线性运算的集合.,又如,Rn对通常意义下向量的加法和数乘运算是一个线性空间.,但如果取Rn中向量通常的加法,对R中任意数k与Rn中任意向量,定义数乘运算k=0.容易验证,Rn对这两种运算是封闭的,但是不满足线性空间定义中运算规律(5):(1=)，所以Rn对这两种运算不是线性空间.,二、线性空间的基本性质,性质7.1 向量空间的零向量是唯一的.,01=01+02=02,性质7.2 向量空间中每个向量的负向量是唯一的.,-1=(-1)+0=(-1)+(+(-2),=(-1)+)+(-2)=0+(-2

7、)=-2,性质7.3 0=0,(-1)=-,k0=0,V,kK,0+=0+1=(0+1)=,得 0=0.,+(-1)=(1-1)=0,得(-1)=-.,k0=k(-)=k-k=(k-k)=0=0,性质7.4 若k=0,则 k=0或=0.,=1=(1/kk)=1/k(k)=1/k0=0,三.子空间,定义7.2 设U是线性空间V的一个非空子集.如果U对V的加法和乘数两种运算也构成线性空间,则称U是V的子空间.,按定义可见,集合0是V的子空间,称之为零子空间,V也是V的子空间.这两个子空间称为V的平凡子空间,其它的称为非平凡子空间.,定理7.1 设U是线性空间V的一个非空子集.则U是V的子空间的充分

8、必要条件是U对V的加法和乘数两种运算是封闭的.即,U,kR,都有+U,kU,所有n阶对角矩阵集合、所有n阶实对称矩阵集合、所有n阶反对称矩阵集合、所有n阶上三角矩阵集合、所有n阶下三角矩阵集合等都是Rnn的子空间.,例如,nm时,Kxn是Kxm的子空间.,Kxn是Kx的子空间，C(1)a,b是Ca,b的子空间.,虽然所有n次多项式集合Pn是Rx的子集合,但是Pn不是Rx的子空间.,但是,所有n阶可逆矩阵集合、所有n阶奇异矩阵集合、所有n阶正交矩阵集合等都不是Rnn的子空间.,在第三章介绍了向量空间中向量的线性表示、线性组合、向量组的线性相关性,这些概念可以完全类似地推广到一般线性空间中的向量和

9、向量组上去.我们在线性空间的讨论中将直接引用这些概念和性质.,例如,设1,2,r是线性空间V中的一组向量,也称为一个向量组,它们的所有线性组合记为L(1,2,r),即,L(1,2,r)=k11+k22+krr|k1,k2,krR,则L(1,2,r)是V的子空间.称为由1,2,r生成的子空间.,又由于只有当k1,k2,k3全为零时才有k1+k2x+k3x2=0成立,所以称1,x,x2是线性空间Rx3中的线性无关向量组.,2 维数、基与坐标,定义7.3 在线性空间V中,如果有n个向量1,2,n线性无关,而且V中任意向量都可由它们线性表示,则称 1,2,n为V的一个基,n称为V的维数,V称为n维线性

10、空间,记作Vn.,仅含零向量的线性空间(没有基)维数是零,如果V中有任意多个线性无关的向量,称其为无限维线性空间,如Kx,Ca,b等.在线性代数中,只讨论有限维线性空间.,对于n维线性空间Vn,若1,2,n是Vn的一个基,则 Vn可以表示为：,Vn=k11+k22+knn|k1,k2,knR,即Vn是由基生成的线性空间.,例7.4 求线性空间Rx3的一个基和维数.,Rxn是n维线性空间,1,x,x2,xn-1 是它的一组基.,解 由于1,x,x2线性无关,且Rx3中任意向量都能由它们线性表示.,例7.5 求线性空间R23的一个基和维数.,解 容易验证,向量组,所以,1,x,x2就是Rx3的一个

11、基,Rx3的维数是3.,是R23的一个基,R23的维数是6.,一般的，Rmn是mn维线性空间.,例7.6 验证集合V=是R22的子空间,并求V一个基和维数.,解 显然VR22，且,都有,所以,V对线性运算封闭,V是R22的子空间.,容易验证 是V的一个基，V是3维线性空间.,定理7.2 设V是n维线性空间,如果V中向量组1,2,m线性无关,则在V中必有nm个向量m+1,m+2,n,使得1,2,m,m+1,m+2,n是V的一组基.,容易知道，n维线性空间中的任意n个线性无关的向量都是它的一个基.,定理表明,含有非零向量的有限维线性空间一定存在基.,推论 如果U是V的子空间,则U的维数不大于V的维

12、数,而且当U的维数等于V的维数时一定有U=V.,如果已知线性空间Vn的一个基1,2,n,则对V中任意向量，都有唯一一个有序数组(k1,k2,kn)T,使得=k11+k22+knn,反之,对任意一个有序数组(k1,k2,kn)T,都有唯一的向量=k11+k22+knnV.,定义7.4 设1,2,n是线性空间Vn的一组基,如果Vn可以表示为:,于是,线性空间中的向量与有序数组(k1,k2,kn)T之间是一一对应的,因此,可以用有序数组来表示线性空间中的向量.下面给出坐标的概念.,=x11+x22+xnn,则称(x1,x2,xn)T为向量在基1,2,n下的坐标.可记为=(x1,x2,xn)T.,由于

