机器人学之齐次变换.ppt

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1、2023/9/18,机器人学,王扬威办公室：15-B412,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,机器人的组成,机器人是一个机电一体化的设备。从控制观点来看，机器人系统可以分成四大部分：机器人执行机构、驱动装置、控制系统、感知反馈系统。,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,一、执行机构 包括：手部、腕部、臂部、肩部和基座等。相当于人的肢体。二、驱动装置 包括：驱动源、传动机构等。相当于人的肌肉、筋络。三、感知反馈系统 包括：内部信息传感器，检测位置、速度等信息；外部信息传感器，检测机器人所处的环境信息。相当于人的感官和神经。四、控制系统 包括：处理器及关节伺服控制器等，进

2、行任务及信息处理，并给出控制信号。相当于人的大脑和小脑。,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,液压式具有大的抓举能力，结构紧凑，动作平稳，耐冲击；但要求液压元件有较高的制造精度，密封性能。气动式气源方便，动作迅速，结构简单，造价较低；但难以进行速度控制，抓紧能力较低。电动式电源方便，响应快，驱动力较大，可以采用多种灵活的控制方案。,机器人的执行机构的驱动方式,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,最常见的构型是用其坐标特性来描述的。,一、工业机器人（操作臂/工业机械手/机械臂/操作手）,1、直角坐标型(3P)结构、控制算法简单，定位精度高；但工作空间较小，占地面积大，惯性

3、大，灵活性差。,机器人的构型,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,2、圆柱坐标型(R2P)结构简单紧凑，运动直观，其运动耦合性较弱，控制也较简单，运动灵活性稍好。但自身占据空间也较大，但转动惯量较大，定位精度相对较低。,圆柱坐标型机器人模型,Verstran 机器人,Verstran 机器人,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,3、极坐标型（也称球面坐标型）(2RP)有较大的作业空间，结构紧凑较复杂，定位精度较低。,极坐标型机器人模型,Unimate 机器人,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,4、关节坐标型(3R)对作业的适应性好，工作空间大，工作灵活，结

4、构紧凑，通用性强，但坐标计算和控制较复杂，难以达到高精度。,关节型搬运机器人,关节型焊接机器人,关节型机器人模型,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,5、平面关节型(Selective Compliance Assembly Robot Arm，简称SCARA)仅平面运动有耦合性，控制较通用关节型简单。运动灵活性更好，速度快，定位精度高，铅垂平面刚性好，适于装配作业。,SCARA型装配机器人,2023/9/18,1.3 机器人的组成和构型,仿生型 自由度一般较多，具有更强的适应性和灵活性，但控制更复杂，成本更高，刚性较差。,类人型机器人,仿狗机器人,蛇形机器人,二、特种机器人,20

5、23/9/18,1.3 机器人的组成和构型,六轮漫游机器人,仿鱼机器人,仿鸟机器人,六足漫游机器人,2023/9/18,1.4 机器人的规格指标,自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标，一般等于机器人的关节数。机器人所需要的自由度数决定与其作业任务。,负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下，能够承载的负荷重量。,工作空间（运动范围）机器人在其工作区域内可以达到的最大距离。它是机器人关节长度和其构型的函数。,精度 指机器人到达指定点的精确程度。它与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关。,重复精度 指机器人重复到达同样位置的精确程度。它不仅与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关，还与传动机构

6、的精度及机器人的动态性能有关。,2023/9/18,1.4 机器人的规格指标,控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软件编程模式；自主模式。,运动速度 单关节速度；合成速度。,其它动态特性 如稳定性、柔顺性等。,2023/9/18,小 结,机器人、机器人学的定义机器人的分类机器人的组成和构型方式及特点机器人的规格指标,主要内容,机器人学是一门迅速发展的综合性的前沿学科。它综合运用了机构学、机械设计、自动控制、计算机技术、传感技术、力学、电气液压传动、人工智能等学科的最新成就。其特点之一是综合、交叉，涉及的领域广泛；另一特点是发展迅速、日新月异，尚待研究的问题层出不穷。,2023/9

