数理方程与特殊函数(钟尔杰)6故有值热传导方程.ppt

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1、数学物理方程第三章2,热传导方程分离变量法 另类边界条件固有值问题拉普拉斯方程分离变量法例题与练习题,驻波,2/15,设 u(x,t)=T(t)X(x),常微分方程,热传导问题,3/15,固有值问题I,当 0时,只有零解。当 0时,通解:,(n=1,2,),由边界条件,得,4/15,un(x,t)=Tn(t)Xn(x),一阶常微分方程,初始条件:,5/15,是正交函数系证明,(固有值问题边界条件),6/15,结论:,方程的Fourier解,7/15,通解:,X(0)=0X(L)=0,A=0,当 0时,只有零解。当 0时,固有值问题II,8/15,热传导问题II,设 u(x,t)=T(t)X(x

2、),常微分方程,9/15,un(x,t)=Tn(t)Xn(x),固有值,固有函数,10/15,初始条件:,是正交函数系,11/15,结论:,方程的Fourier解,12/15,固有值问题,固有值问题,固有值问题,13/15,求解Laplace方程的分离变量法,准确解:,设 u(x,y)=X(x)Y(y),则有 uxx=X”Y,uyy=XY”原方程化为:X”Y+XY”=0,14/15,常微分方程,Y(0)=0,Y(1)=0,准确解:,15/15,u(0,y)=0,u(1,y)=,思考题,1.热传导方程分离变量法与波动方程分离变量法有何不同？2.固有值问题的边界条件有几类？3.如何利用初始条件确定热传导方程的级数解中的系数Cn,？4.偏微分方程有源函数f(x,t)时，可不可以用分离变量法求解？,习题3.2:1,