数学物理方法-球函数.ppt

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1、1,第十章 球函数,轴对称球函数2.连带勒让德函数3.一般的球函数,球函数,称为球（谐）函数，进一步分离变量，得到：,其中：函数满足连带勒让德方程：,第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在x=1处发散！为了得到物理上有意义的有限解，即满足所谓“自然边界条件”，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的解，它要求必须为整数，从而使无穷级数截断为有限阶，称作阶勒让德多项式。,第九章学到，勒让德方程通常有两个线性独立的级数解，,通解应当是这两个解的线性组合。但是这些解在,x=,1,处,发散！为了得到物理

2、上有意义的有限解，即满足所谓,“,自,然边界条件,”,，从而构成本征值问题。我们发现，对于奇,数和偶数次幂的级数解，只有一个能满足自然边界条件的,解，它,要求,必须为整数,，从而使无穷级数截断为有限,阶，称作,阶,勒让德多项式,。,4,一.勒让德多项式,轴对称球函数（m=0）,(1)一般表达式,级数表示,约定级数中最高次幂 的系数是,反用系数递推公式,5,微分表示,展开,再求导L次可得,积分表示,6,常用的勒让德多项式,7,图象,8,9,二.勒让德多项式的性质,奇偶性Pl(-x)=(-1)l Pl(x)零点定理L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立

3、叶系数完备性应用例题,10,三 完备性应用例题,例1：把函数 f(x)=2x3+3 x+4 用勒让德多项式展开。,11,轴对称拉普拉斯方程的求解,四 勒让德多项式的应用,12,例 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为，底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u。,13,例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内外的电场强度,分析：球内电势 球外电势 衔接条件,14,一.连带勒让德函数,10.2 连带勒让德函数,设 带入方程整理得:,有限,求对应的本征函数:,15,利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次:,所以,通常记作:,16

4、,注意:区分,17,18,19,二.连带勒让德函数的性质奇偶性 正交性正交性公式模完备性完备性公式广义傅立叶系数,m相同的连带勒让德函数是完备的,20,10.3 球函数,球函数方程,一.球函数,21,任取其一,球函数方程的解为球函数:,二.球函数的性质,正交性,22,完备性,例1.用球函数把下列函数展开,例2.用球函数把 展开,23,三.拉普拉斯方程的非轴对称定解问题,拉普拉斯方程在球形区域的定解问题,如果是非轴对称的,问题与 有关,用一般的球函数,例4.半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势为 为常数,求球形区域内部的电势分布,解:定解问题为,24,由边界条件知:解为一般的球函数,由于解在内部有限,所以含 项舍去,所以,代入边界条件:,25,比较系数得:,其它系数为零,右边按球函数展开：,方程的解为：,26,练习：,