7、/18,目 录,2.1齐次坐标2.2刚体位姿描述2.3 齐次坐标变换与变换矩阵2.4齐次变换矩阵运算2.5变换方程2.6欧拉角与RPY角,第二章 位姿描述和齐次变换,2023/9/18,引 言,机器人的位置和姿态描述：机器人一端固定，另一端是用于安装末端执行器（如手爪）的自由端机器人由N个转动或移动关节串联而成一个开环空间尺寸链机器人各关节坐标系之间的关系可用齐次变换来描述,机器人（机械手）末端执行器相对于固定参考坐标系的空间几何描述（即机器人的运动学问题）是机器人动力学分析和轨迹控制等相关研究的基础机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系,2023/9/1

8、8,引 言,丹纳维特（Denavit）和哈顿贝格（Hartenberg）于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题 D-H方法其数学基础即是齐次变换具有直观的几何意义，广泛应用于动力学、控制算法等方面的研究,运动学研究,运动学正问题,运动学逆问题,手在哪里？,手怎么放那里？,2023/9/18,2.1 齐次坐标,位置描述：位置矢量(position vector)空间任意一点 p 的位置可表示为：矩阵表示矢量和表示矢量的模,，单位矢量,2023/9/18,2.1 齐次坐标,点的齐次坐标,一般来说，n 维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于 n 维空

9、间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标 比例系数。,式中i,j,k为x,y,z 轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数,齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w 作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。,列矩阵,2023/9/18,2.1 齐次坐标,直角坐标系A,P点的齐次坐标：,点的齐次坐标,几个特定意义的齐次坐标：,0,0,0,nT 坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数 1 0 0 0T 指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T 指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T 指向无穷远处的OZ轴,2023/9/18,2.

10、2 刚体位姿描述,接近矢量 a approach方位矢量 o orientation法向矢量 n normal,手爪坐标系,2023/9/18,坐标系B原点在A坐标系中的位置。,位置描述,2.2 刚体位姿描述,2023/9/18,自由度(DOF,Degree of freedom)：物体能够相对坐标系进行独立运动的数目称为自由度。刚体的自由度数目：三个平移自由度 T1,T2,T3三个旋转自由度 R1,R2,R3,位置描述,2.2 刚体位姿描述,2023/9/18,利用固定于物体的坐标系描述方位(orientation)。方位又称为姿态(pose)。,方位描述,2.2 刚体位姿描述,在刚体B上设

11、置直角坐标系B，利用与B的坐标轴平行的三个单位矢量表示B的姿态。,坐标系B的三个单位主矢量在坐标系A中的描述：,坐标系B相对于坐标系A的姿态描述：,2023/9/18,表示刚体B相对于坐标系A的姿态。,刚体B与坐标系B固接,姿态矩阵（旋转矩阵）,2.2 刚体位姿描述,9个参量，自由度？,2023/9/18,旋转变换的逆等于其转置,旋转矩阵中的9个元素只有3个独立变量，它满足正交条件,姿态矩阵（旋转矩阵）,2.2 刚体位姿描述,2023/9/18,相对于参考坐标系A，坐标系B的原点位置和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述。刚体B在参考坐标系A中的位姿利用坐标系B描述。,当表示位置时,当表示

12、方位时,位置与姿态的表示,2.2 刚体位姿描述,（单位矩阵）,2023/9/18,平移坐标变换：在坐标系B中的位置矢量Bp在坐标系A中的表示可由矢量相加获得。,旋转坐标变换：坐标系B与坐标系A原点相同，则p点在两个坐标系中的描述具有下列关系：,2.3 齐次变换与齐次变换矩阵,一般变换,2023/9/18,分别绕x,y,z轴的旋转变换(基本旋转变换)：任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。,2.3 齐次变换与齐次变换矩阵,基本旋转变换,yB,yA,xB,zB,oA,Bp,B,xA,zA,A,P,2023/9/18,yC,复合变换：平移和旋转构成复合变换。,2.3 齐次变换与齐次变换矩阵,