13、线性空间Vn的基是不唯一的.因此,对于线性空间Vn中的向量,在不同的基下其坐标一般是不同的,即的坐标是相对于Vn的基而言的.,例如,1,x,x2是线性空间Rx3的一个基,Rx3中任意向量p(x)=a0+a1x+a2x2 在这个基下的坐标是(a0,a1,a2)T,可记为p(x)=(a0,a1,a2)T.,又由于,1,1+x,1+x+x2也是线性空间Rx3的一个基,由于,p(x)=a0+a1x+a2x2=(a0-a1)+(a1-a2)(1+x)+a2(1+x+x2),所以,向量p(x)在基1,1+x,1+x+x2下的坐标是(a0-a1,a1-a2,a2)T,此时可记为p(x)=(a0-a1,a1-

14、a2,a2)T.,在线性空间Vn中,引入向量的坐标概念后,就可以把Vn中抽象的向量与具体的有序数组的向量(x1,x2,xn)T联系起来了,并且可以把Vn中抽象的线性运算与Rn中向量的线性运算联系起来.,则有,设=x11+x22+xnn,=y11+y22+ynnVn,+=(x1+y1)1+(x2+y2)2+(xn+yn)n,k=(kx1)1+(kx2)2+(kxn)n,即,+的坐标为:(x1,x2,xn)T+(y1,y2,yn)T,k的坐标为:k(x1,x2,xn)T.,故,Vn中向量与Rn中向量一一对应,并保持线性运算关系.,由定义容易知道线性空间的同构具有反身性、对称性和传递性.,定义7.5

15、 设U和V是两个线性空间,如果在它们的元素之间存在一一对应关系,且这种对应关系保持元素之间线性运算的对应,则称线性空间U与V同构.,由于任意n维线性空间Vn都与Rn同构,所以维数相等的线性空间都是同构的.于是,有限维线性空间同构当且仅当维数相等,也就是说线性空间的结构完全被空间的维数所决定.,Rn中只涉及线性运算的性质都适用于Vn.但Rn中超出线性运算的性质,在Vn中不一定具备.例如Rn中的内积、长度、夹角等概念在Vn中不一定有意义.,二.基变换与坐标变换,线性空间如果有基,显然基不唯一.那么一个向量在不同基下就有不同的坐标,下面就来讨论它们之间的关系.,设1,2,n和1,2,n是线性空间VK

16、的两组基,则,这两个向量组等价.如果,则合起来就有:,简记为,定义7.6 矩阵C称为由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵.过渡矩阵是可逆的.,定理7.3 设1,2,n和1,2,n是线性空间VK的两组基.如果向量在这两组基下的坐标分别为x=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,则x=Cy.其中C是过渡矩阵.,证明 由于,由于向量在一组基下的坐标是唯一的,所以x=Cy.,例3 求向量空间Rx3中由基1=1,2=1+x,3=1+2xx2到基 1=1x,2=23x,3=1+x2x2的过渡矩阵,并求向量f5+3xx2在基1,2,3下的坐标.,解 由于,所以,于是,由1,2,3到 1,2,

17、3的过渡矩阵为,又由于,于是,向量 f 在基1,2,3下的坐标为(3,1,1)T.,也就是,f5+3xx2=3+(1+x)+(1+2xx2).,3 线 性 变 换,线性变换是线性空间上的重要运算,本节介绍线性变换的概念,并讨论线性变换与矩阵之间的关系.,一.定义和例子,定义7.7 设T是线性空间V到V的一个映射,且满足,V,kR都有,则称T为V的一个线性变换.,T(+)=T()+T(),T(k)=kT(),例如,ARnn,定义T(A)=AT,则T为Rnn的一个线性变换.,取0VK,VK,定义T()=0,则T为VK的一个线性变换,称为零变换.,(2)T()=T();,线性变换TA具有下列简单性质

18、:,(1)T(0)=0;,取ARnn,Rn,定义T()=A,则T为Rn的一个线性变换.,VK,定义T()=,则T为VK的一个线性变换,称为恒等变换或单位变换.,(3)T(x11+x22+xmm),=x1T(1)+x2T(2)+xmT(m),二.线性变换的矩阵,设TA为线性空间V的一个线性变换,1,2,n是V的一组基,V,如果=x11+x22+xnn,则,即,T()是由T(1),T(2),T(n)唯一确定的.,由于T(1),T(2),T(n)V,故可由1,2,n线性表示,记,T()=x1T(1)+x2T(2)+xnT(n),T(1)=a111+a212+an1n,T(2)=a121+a222+a