13、基本复合变换,2023/9/18,2.3 齐次变换与齐次变换矩阵,齐次变换,齐次变换是在齐次坐标描述基础上的一种矩阵运算方法，齐次变换使齐次坐标作移动、旋转、透视 等几何变换。,非齐次,齐次,2023/9/18,旋转,平移,透视,比例（缩放）,计算机图形学,齐次变换矩阵,2.3 齐次变换与齐次变换矩阵,齐次变换矩阵,2023/9/18,透视变换（Perspective transformation）举例,2023/9/18,因此，进行机器人运行学计算时，不能省略透视矩阵，有摄像头时，透视矩阵为 0-0，没有摄像头时为0 0 0。,透视变换（Perspective transformation）

14、举例,2023/9/18,平移齐次坐标变换旋转齐次坐标变换,Translation transformation,Rotation transformation,2.4 齐次变换矩阵运算,齐次坐标变换,注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换,2023/9/18,对于坐标系A、B，A是参考坐标系，B相对于A的联体坐标系。B相对于A的描述为：A相对于B的描述为：,2.4 齐次变换矩阵运算,齐次坐标变换的逆变换,2023/9/18,例题1：坐标系 B 的初始位姿与参考坐标系 A 相同，坐标系 B 相对于 A 的 zA 轴旋转 30，再沿 A 的 xA 轴移动 12，沿 A 的 yA 轴

15、移动 6。求位置矢量 ApB 和旋转矩阵。假设 p 点在坐标系 B 的描述为 Bp=5 9 0T，求其在坐标系 A 的描述。,解：,2.4 齐次变换矩阵运算,2023/9/18,Ap、Bp称为点的齐次坐标，为齐次坐标变换矩阵,例题2：对于例题1利用齐次坐标求解Ap。,2023/9/18,纯平移变换与变换次序无关旋转变换与变换次序有关复合变换与变换次序有关,2.4 齐次变换矩阵运算,齐次坐标变换的顺序问题,2023/9/18,绕当前轴 开始B、A重合，然后先绕XA轴转 得到新坐标系C，再绕当前轴YC轴转得到要求的坐标系B。,绕当前轴（即相对于运动坐标系）右乘,2.4 齐次变换矩阵运算,齐次坐标变

16、换的顺序问题,2023/9/18,绕固定轴 开始B、A重合，然后B先绕XA轴转，再绕YA轴转。,2）C、A重合，C再绕YA轴转,得到B中的矢量在A中的表示,绕固定轴（及相对固定坐标系）左乘,2.4 齐次变换矩阵运算,齐次坐标变换的顺序问题,2023/9/18,刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置和姿态。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。例题3：下图中的物体可以由(1,0,0),(-1,0,0),(-1,0,2),(1,0,2),(1,4,0),(-1,4,0)表示。如果该物体在基坐标系中先绕z轴旋转90，再绕y轴旋转90，再沿x轴平移4

17、，求物体6个顶点的位置。,选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点，其初始坐标轴x1y1z1 方向与 xyz 坐标系相同。,2.4 齐次变换矩阵运算,齐次坐标变换举例,2023/9/18,先绕 z 轴旋转 90再绕 y 轴旋转 90再沿 x 轴平移 4,y,y,2.4 齐次变换矩阵运算,2023/9/18,对于右乘的结果：（相当于在新坐标系中变换）,2.4 齐次变换矩阵运算,2023/9/18,刚体的6个顶点在基坐标系中的位置：,2.4 齐次变换矩阵运算,2023/9/18,对于坐标系A、B、C，A是参考坐标系，B相对于A的坐标以及C相对于B的坐标称为联体坐标。设B在A中的表示为T1，C在

18、B中的表示为T2，刚体在C中的表示为T3，刚体在A中的表示为T，则 T=T1 T2 T3 上式可以理解为：从基坐标系变换到联体坐标系，右乘。,2.4 齐次变换矩阵运算,联体坐标系,2023/9/18,通用旋转变换：设 f 为坐标系C的z轴上的单位矢量，即：则绕矢量 f 的旋转等价于绕坐标系C的z轴的旋转：,设坐标系C在基坐标系下的描述为C。对于某一刚体，在基坐标系下的描述为T，在坐标系C下的描述为S，则：,2.4 齐次变换矩阵运算,通用旋转变换,2023/9/18,T绕 f 轴的旋转等价于S绕坐标系C的z轴的旋转：,2.4 齐次变换矩阵运算,通用旋转变换,2023/9/18,令vers=1-c

19、,有：,2.4 齐次变换矩阵运算,2023/9/18,2.4 齐次变换矩阵运算,2023/9/18,通用旋转变换为：,等效转角与转轴 给出一任意旋转变换，可由上式求得等效转角与转轴。令：将对角线三项相加，得：,2.4 齐次变换矩阵运算,2023/9/18,将旋转规定为绕矢量 f 的正向旋转，使得0 180。于是得到旋转角：旋转矢量为：,2.4 齐次变换矩阵运算,多值性：转角和转轴有多组，转角相差360的整数倍时旋转矩阵相同病态情况：转角是0或180时，转轴不能确定,2023/9/18,B 基座坐标系W 腕坐标系T 工具坐标系S 工作站坐标系G 目标坐标系,机器人控制和规划的目标,2.5 变换方

20、程,2023/9/18,2.5 变换方程,2023/9/18,空间尺寸链,已知，改变,2.5 变换方程,2023/9/18,回转（横滚）:绕Z轴转,Roll俯仰:绕Y轴转,Pitch 偏转:绕X轴转.Yaw,姿态描述,2.6 欧拉角与RPY角,RPY角,2.6 欧拉角与RPY角,RPY角,2023/9/18,先绕XA轴转，再绕YA轴转，最后绕ZA轴转。,注意:绕固定轴 左乘,2.6 欧拉角与RPY角,RPY角表示运动姿态,2023/9/18,机器人运动姿态描述Z-Y-X欧拉(Euler)角：先绕z轴旋转，再绕新的y轴(y)旋转，再绕新的x轴(x)旋转，以此表示所有的姿态。,Z-Y-X欧拉(Eu

21、ler)角等价的旋转矩阵变换表示为：,2.6 欧拉角与RPY角,Z-Y-X欧拉角,2023/9/18,机器人运动姿态描述Z-Y-Z欧拉角表示：先绕z轴旋转，再绕新的y轴(y)旋转，再绕新的z轴(z)旋转，以此表示所有的姿态。欧拉变换在基坐标系中的表示为：,Z-Y-Z欧拉角,2.6 欧拉角与RPY角,2023/9/18,柱面坐标表示位置：先沿基坐标系的x轴平移r，再绕基坐标系的z轴旋转，再沿基坐标系的z轴平移z。,运动姿态的不同坐标系表示,2023/9/18,如用一个绕z轴旋转-的变换矩阵右乘,上式表明平移矢量未变，旋转矩阵为单位阵，此时末端坐标的姿态未变，而只是改变了它的空间位置。,运动姿态的

22、不同坐标系表示,2023/9/18,球面坐标表示位置：先沿基坐标系的z轴平移r，再绕基坐标系的y轴旋转，再沿基坐标系的z轴旋转。,如果不希望改变末端坐标的姿态，而只是改变其空间位置，则需要对上式绕新的y轴旋转-,再绕新的z轴旋转-，即：,运动姿态的不同坐标系表示,2023/9/18,齐次变换可以用来描述空间坐标系的位置与方向。如果坐标系被固定在物体或机械手连杆上，那么该物体或机械手的位置与方向同样很容易被描述。物体A相对于物体B的齐次变换可以求其逆，来获得物体B相对于物体A的描述。变换可以表示为旋转变换和/或平移变换的乘积。如果变换是从左到右，那么旋转和/或平移是相对于当前的坐标系。如果变换是从右到左，那么旋转和/或平移是相对于参考坐标系进行。齐次变换用正交分量来描述坐标系，即用角度的正弦和余弦。这种描述可与旋转联系起来。在一般性旋转的情况下，旋转是绕任意向量旋转角。,小 结,