19、n2n,T(n)=a1n1+a2n2+annn,也就是,其中,T(1,2,n)=(1,2,n)A,矩阵A的第j列为向量T(j)在基1,2,n下的坐标.,矩阵A称为线性变换T在基1,2,n下的矩阵.,例如,线性空间Kxn中,求微商的变换D在基1,x,x2,xn-1下的矩阵为:,零变换在任何基下的矩阵都是零矩阵.,单位变换在任何基下的矩阵都是单位矩阵.,线性空间 Kxn中,求微商的变换D在基1,x,x2/2,x3/3,xn2/(n2),xn1/(n1)下的矩阵为:,AR22,定义T(A)=AT,则T在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为:,定理7.4 设线性变换T在基1,2,n下的矩阵是A,

20、向量在基1,2,n下的坐标为x=(x1,x2,xn)T,则T()在这组基下的坐标是Ax.,证明 因为=x11+x22+xnn,所以,=(1,2,n)Ax,T()=x1T(1)+x2T(2)+xnT(n),=(T(1),T(2),T(n)x,所以,T()在基1,2,n下的坐标是Ax.,定理7.5 设T是线性空间V的线性变换,如果T在两组基1,2,n和1,2,n下的矩阵分别为A和B,且由基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵为C,则B=C-1AC.,证明 由于 T(1,2,n)=(1,2,n)A,(1,2,n)=(1,2,n)C,于是,(1,2,n)B=T(1,2,n)=T(1,2,n)C,=T(1

21、,2,n)C=(1,2,n)AC,=(1,2,n)C-1AC,由于线性变换在一个基下的矩阵是唯一的,故B=C-1AC.,例4 设线性空间R3的线性变换T在基1,2,3下的矩阵为,解 由于(1,2,3)=(1,-31-22+23,1+22+23),求T在基1=1,2=-31-22+23,3=1+22+23下的矩阵.,所以，由基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为：,所以,T在基1,2,3下的矩阵为:,B=C-1AC,4 欧几里得空间,欧几里得空间就是在实线性空间上定义了数量积.,一.定义和例子,定义7.8 设V是实数域R上的一个线性空间,在V上定义一个二元实函数,满足:,V,kR,有,则称二元实

22、函数,是V上的内积,此时的线性空间V称为Euclid(欧几里得)空间.,(1)对称性:,=,(2)线性性:+,=,+,k,=k,(3)正定性:,0,且仅当=0时,=0.,例如:,在Rn中,=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)TRn,定义:,=a1b1+2a2b2+nanbn,则Rn也成为Euclid空间,但它是与上面不同的Euclid空间.,在Rxn中,f(x),g(x)Rxn,定义内积为:,在Rn中,=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)TRn,定义:,=a1b1+a2b2+anbn,则Rn成为Euclid空间.,则Rxn也成为Euclid空间.,利用内积的概念,可以定

23、义Euclid空间中向量的长度,向量的夹角等概念.,向量的长度具体下列性质:,定义7.9 设V是Euclid空间,V,非负实数,1/2称为向量的长度(或范数,或模),记为|(或).,还有下面的Cauchy-Schwarz不等式:,(1)非负性:|0,且仅当=0时,|=0;,(2)齐次性:|k|=|k|;,(3)三角不等式:|+|+|.,|,|.,若|=1,称为单位向量.若0,则(1/|)是单位向量.,定义7.10 在Euclid空间中,两个非零向量,的夹角记为,规定为:,定义7.12 在Euclid空间中,一组两两正交的非零向量称为正交向量组,由单位向量构成的正交向量组称为规范正交向量组.,可

24、见,=/2当且仅当,=0.,定义7.11 如果,=0,则称与正交.,可见,1,2,n为规范正交组i,j=ij.,定理7.6 正交向量组必线性无关.,在线性空间R3中,取标准内积,=x1y1+x2y2+x3y3,使R3成为一个 Euclid空间.,解之得一个解为,=(2,1,1)T,将单位化得:,解 先求与1,2都正交的向量,记=(x1,x2,x3)T,则,1,=x1+x2+x3=0,2,=x2x3=0,例5 在Euclid空间R3中,求一个单位向量,使其与两个向量1=(1,1,1)T,2=(0,1,1)T 都正交.,向量就是与两个向量1,2都正交的单位向量.,二.规范正交基,定理7.7 在Eu

25、clid空间中,如果向量组1,2,m线性无关,则有规范正交向量组1,2,m与之等价.,证明 先正交化,取,1=1,再将1,2,m单位化,取,则1,2,m就是所求规范正交向量组.,上述由线性无关向量组1,2,m,得到正交向量组1,2,m的方法称为Schimidt(斯密特)正交化过程.,定义7.13 在n维Euclid空间V中,含有n个向量的正交向量组称为V的正交基.由单位向量构成的正交基称为规范正交基.,例6 在线性空间Rx3中,定义内积,试求Rx3的一组规范正交基.,解 取Rx3的一组基,1=1,2=x,3=x2,将其正交化得:,1=1=1,1,2,3就是Rx3的一组规范正交基.,再将1,2,3单位化,取,例7 求L(1,2,3,4)的一组规范正交基.其中,解 由于,可见,1,2,4是L(1,2,3,4)的一组基,正交化,1=1,再单位化得L(1,2,3,4)的一组规范正交基为:,填空题4 已知线性变换f(P)=P,其中P为多项式,P为P关于x的导数,那么该变换在基3,x+2,x2+2x+1下的矩阵为:,5,10,23,